數(shù)學(xué)建模作業(yè)

1、數(shù)學(xué)建模作業(yè)姓名：李成靖 學(xué)號(hào)：1408030311 班級(jí)：計(jì)科1403班 日期：2015.12.301.某班準(zhǔn)備從5名游泳隊(duì)員中選4人組成接力隊(duì)，參加學(xué)校的4×100m混合泳接力比賽，5名隊(duì)員4種泳姿的百米平均成績(jī)?nèi)缦卤硭?，問?yīng)如何選拔隊(duì)員組成接力隊(duì)？如果最近隊(duì)員丁的蛙泳成績(jī)有較大的退步，只有115"2；而隊(duì)員戊經(jīng)過艱苦訓(xùn)練自由泳成績(jī)有所進(jìn)步，達(dá)到57"5，組成接力隊(duì)的方案是否應(yīng)該調(diào)整？甲乙丙丁戊蝶泳106"857"2118"110"107"4仰泳115"6106"107"8114

2、"2111"蛙泳127"106"4124"6109"6123"8自由泳58"653"59"457"2102"4名隊(duì)員4種泳姿的百米平均成績(jī)解:(1).設(shè)cij(秒)為隊(duì)員i 第j 種泳姿的百米成績(jī)，轉(zhuǎn)化為01規(guī)劃模型若參選擇隊(duì)員i加泳姿j 的比賽，記xij=1, 否則記xij=0 目標(biāo)函數(shù):即min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x3

3、3+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54; 約束條件: x11+x12+x13+x14<=1; x21+x22+x23+x24<=1; x31+x32+x33+x34<=1; x41+x42+x43+x44<=1; x51+x52+x53+x54<=1; x11+x21+x31+x41+x51=1; x12+x22+x32+x42+x52=1; x13+x23+x33+x43+x53=1; x14+x24+x34+x44+x54=1;lingo模型程

4、序和運(yùn)行結(jié)果因此，最優(yōu)解為x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余變量為0成績(jī)?yōu)?53.2(秒)=413"2 即：甲 自由泳、乙 蝶泳、丙 仰泳、丁 蛙泳.(2).若丁的蛙泳成績(jī)退步為115"2=75.2(秒)，戊的自由泳成績(jī)進(jìn)步為57"5=57.5(秒)，則目標(biāo)函數(shù)：min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+75.2*x43+57.2*x44+67.4*x

5、51+71*x52+83.8*x53+57.5*x54; 約束條件： x11+x12+x13+x14<=1; x21+x22+x23+x24<=1; x31+x32+x33+x34<=1; x41+x42+x43+x44<=1; x51+x52+x53+x54<=1; x11+x21+x31+x41+x51=1; x12+x22+x32+x42+x52=1; x13+x23+x33+x43+x53=1; x14+x24+x34+x44+x54=1lingo模型程序和運(yùn)行結(jié)果因此，最優(yōu)解為x21=1,x32=1,x43=1,x54=1 ,其余變量為0;成績(jī)?yōu)?57.

6、7(秒)= 417"7 ,新方案:乙 蝶泳、丙 仰泳、丁 蛙泳、戊 自由泳 。2.某工廠用A1，A2兩臺(tái)機(jī)床加工B1，B2，B3三種不同零件，已知在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)A1只能工作80機(jī)時(shí)，A2只能工作100機(jī)時(shí)。一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)加工B1為70件，B2為50件，B3為20件。兩臺(tái)機(jī)床加工每個(gè)零件的時(shí)間和加工每個(gè)零件的成本，分別如下所示加工每個(gè)零件時(shí)間表（單位:機(jī)時(shí)/個(gè)）機(jī)床零件B1B2B3A1123A2113加工每個(gè)零件成本表(單位：元/個(gè))機(jī)床零件B1B2B3A1235A2336問怎樣安排兩臺(tái)車床一個(gè)周期的加工任務(wù)，才能使加工成本最低？解：設(shè)在A1機(jī)床上加工零件B1、B2、B3的數(shù)量分別為

