小學常用奧數(shù)知識點及公式匯總

1、小學常用奧數(shù)知識點及公式匯總( 必備 ).doc1和差倍問題22年齡問題的三個基本特征：3歸一問題的基本特點：4植樹問題5雞兔同籠問題6盈虧問題37牛吃草問題8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律9平均數(shù)10抽屜原理411定義新運算12數(shù)列求和13二進制及其應用514加法乘法原理和幾何計數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)616約數(shù)與倍數(shù)17數(shù)的整除718余數(shù)及其應用19余數(shù)、同余與周期20分數(shù)與百分數(shù)的應用821分數(shù)大小的比較922分數(shù)拆分23完全平方數(shù)24比和比例1025綜合行程26工程問題27邏輯推理1128幾何面積29立體圖形30時鐘問題快慢表問題1231時鐘問題鐘面追及32濃度與配比33經(jīng)濟問題1333經(jīng)濟問題34簡單方

2、程35不定方程36循環(huán)小數(shù)141 和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關系圍( 和差 ) ÷2=較小數(shù)較小數(shù)差 =較大數(shù)和÷ ( 倍數(shù) 1)=差÷ ( 倍數(shù) -1)= 小和較小數(shù) =較大數(shù)小數(shù)數(shù)公式小數(shù)×倍數(shù) =大數(shù)小數(shù)×倍數(shù) =大數(shù)( 和差 ) ÷2=較大數(shù)和小數(shù) =大數(shù)小數(shù)差 =大數(shù)較大數(shù)差 =較小數(shù)和較大數(shù) =較小數(shù)關鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2年齡問題的三個基本特征：兩個人的年齡差是不變的；兩個人的年齡是同時增加或者同時減少

3、的；兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3歸一問題的基本特點：問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示。關鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4植樹問題在直線或者不封閉在直線或者不封閉的在直 線或者不封閉曲基本類封閉 的曲線上的曲線上植樹， 兩端曲線上植樹，兩端都不線上植型植樹，只有一端都植樹植樹樹植樹基本公棵數(shù) =段數(shù) 1棵數(shù) =段數(shù) 1棵數(shù) =段數(shù)式棵距×段數(shù) =總長棵距×段數(shù) =總長棵距×段數(shù) =總長關鍵問確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關系題5雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為 置換問題、假設問題，就是把

4、假設錯的那部分置換出來；基本思路：假設，即假設某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設成兔子： 雞數(shù)（兔腳數(shù)×總頭數(shù)總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)雞腳數(shù)）把所有兔子假設成雞： 兔數(shù)（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)） ÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6盈虧問題基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標準分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，

5、由它們的關系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭炕舅悸罚合葘煞N分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式： 總份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差當兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差當兩次都不足；基本公式： 總份數(shù)（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。關鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。7牛吃草問題基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“ 1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找

6、出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c：原草量和新草生長速度是不變的；關鍵問題：確定兩個不變的量?；竟剑荷L量 =（較長時間×長時間牛頭數(shù) - 較短時間×短時間牛頭數(shù)）÷（長時間 - 短時間）；總草量 = 較長時間×長時間牛頭數(shù)-較長時間×生長量；8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。關鍵問題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有 366 天；年份能被 4 整除；如果年份能被100 整除，則年份必須能被400 整除；平年：一年有365 天。年份不

7、能被4 整除；如果年份能被100 整除，但不能被400 整除；9平均數(shù)基本公式： 平均數(shù) =總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量 =平均數(shù)×總份數(shù)總份數(shù) =總數(shù)量÷平均數(shù)平均數(shù) =基準數(shù)每一個數(shù)與基準數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進行計算.基準數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關系，確定一個基準數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù)；以基準數(shù)為標準，求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關系見基本公式10抽屜原理抽屜原則一：如果把（ n+1）個物體放在 n

8、個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。例：把 4 個物體放在 3 個抽屜里，也就是把4 分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2 個或多于 2 個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2 個物體。抽屜原則二：如果把n 個物體放在 m個抽屜里，其中n>m，那么必有一個抽屜至少有: k=n/m +1 個物體：當 n 不能被 m整除時。 k=n/m 個物體：當 n 能被 m整除時。理解知識點： X 表示不超過 X 的最大整數(shù)。例 4.351=4 ； 0.

