第六章變量之間的關系

1、第六章變量之間的關系一、主要內容本套教科書從七年級下冊開始引入變量和變量之間關系的內容，非形式化地開始對函 數(shù)內容的學習.本套教科書對函數(shù)內容的處理是分層次的，是遵照循序漸進、螺旋上升的原 則進行設計的，而不是一蹴而就的.本章主要通過豐富的生活實例（如小車下滑的時間、變 化中的三角形、溫度的變化、速度的變化等）內容使學生感受現(xiàn)實世界中變量和變量之間 存在的各種各樣的關系及其規(guī)律，了解表示這些關系的基本方法，將為以后學習函數(shù)打下 基礎.二、教學目標1、經歷探索具體情境中兩個變量之間關系的過程，進一步發(fā)展符號感和抽象思維；2、能發(fā)現(xiàn)實際情景中的變量及其相互關系，并確定其中的自變量或因變量；3、能從

2、表格、圖象中分析出某些變量之間的關系，并能用自己的語言進行表達；4、能根據(jù)具體問題，選取用表格或代數(shù)式來表示某些變量之間的關系；5、結合對變量之間關系的分析，嘗試對變化趨勢進行初步的預測.三、設計思路變化是永恒的，我們周圍的一切都在發(fā)生著變化，如溫度的變化、速度的變化、物價 的變化、股市的變化、月相的變化、季節(jié)的變化、身高體重的變化、興趣愛好的變化等. 總之，我們生活在一個變化的世界之中.事物的變化有一定的規(guī)律嗎？它們的變化是如何互相影響的？如何從數(shù)學的角度對 變量和變量之間的關系進行描述？這些問題的提出，就使得研究變化的數(shù)學內容變量 和變量之間的關系，成為與現(xiàn)實世界聯(lián)系最密切的內容之一.國際

3、上對數(shù)學課程的研究，以及數(shù)學課程發(fā)展的趨勢表明，兒童早期對函數(shù)的豐富經 歷是十分重要的，因此對變量的學習、對變化規(guī)律的探索和描述應從低年級開始.當然鑒于 學生的認知水平和數(shù)學準備，這種對變量和變量之間關系的研究應該是從一種非形式化的 研究開始，即引導學生注意周圍的變化的事物、分析變量之間的關系，初步地對變量之間 的關系進行描述和用數(shù)學的方法進行表示、初步地體驗數(shù)學模型的思想.變量和變量之間關系的引入，還使得學生從常量的世界進入變量的世界，使他們的知 識結構與變化著的周圍環(huán)境更加和諧，使他們可以根據(jù)事物前面發(fā)生變化的情況，預測出 后面將要發(fā)生的變化，也就是說，在一定意義下可以把握變化.變量和變量

4、之間關系的引入，幫助學生從看起來復雜無章的數(shù)據(jù)中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和秩序, 從而對事物的本質有更深刻的認識.對變量和變量之間關系的學習，將使學生的思維層次得到提高，使他們面對變化的世 界充滿信心.通過大量豐富的現(xiàn)實背景，通過學生感興趣的、廣泛聯(lián)系多學科的問題（如嬰兒體重 的增長、駱駝的體溫、潮汐的升落、地球內部的溫度等），使學生體會變量和變量之間相 互依賴的關系，也使學生感受數(shù)學的廣泛聯(lián)系和應用價值.本章還通過讓學生分析用表格、代數(shù)式和圖象所表示的關系，使學生逐步理解變量之 間關系的數(shù)學表示方法，并初步學習用表格和代數(shù)式表示簡單的數(shù)量關系.本章還特別對變量之間關系的圖象表示的內容進行了更多的安排，這是

5、因為關系的圖 象表示以其直觀性有著別的表示方式所不能替代的作用，圖象是將關系式和數(shù)據(jù)轉化為幾 何形式，因此，圖象是“看見”相應的關系和變化情況的途經.而且，在許多情況下，無法 用數(shù)學式表示的變量之間的關系，卻可以用圖形來表示.如等壓線、等溫線、一些物體運 動的軌跡等.1、小車下滑的時間一、教材分析：通過使學生經歷分析小車下滑時間的活動，引入變量、變量之間的關系，及變量之間 關系的第一種表示方法表格.還借助人口統(tǒng)計表、土豆氮肥施用量表等，使學生學習 如何從表格獲得信息，及發(fā)展進行數(shù)據(jù)分析、進行預測和解決問題的能力.二、教學目標：1、經歷探索具體情境中兩個變量之間的過程，獲得探索變量之間關系的體驗