7、x1、x2、x3，在A2機(jī)床上加工零件B1、B2、B3的數(shù)量分別為x4、x5、x6,可建立以下線性規(guī)劃模型：目標(biāo)函數(shù)：min=2*x1+3*x2+5*x3+3*x4+3*x5+6*x6約束條件：x1,x2,x3,x4,x5,x6均為整數(shù) x1+2*x2+3*x3<=80 x1+x2+3*x3<=100 x1+x4=70 x2+x5=50 x3+x6=20lingo模型程序和運(yùn)行結(jié)果最優(yōu)解為x1=70,x2=0,x3=3,x4=0,x5=50,x6=17;最低成本價(jià)為407元。即：在A1機(jī)床上加工零件B1、B2、B3的數(shù)量分別為70、0、3，在A2機(jī)床上加工零件B1、B2、B3的數(shù)量

8、分別為0、50、17。3.某銀行經(jīng)理計(jì)劃用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證券的投資，可供購進(jìn)的證券以及其信用等級(jí)、到期年限、收益如下表所示按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有以下限制：（1）政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn)400萬元；（2）所購證券的平均信用等級(jí)不超過1.4（信用等級(jí)數(shù)字越小，信用程度越高）；（3）所購證券的平均到期年限不超過5年。證券名稱證券種類信用等級(jí)到期年限到期稅前收益(%)A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5（1）若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資?（2）如果能夠以2.75%的利率借到不

9、超過100萬元資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作?（3）在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4.5%，投資應(yīng)否改變?若證券C的稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)否改變?解：設(shè)投資證劵A、證劵B、證劵C、證劵D、證劵E的金額分別為：X1、X2、X3、X4、X5（百萬元），投資之后獲得的總收益為Y百萬元。(1).建立如下的線性規(guī)劃模型：目標(biāo)函數(shù)：maxY=0.043*X1+(0.054*0.5)*X2+(0.05*0.5)*X3+(0.044*0.5)*X4+0.045*X5約束條件: X2+X3+X4>=4 X1+X2+X3+X4+X5<=10 (2*X1+2*X2+X3+X4+5*X

10、5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4 (9*X1+15*X2+4*X3+3*X4+2*X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=5整理化簡(jiǎn)可得： Max Y=0.043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5；X2+X3+X4>=4；X1+X2+X3+X4+X5<=10；6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5<=0；4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5<=0；lingo模型程序和運(yùn)行結(jié)果因此，最優(yōu)解為Y=0.298，X1=2.182，X3=7.364，X5=0.454最優(yōu)解方案不投資證

11、劵B和證劵D，投資證劵A為218.2萬元，投資證劵C為736.4萬元，投資證劵E為45.4萬元;總收益為29.8萬元。（2）.由問題（1）得:投資金額每增加100萬元，收益可增加2.98萬元，而借貸100萬元所要支付的利息是2.75萬元，比2.98萬元少，因此應(yīng)該借貸這100萬元去投資。目標(biāo)函數(shù)仍為：Max Y=0.043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5；X2+X3+X4>=4；X1+X2+X3+X4+X5<=11；6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5<=0；4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5<=0；l

12、ingo模型程序和運(yùn)行結(jié)果因此，最優(yōu)解為: X1=2.40,X3=8.10,X5=0.50,Y=0.328;即應(yīng)投資證劵A 240萬元，證劵C 810萬元，證劵E 50萬元。此時(shí)收益總額為32.8萬元，再減去所要支付的利息2.75萬元，還剩30.05萬元，比問題(1)中的收益總額29.8萬元還要多，這也證明了借貸100萬元來投資是明智的。（3). 問題(1)的靈敏度分析可得下圖：則在最優(yōu)解不變的條件下目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許的變化范圍：X1的系數(shù)為（0.043-0.013，0.043+0.0035），即（0.030，0.0465）；X3的系數(shù)為（0.025-0.0006，0.025+0.017），即（