9、321=0 ；2.9999=2 ；關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行運算。11定義新運算基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算?；舅悸罚簢栏癜凑招露x的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算。關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。注意事項：新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。每個新定義的運算符號只能在本題中使用。12數(shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰 兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉棧旱炔顢?shù)列的第一個數(shù)，一般用a1 表示；項

10、數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n 表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d 表示；通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an 表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn 表示基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1 ,an, d, n, sn,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。基本公式：通項公式：an = a1+（ n 1）d；通項首項（項數(shù)一1)×公差 ；數(shù)列和公式： sn,= ( a1+ an) × n÷ 2；數(shù)列和（首項末項）×項數(shù)÷2；項數(shù)公式：

11、 n= ( an+ a1) ÷ d 1；項數(shù) =（末項 - 首項）÷公差1；公差公式： d = （ an a1）÷（ n 1）；公差 =（末項首項）÷（項數(shù) 1）；關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；13二進制及其應用十進制：用 09 十個數(shù)字表示，逢 10 進 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2×102+3×10+4。=An×10n-1+An-1 ×10n-2+An-2 ×10n-3+An-3 ×

12、;10n-4+An-4 ×10n-5+An-6× 10n-7+A3×102+A2× 101+A1×100注意： N0=； N =N（其中 N 是任意自然數(shù)）二進制：用 01 兩個數(shù)字表示，逢2 進 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（ 2）= An×2n-1+An-1 × 2n-2+An-2 ×2n-3+An-3 ×2n-4+An-4 ×2n-5+An-6 ×2n-7 + +A3× 22+A2×21+A1×20注意： An 不是 0 就是 1。十進制化成

13、二進制：根據(jù)二進制滿 2 進 1 的特點，用 2 連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為 0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數(shù)的2 的 n 次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2 的 n 次方，依此方法一直找到差為0，按照二進制展開式特點即可寫出。14加法乘法原理和幾何計數(shù)加法原理 ：如果完成一件任務有n 類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有 m2種不同方法，在第n 類方法中有 mn種不同方法，那么完成這件任務共有： m1+ m2. +mn種不同的方法。關鍵問題：確定工作的分類方法。基本特征：每一種方法都可完成任務。乘法原理： 如果完成一件任務需要分成 n

14、個步驟進行， 做第 1 步有 m1種方法，不管第 1 步用哪一種方法，第 2 步總有 m2種方法不管前面 n-1 步用哪種方法，第 n 步總有mn種方法，那么完成這件任務共有：m1×m2.×mn種不同的方法。關鍵問題：確定工作的完成步驟?；咎卣鳎好恳徊街荒芡瓿扇蝿盏囊徊糠?。直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。直線特點：沒有端點，沒有長度。線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。線段特點：有兩個端點，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點：只有一個端點；沒有長度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù) 1+2+3+ +（點數(shù)一 1）；數(shù)角規(guī)律 =1+2+3+ +

15、（射線數(shù)一 1）；數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù) =長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù) =1×1+2×2+3× 3+行數(shù)×列數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了 1 和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。合數(shù)：一個數(shù)除了 1 和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù) ：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標準表示形式： N=，其中 a1、a2、a3 an 都是合數(shù) N

16、 的質(zhì)因數(shù)，且 a1<a2<a3< <an。求約數(shù)個數(shù)的公式： P=(r1+1) × (r2+1) × (r3+1) ×× (rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù) ：若整數(shù) a 能夠被 b 整除， a 叫做 b 的倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)。公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì) ：1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾

17、個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如： 12 的約數(shù)有 1、2、3、4、6、12；18 的約數(shù)有： 1、2、3、6、9、18；那么 12 和 18 的公約數(shù)有： 1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公約數(shù)是： 6，記作（ 12，18） =6；求最大公約數(shù)基本方法 ：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾

18、個數(shù)的最小公倍數(shù)。12 的倍數(shù)有： 12、24、 36、48；18 的倍數(shù)有： 18、36、 54、72；那么 12 和 18 的公倍數(shù)有： 36、 72、108；那么 12 和 18 最小的公倍數(shù)是 36，記作 12 ，18=36 ；最小公倍數(shù)的性質(zhì) ：1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17數(shù)的整除一、基本概念和符號：1、整除：如果一個整數(shù) a，除以一個自然數(shù) b，得到一個整數(shù)商 c，而且沒有余數(shù)，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，記作 b|

19、a 。2、常用符號：整除符號 “ | ”，不能整除符號 “”；因為符號 “” ，所以的符號 “”；二、整除判斷方法：1. 能被 2、5 整除：末位上的數(shù)字能被 2、5 整除。2.能被 4、25 整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25 整除。3.能被 8、125 整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125 整除。4.能被 3、9 整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被 3、9 整除。5. 能被 7 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2 倍后能被 7 整除。6. 能被 11 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之