6、，進一步發(fā) 展符號感.2、在具體情境中理解什么是變量，自變量、因變量，并能舉出反映變量之間關系的例子.3、能從表格中獲得變量之間關系的信息，能用表格表示變量之間的關系，并根據(jù)表格中 的數(shù)據(jù)嘗試對變化趨勢進行初步的預測.三、教學建議：1、本課課例提供了探討小車下滑時間與支撐物高度關系的活動，使學生初步體會變量之 間的相依關系.提議有條件的學校讓學生自己動手做實驗（小組合作），記錄并列表格， 使他們獲得變量之間關系的直觀體驗.嘗試從表格中分析變量之間的關系.教師在學生 活動過程中應進行督促和及時總結，關注學生是否積極參與，是否能從小組列的表格 中獲取盡可能多的信息.在回答書上問題的過程中，（1）、

7、（2）、（3）較容易，對于（4） 學生可能有些茫然，要求學生合情推理支撐物高度與小車下滑時間的變化趨勢，答案 可以是1.35到1.29秒中的任意一值，教師應關注學生思考的過程和對理由的表述.2、書本“議一議”提供了對人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)表的討論活動，目的是使學生進一步體會變量 之間的關系，學習如何從表格中獲取信息，發(fā)展他們通過數(shù)據(jù)分析進行預測的能力.問 題（2）中教師應關注學生對時間和人口變化過程的大致刻畫.3、對概念的描述性定義注意結合實際情境對概念進行理解，不進行形式化的定義；強調 字母表示變量，進一步理解字母表示的意義、體會符號的作用.這里不提出“函數(shù)”的 概念.4、習題2中第（3）對“氮肥的施

8、用量是多少時比較適宜” ？的回答，學生可能會答336, 因為此時土豆的產量最高.也可能有同學會有異議，認為是259,因為相對前一同學的 回答，氮肥多用了很多，產量提高的幅度卻不明顯，從經濟學角度考慮，不合算.可以 肯定這樣回答的學生是很有經濟頭腦的，教師應給予鼓勵.此時應注重對學生創(chuàng)造性思 維的培養(yǎng).對本節(jié)課的評價，可以關注以下幾個方向：學生是否積極地參與活動，并在活動中獨立思考；能否從具體情境抽象出的表格中意 識到變量之間的相依關系；能否運用自己的語言描述變化的過程.學生的回答只要合理都應 鼓勵.2、變化中的三角形一、教材分析：在學生已會計算面積、體積的基礎上，使邊長（或半徑、高）發(fā)生變化，

9、從而引起面 積或體積的變化，從變化的角度看待邊長（或半徑、高）與面積或體積的關系，并由此引 出變量之間關系的第二種表示方法 代數(shù)式.二、教學目標：1、經歷探索某些圖形中變量之間關系的過程，進一步體驗一個變量的變化對另一個變量 的影響，發(fā)展符號感.2、能根據(jù)具體情況，用關系式表示某些變量之間的關系.3、能根據(jù)關系式求值，初步體會自變量和因變量的數(shù)值對應關系.三、教學建議：1、對于例題的說明：在學生已經學會計算三角形面積的基礎上討論由底邊長的變化引起 的三角形面積的變化，目的是使學生進一步體會變量之間的關系，是對用關系式表示 變量關系的初步經歷.教學中不應忽視對此問題的討論.應先讓學生獨立想象整個

10、的變 化的過程，如有可能，可以制作教具演示一下變化的過程，或多媒體演示，進而幫助 學生借助直觀體驗得到數(shù)量關系的表達式.2、對于本題，應明確不只是單純曲面祺，而是在高固定的情況下，一個量（面積）隨 另一個量（邊長）變化的關系式，使學生感受變化的過程，從靜態(tài)的數(shù)學到動態(tài)的數(shù) 學.3、例中的（3）求值反映了在高固定的情況下，三角形的邊長和面積的數(shù)值對應關系，滲 透對應思想.4、機器圖（在七上中已有數(shù)值轉換機）直觀地表示了自變量和因變量的數(shù)值對應關系， 即給出一個x的值就可以得到唯一的一個y值，隱含了函數(shù)的對應的思想.5、“做一做”通過立體圖形中，高和體積的關系及半徑和體積的關系，使學生進一步體會