13、0.02494，0.042）；當(dāng)證劵A的稅前收益增加為4.5%時(shí)，其在目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為0.045，在最優(yōu)解不變的條件下目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許的變化范圍內(nèi)，因此投資方案不應(yīng)該改變。當(dāng)證劵C的稅前收益減少為4.8%時(shí)，其在目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)為0.024，不在最優(yōu)解不變的條件下目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許的變化范圍內(nèi)，因此只有改變投資方案，才能使銀行經(jīng)理獲得最大收益值。4.某醫(yī)院負(fù)責(zé)人每日至少需要下表數(shù)量的護(hù)士。班次時(shí)間最少護(hù)士16時(shí)10時(shí)60210時(shí)14時(shí)70314時(shí)18時(shí)60418時(shí)22時(shí)50522時(shí)02時(shí)20602時(shí)06時(shí)30每班的護(hù)士在值班開始時(shí)向病房報(bào)到，連續(xù)工作8小時(shí)，醫(yī)院領(lǐng)導(dǎo)為滿足每班所需要的護(hù)士數(shù)，最

14、少需要用多少護(hù)士？解：設(shè)在i班剛加入工作的人數(shù)分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6；目標(biāo)函數(shù)為：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;約束條件：x1,x2,x3,x4,x5,x6均為整數(shù) x1+x2>=70 x2+x3>=60 x3+x4>=50 x4+x5>=20 x5+x6>=30 x6+x1>=60lingo模型程序和運(yùn)行結(jié)果因此，最優(yōu)解為：x1=60、x2=10、x3=50、x4=0、x5=30、x6=0；最少需要護(hù)士150人。5某海島上有12個(gè)主要的居民點(diǎn)，每個(gè)居民點(diǎn)的位置（用平面坐標(biāo)x,y表示，距離單位：km）和居住的人數(shù)R如表下表所示

15、，現(xiàn)在準(zhǔn)備在島上建一個(gè)服務(wù)中心為居民提供各種服務(wù)，那么服務(wù)中心應(yīng)該建在何處？居民點(diǎn)123456789101112x08.200.505.700.772.874.432.580.729.763.195.55y00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88R6001000800140012007006008001000120010001100解：設(shè)第i個(gè)居民點(diǎn)的位置（xi，xj），居住的人數(shù)為Ri，i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;設(shè)服務(wù)中心的位置為（a，b）,無約束條件；服務(wù)中心應(yīng)該讓所有的人都方便，因此目標(biāo)函數(shù)為min=i=1

16、12Ri(xi-a)2 +(xj-b)2lingo模型程序和運(yùn)行結(jié)果因此，服務(wù)中心應(yīng)該建的位置是（3.19，3.20）第十一個(gè)小島。6.某廠向用戶提供發(fā)動(dòng)機(jī)，合同規(guī)定，第一、二、三季度末分別交貨40臺(tái)、60臺(tái)、80臺(tái)。每季度的生產(chǎn)費(fèi)用為(元)，其中x是該季生產(chǎn)的發(fā)動(dòng)機(jī)臺(tái)數(shù)，若交貨后有剩余，可用于下季度交貨，但需支付存儲(chǔ)費(fèi)，每臺(tái)每季度c元。已知工廠每季度最大生產(chǎn)能力為100臺(tái)，第一季度開始無存貨，設(shè)a=50，b=0.2，c=4，問工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能既滿足合同有使總費(fèi)用最低？討論a、b、c、變化對(duì)計(jì)劃的影響，并作出合理的解釋。解：(1).設(shè)工廠第一季度生產(chǎn)x1臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)，第二季度生產(chǎn)x2臺(tái)

17、發(fā)動(dòng)機(jī)，第三季度生產(chǎn)x3臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)。目標(biāo)函數(shù)：min=50*x1+0.2*x12+50*x2+0.2*x22+50*x3+0.2*x32+4*(x1-40)+4*(x1+x2-100);約束條件：x1,x2,x3均為整數(shù) x1<=100;x2<=100;x3<=100;x1>=40; x1+x2>=100; x1+x2+x3>=180;lingo模型程序和運(yùn)行結(jié)果因此，最優(yōu)解為：x1=50,x2=60,x3=70;即：工廠第一季度生產(chǎn)50臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)，第二季度生產(chǎn)60臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)，第三季度生產(chǎn)70臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)?？墒箍傎M(fèi)用最低，總費(fèi)用為11280.00元。7.廣告費(fèi)用與效應(yīng)