20、差能被11 整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11 整除。7. 能被 13 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9 倍后能被 13 整除。三、整除的性質(zhì)：1. 如果 a、 b 能被 c 整除，那么（ a+b）與（ a-b ）也能被 c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整數(shù)，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4. 如果 a 能被 b、 c 整除，那么 a

21、也能被 b 和 c 的最小公倍數(shù)整除。18. 余數(shù)及其應用基本概念：對任意自然數(shù) a、b、 q、r ，如果使得 a÷b=q r ，且 0<r<b, 那么 r 叫做 a 除以 b 的余數(shù)， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。若 a、b 除以 c 的余數(shù)相同，則c|a-b 或 c|b-a 。 a 與 b 的和除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余數(shù)加上 b 除以 c 的余數(shù)的和除以 c 的余數(shù)。 a 與 b 的積除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余數(shù)與 b 除以 c 的余數(shù)的積除以 c 的余數(shù)。19余數(shù)、同余與周期一、同余的定義 ：若兩個整數(shù)

22、 a、b 除以 m的余數(shù)相同，則稱a、b 對于模 m同余。已知三個整數(shù)a、 b、 m，如果 m|a-b ，就稱 a、b 對于模 m同余，記作 ab(modm)，讀作 a 同余于 b 模 m。二、同余的性質(zhì) ：自身性： aa(modm)；對稱性：若 a b(modm)，則 ba(modm)；傳遞性：若 a b(modm)，bc(modm)，則 a c(modm)；和差性：若 a b(mod m)，cd(mod m)，則 a+cb+d(mod m)， a-c b-d(mod m)；相乘性：若 a b(modm)，cd(modm)，則 a× c b ×d(modm)；乘方性：若

23、a b(modm)，則 an bn(modm)；同倍性 : 若 a b(mod m) ，整數(shù) c，則 a× c b ×c(modm×c) ；三、關于乘方的預備知識：若 A=a× b，則 MA=Ma×b=（ Ma）b若 B=c+d 則 MB=Mc+d=Mc×Md四、被 3、9、11 除后的余數(shù)特征：一個自然數(shù) M， n 表示 M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則 M n(mod 9) 或（ mod 3）；一個自然數(shù) M，X表示 M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和， Y 表示 M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則 MY-X 或 M11- （X-Y）(mod 11)

24、 ；五、費爾馬小定理 ：如果 p 是質(zhì)數(shù)（素數(shù)）， a 是自然數(shù)，且 a 不能被 p 整除，則 ap-1 1(mod p) 。20分數(shù)與百分數(shù)的應用基本概念與性質(zhì)：分數(shù)：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0 除外），分數(shù)的大小不變。分數(shù)單位：把單位“ 1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進行思考。對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應用題轉(zhuǎn)化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比

25、例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關系；把不同的標準（在分數(shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果。量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況： A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。 C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關系單一化、量率關系明朗化。同倍率法：總量和分量之間

26、按照同分率變化的規(guī)律進行處理。濃度配比法：一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21分數(shù)大小的比較基本方法：通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關系比較。通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關系比較。基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較。分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值越大。倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數(shù)的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較。倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以

27、另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1 進行比較。大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0 比較。倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小?；鶞蕯?shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較。22. 分數(shù)拆分將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式：第一題你要拆 1/12 （也就是 1/A ） 先列出 12 的約（因）數(shù)： 1、2、3、4、6、12隨便選兩個約數(shù) 分為 a1 a2 這里我選 3、4公式： 1/A=A÷ a1×（ a1+a2）/1+ A ÷a2×（ a1+a2）/1套入公式： 1/12=12÷ 3×（ 3+4）/1+ 1

28、2 ÷4×（ 3+4）/1最后等于： 1/12=1/28+1/21第二題就像上面的一樣套入公式計算，要把第一題的其中一個答案再拆分就可以了。答案是： 1/21+1/84+1/4223完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1. 末位數(shù)字只能是： 0、1、4、5、6、9；反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6. 奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。7. 兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式： X2-Y2=（X-Y）（ X

29、+Y）完全平方和公式： （X+Y）222= X+2XY+Y完全平方差公式： （X-Y）2= X2-2XY+Y2費爾馬小定理 ：如果 p 是質(zhì)數(shù)（素數(shù)）， a 是自然數(shù)，且 a 不能被 p 整除，則 ap-1 1(mod p) 。24比和比例比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。 比號前面的數(shù)叫比的前項， 比號后面的數(shù)叫比的后項。比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積( 交叉相乘 ) ， ad=bc。正比例：若 A 擴大或縮小幾倍， B 也擴大或縮