11、變量之間的對應關系.對于感興趣的同學，教師可以引導他們觀察當自變量同時從1cm 變化到10cm時，由于關系式的不同，因變量的值的變化程度不一樣（實質上第一個是 二次函數(shù)，第二個是一次函數(shù)）6、面積變化與體積變化的兩個例題中，若學生指出其他的自變量，如角之類，只要合理, 教師應予以肯定.3、溫度的變化iii一、教材分析：通過學生所熟悉的氣溫變化圖，引入變量之間的第三種表示法一一圖象.圖象表示是現(xiàn) 實生活中應用最廣泛的一種形式.本節(jié)課在學生生活經驗的基礎上，將學生在圖象方面的知 識進行梳理和提高.為幫助學生對圖象表示的理解，每一問題都有實際背景為依托，并用問 題串的形式引導討論和學習的步步深入.二

12、、教學目標：1、經歷從圖象中分析變量之間關系的過程，進一步體會變量之間的關系.2、結合具體情境理解圖象上的點所表示的意義.3、能從圖象中獲取變量之間關系的信息，并能用語言進行描述.三、教學建議：1、對于例題的說明：從學生熟悉的情境出發(fā)，通過圖象直觀地表示變量之間的關系.教師 應鼓勵學生根據(jù)生活經驗，發(fā)現(xiàn)這個問題反映的是哪兩個變量之間的關系；自己從圖 象中獲取時間和溫度之間的信息，并與同伴進行交流.2、教師在教學過程中應明確：本節(jié)課沒有提出“函數(shù)”，卻在真真實實地感受“函數(shù)”. 對于（1）是屬于函數(shù)的最大值和最小值問題；（2）、（5）體現(xiàn)了函數(shù)的一種對應關系;（3）求的就是值域，（4）討論的即是

13、函數(shù)的增減性；（6）是對函數(shù)周期性的一種感受.這些教師在課堂上都應重點突破.3、本節(jié)課的圖象由格紙給出，不討論直角坐標系和點的坐標等內容，只要求學生能結合 具體情境根據(jù)圖象大致分析變量之間的關系.有關直角坐標系、點的坐標以及對圖象的 進一步認識等內容，將在以后的學習中出現(xiàn).4、“議一議”中的圖象體現(xiàn)了駱駝的體溫隨時間的變化而變化的過程，通過對這一有趣問 題的討論，學生進一步學習了根據(jù)圖象大致分析變量之間的關系.對于問題（6）教師不 能忽視，應鼓勵學生查找有關資料，綜合分析，進行交流，進而更深一步地體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系.5、此外，本節(jié)課還安排了 “隨堂練習”，自然現(xiàn)象一一潮汐的升落，讓學生體

14、會兩變量之 間的關系以及用圖象表示關系具有直觀性的特點，并感受數(shù)學的廣泛聯(lián)系和應用價值.6、本節(jié)課評價建議：觀察學生能否用語言描述圖象所表示的變化過程和變量之間的關系;學生對圖象表示的理解，學生從圖象中獲得信息的能力；能否有條理地進行語言表達的能力.4、速度的變化一、教材分析：圖象表示以其直觀性有著其他表示方式所不能替代的作用.因此，本節(jié)課特別又對圖象 所表示的變量之間的關系進行了討論，讓學生用語言描述圖象所表示的變化過程，加強他 們對圖象表示的理解，發(fā)展從圖象中獲得信息的能力及有條理地進行語言表達的能力.本節(jié)進一步學習變量關系的圖象表示.著名數(shù)學家lm.gelfand在他的著作函數(shù)與圖 形一

15、書中這樣闡述到：作出函數(shù)的圖象是將公式和數(shù)據(jù)轉化為幾何形式的過程.因此，作 圖是“看見”相應的公式和函數(shù)、觀察該函數(shù)變化的途經之一.當有必要說明一個函數(shù)的整體 情況及其特性時，函數(shù)的圖象以其直觀性有著別的工具不能替代的作用.正是因為如此，工 程師或科學家一旦遇到他們感興趣的函數(shù)時，他們總要作出函數(shù)的圖象，看它們是如何變 化的？是什么形狀？二、教學目標：通過速度隨時間變化的實際情境，進一步經歷從圖中分析變量之間關系的過程， 加深對圖象表示的理解，進一步發(fā)展從圖象中獲得信息的能力及有條理地進行語言表 達的能力.三、教學建議：1、對速度表的說明：汽車的速度是由速度表反映出來的，有條件可以引導學生觀察汽車 速度表并讀表.2、例題反映了速度隨時間變化的情況，教師可以從一些簡單的圖開始討論，應注意糾正 學生把圖象認為是汽車運動路線的錯誤理解，可把速度一一時間圖象與離出發(fā)點的距 離一一時間圖象對比，以免混淆.3、在回答（3）時，學生可能有多種想法，只要合理，