18、。某裝飾材料公司欲以每桶2元的價(jià)錢購進(jìn)一批彩漆。一般來說，隨著彩漆售價(jià)的提高，預(yù)期銷售量將減少，并對(duì)此進(jìn)行了估算，見下表。手機(jī)與預(yù)期銷售量售價(jià)（元）預(yù)期銷售量（桶）售價(jià)（元）預(yù)期銷售量（桶）2.00410002.50380003.00340003.50320004.00290004.50280005.00250005.50220006.0020000為了盡快收回資金并獲得較多的盈利，裝飾材料公司打算做廣告。投入一定的公告費(fèi)用后，銷售量將有一個(gè)增長(zhǎng)，可由銷售增長(zhǎng)因子來表示。例如，投入40000元的廣告費(fèi)，銷售增長(zhǎng)因子為1.95，即銷售將是預(yù)期量的1.95倍。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，廣告費(fèi)與銷售增長(zhǎng)因子的關(guān)系見

19、下表。廣告與銷售增長(zhǎng)因子廣告費(fèi)（元）銷售增長(zhǎng)因子廣告費(fèi)（元）銷售增長(zhǎng)因子01.00100001.40200001.70300001.85400001.95500002.00600001.95700001.80解：設(shè)售貨單價(jià)為x(元)，預(yù)期銷售量為y(桶)，廣告費(fèi)為z(元)，銷售增長(zhǎng)因子為k。投入廣告后實(shí)際銷售量為s(桶)，獲得的利潤(rùn)為P(元)。分析：預(yù)期銷售量y隨售價(jià)x的增加而減小，可近似用線性關(guān)系表示y = a0 + a1x (1)其中，a0和a1是待定常數(shù)。銷售增長(zhǎng)因子k隨廣告費(fèi)用z先增后減，可用二次方程表示k = b0 + b1z + b2z2 (2)其中，b0，b1和b2也是待定常數(shù)。

20、待定常數(shù)可根據(jù)表中數(shù)據(jù)擬合。 投入廣告費(fèi)之后，實(shí)際銷售量為s = ky (3)利潤(rùn)是收入減支出，收入是售貨單價(jià)x乘以銷售量s；支出包括成本和廣告費(fèi)，成本是進(jìn)貨單價(jià)2乘以銷售量s。因此利潤(rùn)為P = sx 2s - z = ky(x 2) - z = (b0 + b1z + b2z2)(a0 + a1x)(x 2) - z (4)這是二元函數(shù)，求最大利潤(rùn)就是二元函數(shù)的最大值。先計(jì)算常數(shù)，畫出擬合曲線。再形成利潤(rùn)的矩陣，求出最大利潤(rùn)和下標(biāo)，從而計(jì)算最大利潤(rùn)的售價(jià)和廣告費(fèi)。畫出利潤(rùn)曲面，標(biāo)記最大值。程序如下：clear x=2:0.5:6; y=41,38,34,32,29,28,25,22,20*1

21、000; z=(0:7)*1e4; k=1,1.4,1.7,1.85,1.95,2,1.95,1.8; figure subplot(2,1,1) plot(x,y,'rx') grid on fs=12; title('預(yù)期銷售量和售價(jià)的擬合線','fontsize',fs)xlabel('售價(jià)(元)','fontsize',fs) ylabel('預(yù)期銷售量(桶)','fontsize',fs) a=polyfit(x,y,1) xx=2:0.01:6; yy=polyval(a

22、,xx); hold on plot(xx,yy) legend('經(jīng)驗(yàn)值','擬合線') subplot(2,1,2) plot(z,k,'rx') grid on title('銷售增長(zhǎng)因子和廣告費(fèi)的擬合曲線','fontsize',fs)xlabel('廣告費(fèi)(元)','fontsize',fs) ylabel('銷售增長(zhǎng)因子','fontsize',fs) b=polyfit(z,k,2) zz=(0:0.01:7)*1e4; kk=polyval(b,zz); hold on plot(zz,kk) legend('經(jīng)驗(yàn)值','擬合線',2) X,Z=meshgrid(xx,zz); K=polyval(b,Z); Y=polyval(a,X); P=K.*Y.*(X-2)-Z; mi,i=max(P); m,j=max(mi) xm=xx(j) zm=zz(i(j) km=polyval(b,zm) stem(zm,km,'-') text(zm,km,num2str(zm),',',num2str(km),