30、小幾倍（ AB的商不變時），則 A與 B 成正比。反比例：若 A 擴大或縮小幾倍， B 也縮小或擴大幾倍（ AB的積不變時），則 A 與 B成反比。比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系 .基本公式：路程 =速度×時間；路程÷時間 =速度；路程÷速度 =時間關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）追及問題：追及時間路程差÷速度差（寫出其他公式）流

31、水問題：順水行程 =（船速 +水速）×順水時間逆水行程 =（船速 - 水速）×逆水時間順水速度 =船速 +水速逆水速度 =船速 - 水速靜水速度 =（順水速度 +逆水速度）÷ 2水速 =（順水速度 - 逆水速度）÷ 2流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程 （相遇路程、追及路程）、 時間（相遇時間、追及時間）、速度 （速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。26工程問題基本公式：工作總量 =工作效率×工作時間工作效率 =工作總量÷

32、工作時間工作時間 =工作總量÷工作效率基本思路：假設工作總量為“ 1”（和總工作量無關）；假設一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），利用上述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合。27邏輯推理基本方法簡介：條件分析假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a 是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a 一定是奇數(shù)。條件分析列表法：當題設條件比較多，需

33、要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。 列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中， 表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。條件分析圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的關系， 有連線則表示 “是，有”等肯定的狀態(tài)， 沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如 A 和 B 兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識。邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供一個新的判斷篩選條件。簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法

34、，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決。28幾何面積基本思路：在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1. 連輔助線方法2. 利用等底等高的兩個三角形面積相等。3. 大膽假設（有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上）。4. 利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4 等于等腰直角三角形的面積）梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的

35、78.5%。29立體圖形名稱圖形特征表面積體積長方體8 個頂點； 6 個面；相對的面相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh12 條棱；相對的棱相等；=Sh正方體8 個頂點； 6 個面；所有面相等；S=6a2V=a312 條棱；所有棱相等；圓柱體上下兩底是平行且相等的圓； 側(cè)面S=S側(cè)+2S底V=Sh展開后是長方形；S 側(cè)=Ch下底是圓；只有一個頂點；l: 母線，側(cè)+S底圓錐體S=SV=Sh頂點到底圓周上任意一點的距離；S 側(cè)=rl球體圓心到圓周上任意一點的距離是S=4r2V=r3球的半徑。30時鐘問題快慢表問題基本思路：1、按照行程問題中的思維方法解題；2、不同的表當成速度不同的運動物體；

36、3、路程的單位是分格（表一周為60 分格）；4、時間是標準表所經(jīng)過的時間；5、合理利用行程問題中的比例關系；31時鐘問題鐘面追及基本思路：封閉曲線上的追及問題。關鍵問題：確定分針與時針的初始位置；確定分針與時針的路程差；基本方法：分格方法：時鐘的鐘面圓周被均勻分成60 小格，每小格我們稱為1 分格。分針每小時走60 分格，即一周；而時針只走5 分格，故分針每分鐘走1 分格，時針每分鐘走112 分格。度數(shù)方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是 360°，分針每分鐘轉(zhuǎn) 360/60 度，即 6°，時針每分鐘轉(zhuǎn) 360/12*60 度，即 1/2 度。32濃度與配比經(jīng)驗總結(jié)：在配比的

37、過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液?；竟剑喝芤褐亓?=溶質(zhì)重量 +溶劑重量；溶質(zhì)重量 =溶液重量×濃度；濃度 =（溶質(zhì)溶液）× 100%溶劑 =溶液×（ 1- 濃度）理論部分小練習：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。33經(jīng)濟問題利潤的百分數(shù) =（賣價 -

38、成本）÷成本× 100%；賣價 =成本×（ 1+利潤的百分數(shù)）；成本 =賣價÷（ 1+利潤的百分數(shù)）；商品的定價按照期望的利潤來確定；定價 =成本×（ 1+期望利潤的百分數(shù)）；本金：儲蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息 =本金×利率×期數(shù)；含稅價格 =不含稅價格×（ 1+增值稅稅率）；34簡單方程代數(shù)式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個或幾個相等的代數(shù)式用等號連起來。列方程關鍵問題：用兩個以上的不同代數(shù)式表示同一個數(shù)。等式性質(zhì)：等式兩邊同時加上或減去一個數(shù)

