公式法解一元二次方程與根的判別式

1、課題公式法解一元二次方程與根的判別式教學(xué)目標：1熟記求根公式，掌握用公式法解一元二次方程2、通過求根公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，滲透化歸和分類討論的思想3、通過求根公式的發(fā)現(xiàn)過程增強學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)概括能力及嚴謹認真的學(xué)習(xí)態(tài)度4、能不解方程，而根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程的根的情況5、培養(yǎng)思維的嚴密性、邏輯性和靈活性以及推理論證能力教學(xué)重點：1求根公式的推導(dǎo)和用公式法解一元二次方程2、會用判別式判定一元二次方程根的情況.教學(xué)難點：1正確理解“當b2 -4ac : 0時，方程ax2 bx0(a = 0)無實數(shù)根2、運用判別式求出符合題意的字母的取值范圍一、學(xué)習(xí)新知，推導(dǎo)公式我們以前學(xué)過的一元一次方程ax

2、b = 0 (其中a、b是已知數(shù)，且a* 0)的根唯一存一b2在，它的根可以用已知數(shù) a、b表示為x二,那么對于一元二次方程 ax bx 0 (其a中a、b、c是已知數(shù)，且a豐0),它的根情況怎樣？能不能用已知數(shù)a、b、c來表示呢？我們用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式.用配方法解一元二次方程 ax2 bx c - 0(a = 0)解：ax2 bx - -c移常數(shù)項x2x - 方程兩邊同除以二次項系數(shù) (由于a*0,因此不需要分類討論)a a2 bb 2 cb 2x x ()()兩邊配上一次項系數(shù)一半的平方a2a a2a2(x )2二一4轉(zhuǎn)化為(X - m)2二n的形式2a4a注：在我們以前學(xué)

3、過的一元二次方程中，會碰到有的方程沒有解。因此對上面這個方程要進行討論因為a = 0所以4a2 - 0(1 )當 b?4ac _ 0 時,b 4ac0。4a利用開平方法，得X 2ab2 4ac 二 土4 4a22a Y 4a2所以 x = bb 4ac ,2a(2)當 b2 -4ac : 0 時,b 坯：0。在實數(shù)范圍內(nèi)，x取任何值都不能使方程 4a(X 2)2讐左右兩邊的值相等，所以原方程沒有實數(shù)根。2a4a兒二次方程ax2 bx c = 0(a = 0)，當b2-4ac丄0時，它有兩個實數(shù)根:2axbb2-4ac( a = 0,b2-4ac_0)這就是一元二次方程ax2 bx c = 0(

4、a = 0)的求根公式.問題：1、在求根公式中，如果 b2 4ac =0時，根的情況如何?2、如何用求根公式求一元二次方程的根?解答:1、如果b2 -4ac=0，那么方程有兩個相等的實數(shù)根，即Xib2a2、運用求根公式解一元二次方程時先要把方程化成一般式，如果b2 -4ac 一 0，那么可代入公式求出方程的根，如果b2 -4ac : 0，那么方程無實數(shù)根,這種解一元而次方程的方法叫做公式法.二、利用公式引導(dǎo)判別式:b 二* b2 _ 4ac利用求根公式X，可以解任何一個一元二次方程2a2ax bx c 二 0(a = 0).2(1 )當b -4ac 0時，方程的根是-bb24ac2a，x2 =

5、-b- b2 -4ac2a(2)當b2 -4ac =0時，方程的根是治b一 x2 _ 2a(3)當_4ac ：0時，方程沒有實數(shù)根提問：究竟是什么決定了一元二次方程根的情況？通常用1、 定義：我們把b? -4ac叫做一元二次方程 ax2 bx 0(a = 0)的根的判別式， 符號“”表示，記作=b2 -4ac.2、一元二次方程 ax2 bx c = 0(a = 0)，當厶=b2-4ac 0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；2當厶=b -4ac =0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當厶=b2 -4ac : 0時，方程沒有實數(shù)根.例題精講：例1：用公式法解下列方程：(1) 5x2 6x 1 =0(2)、2

6、(x2-1) = x(x-2) 1解(1)原方程中a =5,b =6,c =1，2 2b -4ac=6 -4 5 1 =16-6±用-6±4x 二2 漢5101即x 或x = -151所以，原方程的根是論丄，X2二15(2) 把原方程化為一般式，得 C，2-1)X2 Ix-'Q-仁0其中 a 二 2 -1,2, - .2 -1b2 -4ac = 22 4( .2 -1) 2 1) =8-2 価-22 -匹 2_2G 2- 1)2( -2 1)- 2 1即x = 1 或 x = -3 - 2、2a、 b、注：用公式法解一元二次方程時，應(yīng)根據(jù)方程的一般式確定a、b、c的

7、值，并且注意c的符號。例2、不解方程，判別下列方程的根的情況：(1) 4x2 - 5x - 3 = 0 ；( 2) 2x2 4x 3 = 0 ；(3) 2x2 3 = 2、6x.解: (1 m =(-5)2 -4 4 (-3) =73 0原方程有兩個不相等的實數(shù)根2(2) ,； =4一4 2 3 - -8 ： 0 原方程沒有實數(shù)根.(3) 原方程可化為2x2 - 2.6x 3 = 0 .1 =(一2.6)2 -4 2 3 = 0原方程有兩個相等的實數(shù)根例3、關(guān)于x的方程x2 (m -1)x-m=0 (其中m是實數(shù))一定有實數(shù)根嗎 ？為什么? 解：，；=(m-1)2-4 1 (-m)2=m 2m

8、 1=(m 1)2因為m是實數(shù)，所以(m 1)2 _ 0 ,即厶- 0 .所以，此方程一定有實數(shù)根 基礎(chǔ)訓(xùn)練、求下列方程中b2 -4ac的值:21、 x -6x -5 = 022、x -8x 16 = 03、2x2 = 3x -'26、x2 -x =15、lx2x=04227、x q 二-px二、不解方程，判斷下列方程根的情況:2& x2 - （、2 ： ?3）x 、6 = 02、3x2 x 一丄=023、x2 -2 一2x 3 = 01 21c5、 x x 02 27、x25 =024、4x - 12x 9=08、遼 x2 x 1 =04三、用公式法解下列方程：1、x2-2.

9、2x-2=02、x2 2x=23、2x2 2x -2 =04、9x2 -12x2 = 05、4x2 =4、2x 16、9x2 -6.6x 1=01、 2x 5x 2=0四、解答題:1當q .0時，請你判斷關(guān)于 x的方程x2 px - q = 0的根的情況。2、關(guān)于x的方程x2 -(m - 2)x 2m =0 定有實根嗎？為什么 ？3、如果關(guān)于x的一元二次方程kx2 -6x 9 =0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍。能力提高一、用公式法解下列一元二次方程：21 4x 1 =8x2、3x(3x 4) - -13、9x(x -1) =3x 14、4x(2x-、3) 1-0二、解答題：1、關(guān)于x的方程mx2 (m 3)x 3=0 定有實數(shù)根嗎？為什么?第9頁共7頁2、關(guān)于x的一元二次方程(k -4)x2 -2x-1 =0(1) 若方程有兩個實數(shù)根，求 k的取值范圍；(2) 當k是怎樣的正整數(shù)時，方程沒有實數(shù)根。思維拓展21、已知a、b、c是厶ABC的三邊，判斷