39、，等式不變；等式兩邊同時乘以或除以一個數(shù)（除 0），等式不變。移項：把數(shù)或式子改變符號后從方程等號的一邊移到另一邊；移項規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最后去小括號。加去括號規(guī)則：在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“+”號，則添、去括號，括號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“”號，添、去括號，括號里面的運算符號都要改變；括號里面的數(shù)前沒有“ +”或“”的，都按有“ +”處理。移項關鍵問題：運用等式的性質(zhì)，移項規(guī)則，加、去括號規(guī)則。乘法分配率： a(b+c)=ab+ac解方程步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；求解；方程組：幾個二元一次方程組成的一組方程。解方程組的

40、步驟：消元；按一元一次方程步驟。消元的方法：加減消元；代入消元。35不定方程一次不定方程：含有兩個未知數(shù)的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常規(guī)方法：觀察法、試驗法、枚舉法；多元不定方程：含有三個未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個未知數(shù)的值，或者消去一個未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知識點：列方程、數(shù)的整除、大小比較；解不定方程的步驟： 1、列方程； 2、消元； 3、寫出表達式； 4、確定范圍； 5、確定特征； 6、確定答案；技巧總結(jié)： A、寫出表達式的技

41、巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的未知數(shù)，同時考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)； B、消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)；36循環(huán)小數(shù)一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分數(shù)的規(guī)則純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分數(shù)：將一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是 9，9 的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分?；煅h(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分數(shù)：分子是第二個循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是 9， 9 的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾位是 0， 0 的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。二、分數(shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：一個最簡分數(shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)

42、2 和 5，又含有 2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分數(shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。一個最簡分數(shù)，如果分母中只含有 2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分數(shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。* 1 至30的平方1*1=12*2=43*3=94*4=165*5=256*6=367*7=498*8=649*9=8110*10=10011*11=12112*12=14413*13=16914*14=19615*15=22516*16=25617*17=28918*18=32419*19=36120*20=40021*21=44122*22=48423*23=52924*24=57625*25=62526*

43、26=67627*27=72928*28=78429*29=84130*30=900* 世界上最神奇的數(shù)字是 1 除以 7 的循環(huán)節(jié)： 1428571/7=0.142857 142857 142857.它神奇在哪里呢？1、我們把它從 1 乘到 6 看看142857 X 1 = 142857142857142857 X 2 = 285714285714142857 X 3= 428571428571142857 X 4= 571428 571428142857 X 5= 714285 714285142857 X 6= 857142857142同樣的 6 個數(shù)字，只是依此調(diào)換了位置，反復出現(xiàn)。2

44、、我們從 1 乘到 6 除以 7 看看1/7=0.142857.2/7=0.285714.3/7=0.428571.4/7=0.571428.5/7=0.714285.6/7=0.857142.1， 3， 5 分別除以 7 所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的最高位后移，后面的前移。2，4，6 分別除以 7 所得商的規(guī)律是循環(huán)節(jié)的前兩位后移，后面的前移。3 、那么把它乘以 7 是多少呢？我們會驚人的發(fā)現(xiàn)是 9999994、 142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99 1+4+2+8+5+7=9+9+95、我們用 142857 乘以 142857=20408122449 前五位 +上后

45、六位的得數(shù)是多少呢？20408 + 122449 = 142857“ 142857”發(fā)現(xiàn)于埃及金字塔內(nèi)，它確實是一組神奇的數(shù)字。* 數(shù)學小故事：神奇美妙的“ 9 ”九，是我們中華民族所崇拜的數(shù)字，在中國古代人們的觀念中，將天稱為“九天”、“九重”、“九霄” ; 將地劃為“九州”、“九域 ”; 將宗廟稱為“九廟” ; 道路謂之“九陌” ; 山有“九崇” ; 水曰“九河” ; 地有“九泉” ; 人分“九級” ; 官為“九品”。在古樂古詩中有九辯、 九喜、九歌、九章等。九在中國人的心中竟擁有如此神奇的地位 ; 作為一個數(shù)學愛好者，應該去深入探索它的本質(zhì)及其它美妙的蘊意。易經(jīng)上說，九數(shù)含有吉祥的意思，

46、如果按照“陰陽”來說，奇數(shù)為陽，偶數(shù)為陰，而九是陽數(shù)中最大的，稱為“極陽數(shù)”。十是一個完美的數(shù)字，而九接近十而不到十，具有很強的傾向性，一位數(shù)字只有十個，而九是最大的一個，故為數(shù)字之極，寓義崇高。也許，就是這個原因，九有其最多的奇妙特點，最多的趣味性質(zhì)。九有一個非常奇妙的性質(zhì)，是其它數(shù)字所沒有的。如果要求一個自然數(shù)除以九的余數(shù)，則只要將這個數(shù)各位數(shù)字相加，其和如果仍是兩位以上的數(shù)，則再將這個和的各位數(shù)字相加，最后所得的一位數(shù)，就是這個自然數(shù)除以九的余數(shù)。九的這一奇妙特點，總使數(shù)學愛好者十分著迷， 許多趣味數(shù)學游戲， 都與九的這一規(guī)律有關。 數(shù)學老師常用“湊九”法驗算學生的算式是否有誤，而“湊九

47、”法就是采納了這一原理。九的倍數(shù)的各位數(shù)字之和也一定是九的倍數(shù)，可知九的倍數(shù)是一個非常和諧圓滿的數(shù)系。八位數(shù) 12345679，如果將它同九相乘，奇怪的很，其積竟是全由 1 組成的數(shù)字 111111111; 如再乘 18( 九的 2 倍) ，可得九個 2，乘 27( 九的 3 倍) ，可得九個 3，直到乘 81，就可以得到九個 9. 這種整齊統(tǒng)一的特點，給人以多么美妙的印象啊 ! 也許有人要問為什么把 8 去掉，填上會有規(guī)律嗎 ?若把 7、8 都去掉，或把 6、7、8 都去掉，仍用九去乘，還有規(guī)律嗎 ?答案是肯定的。九這個數(shù)字就是這么神奇，我們來看下列算式：縱觀上面九個算式，不僅算式的結(jié)果很有

48、規(guī)律，且積的數(shù)字之和都為九。第一個算式到第九個算式的變化，更能顯示出奇妙無比的秩序美。如果你隨便找來一個兩位以上的自然數(shù)， 比如是 317，將此數(shù)打亂， 變成 173、731、 713 吧，我們現(xiàn)在求出新數(shù)與原數(shù)的差，你猜會有什么結(jié)論 ?這些差 144、414、396 竟然全是九的倍數(shù)。在這里，無論是定數(shù)字，還是打亂所找數(shù)字的順序，都是多么的隨心所欲啊 ! 可是在這種繁亂中竟能出現(xiàn)規(guī)律，這種規(guī)律的主宰者卻是九。假如再隨意找一個兩位以上的數(shù)，比方 418，先將它的各位數(shù)字之和求出 ; 用原數(shù)減去其數(shù)字之和(418-18) ，其差 405 也是九的倍數(shù)。下列算式的確是種簡明的公式： 100a+10

49、b+c-(a+b+c)=99a+9b ，公式的結(jié)果竟然是一個常數(shù)，且還是九的倍數(shù)，如所選的數(shù)是 4 位、5 位，是否還有規(guī)律呢 ?我們敢于肯定地說，九的奇妙一定處處再現(xiàn)，無論是多少位，九的統(tǒng)一美的光芒定會時時閃耀。九是一個神奇的反序數(shù) ，在算式 1089×9=9801 中可知，九乘某一個數(shù)字，能使其順序正好顛倒過來。從算式 123456789×8+9=987654321中也可知，九加某數(shù)也竟能使其順序顛倒 ; 九也是一個神圣的自補數(shù) ，因為 92=81， 1+9=10;992=9801，1+99=102;9992=998001， 1+999=103;又 99×47

50、=4658，而 53+47=102， 999× 321=320679，而 670+321=103，九又是一個神秘的自生數(shù)， 93=729，993=970299，9993=997002999;九也是一個奇妙的再植數(shù) ，從算式 109890×9=989010 中看出， 9 竟然將這個數(shù)的最高兩位變成最低兩位。 九還是有趣的勾股數(shù) 中不可缺少的成員：2+402=412、92+122=152、而 40+41=92、12+15=33=3×9. 啊! 九的奇特，操縱著無數(shù)數(shù)學運算和游戲，它不愧為一位偉大的魔術師。在除法中，九的奇異也使人迷戀。看下列等式： 1/9=0.111 ， 2/9=0.222 ， 8/9=0.888 ，多有規(guī)律啊 ! 在化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)時， 九又是大顯神手， 10 是完美的數(shù)字，對于 10，9 和 11 是對稱的，這種對稱下也隱藏著許多秘密： 1/11=0.09 ，2/1