專題質(zhì)量檢測(cè)3

1、 (時(shí)間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1(2011·天津南開中學(xué))下列可作為數(shù)列an：1,2,1,2,1,2，的通項(xiàng)公式的是( ) Aan1 Ban1n12 Can2 |sinn2| Dan1n132 解析：由an2|sinn2|可得a11，a22，a31，a42，. 答案：C 2(2011·杭州模擬)設(shè)數(shù)列(1)n的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意正整數(shù)n，Sn( ) A.n1n12 B.1n112 C.1n12 D.1n12 解析：數(shù)列(1)n是首項(xiàng)與公比均為1的等比數(shù)列，故S

2、n11n111n12. 答案：D 3(2011·江西高考)設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項(xiàng)和若S10S11，則a1( ) A18 B20 C22 D24 解析：由S10S11得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)×(2)20. 答案：B 4(2011·銀川聯(lián)考)已知等比數(shù)列an中，a12，且a4a64a27，則a3( ) A.12 B1 C2 D.14 解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知條件可得a254·a25·q4， q414，q212. a3a1q22×12 1. 答案：B 5(

3、2011·天津高考)已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為an 的前n項(xiàng)和，nN*，則S10的值為( ) A110 B90 C90 D110 解析：因?yàn)閍7是a3與a9的等比中項(xiàng)，所以a27a3a9， 又因?yàn)楣顬?，所以(a112)2(a14)(a116)解得a120， 通項(xiàng)公式為an20(n1)(2)222n， 所以S1010a1a1025(202)110. 答案：D 6在等比數(shù)列an中，a5a115，a4a26，則公比q等于( ) A.12 B2 C.12或2 D2 解析：a5a1a1q4a115 a4a2a1q3a1q6 a1q41a1q3qq2

4、1q21qq21 15652，(q210) 2q225q.q12或2. 又a5a115>0，q>1， q2. 答案：B 7在等比數(shù)列an中，已知an>0，那么“a2>a4”是“a6>a8”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 解析：由a2>a4得a2>a2q2，所以0<q2<1.由a6>a8得a6>a6q2，所以0<q2<1.因此“a2>a4”是“a6>a8”的充要條件 答案：C 8等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a，公差為d；等差數(shù)列bn的首項(xiàng)為b，公差為e，如果cnan

5、bn(n1)，且c14，c28，數(shù)列cn的通項(xiàng)公式為cn( ) A2n1 B3n2 C4n D4n3 解析：cna(n1)db(n1)e (ab)(n1)(de) c1ab4， c2abde8 ab4，de4， cn4n. 答案：C 9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snqn1(q>0，且q為常數(shù))，某同學(xué)得出如下三個(gè)結(jié)論：an的通項(xiàng)是an(q1)·qn1；an是等比數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，SnSn2<S2n1.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( ) A0 B1 C2 D3 解析：anSnSn1qn1(qn11)(n2)，即an(q1)qn1(n2)，而a1S1q1，得an(q1)·qn1(

6、n1)，正確；當(dāng)q1時(shí)，an不是等比數(shù)列，錯(cuò)誤；當(dāng)q1時(shí)，令tSnSn2S2n1(qn1)(qn21)(qn11)2，則tqn(q1)2，顯然t<0，即SnSn2<S2n1，正確 答案：C 10某學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一都有A，B兩種菜可供選擇調(diào)查資料表明，凡是在星期一選A種菜的，下星期一會(huì)有20%的人改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會(huì)有30%的人改選A種菜用an，bn分別表示在第n個(gè)星期一選A種菜的人數(shù)和選B種菜的人數(shù)，如果a1300，則a10為( ) A300 B350 C400 D450 解析：依題意得? an145an3 10bn，anbn500，消去b

7、n得：an11 2an150.由a1300得a2300，從而得a10300. 答案：A 二、填空題(本大題共7小題，每小題4分，共28分請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上) 11. (2011·寧波模擬)在等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a10，公差d0，若aka1a2a3a7，則k . 解析：aka 1a2a77a17×6 2d7a121d，而a10，所以ak7a121da121da 22，k22. 答案：22 12已知等差數(shù)列a n滿足a2 3，a59，若數(shù)列bn滿足b13，bn1abn，則bn的通項(xiàng)公式為bn ( ) 解析：據(jù)已知易得an2n1，故由bn1abn可得bn12bn1，變形

8、為bn112(bn1)，即數(shù)列bn1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故bn12n，解得bn2n1. 答案：2n1 13數(shù)列an滿足：log2an11log2an，若a310，則a8_. 解析：由log2an11log2an， 得an12an，故a825·a3320. 答案：320 14(2011·湖南湘西聯(lián)考)設(shè)關(guān)于x的不等式x2x<2nx(nN*)的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為an，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn_. 解析：由x2x<2nx(nN*)得0<x<2n1，則an2n，所以Snn2n. 答案：n2n 15已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn2n，數(shù)列b

9、n滿足bn1anan1(nN*)，Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，則T9等于_ 解析：數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn2n， n1時(shí)，a12；n2時(shí)，anSnSn12n， an2n(nN*)，bn1anan112n2n214(1n1n1)，T914(112)(1213)(19110)14×(1110)940. 答案：940 16.已知在公比為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列an中，a34，且a4，a54，a6成等差數(shù)列 則求數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 解析：設(shè)數(shù)列an的公比為q(qR)， 依題意可得2(a54)a4a6， 即2(4q24)4q4q3，整理得(q21)(q2)0. qR，q2，a11. 數(shù)列an的

10、通項(xiàng)公式an2n1. 答案：an2n1 17等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，給出下列四個(gè)命題：數(shù)列(12)an為等比數(shù)列；若a2a122，則 S1313；Snnannn12d；若d>0，則Sn一定有最大值 其中真命題的序號(hào)是_(寫出所有真命題的序號(hào)) 解析：對(duì)于，注意到12 an112 an(12)an1an(12)d是一個(gè)非零常數(shù)，因此數(shù)列(12) an 是等比數(shù)列，因此正確；對(duì)于，S1313a1a13213a2a12213，因此正確；對(duì)于，注意到Snna1nn12dnan(n1)dnn12dnannn1 2d，因此正確；對(duì)于，當(dāng)d>0時(shí)，Sn不存在最大值，因

11、此不正確綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是. 答案： 三、解答題(本大題共5小題，共72分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 18(本小題滿分14分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的nN*有anSnn. (1)設(shè)bnan1，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列； (2)設(shè)c1a1且cnanan1(n2)，求cn的通項(xiàng)公式 解：(1)證明：由a1S11及a1S1得a112. 又由anSnn及an1Sn1n1， 得an1anan11， 2an1an1. 2(an11)an1，即2bn1bn. 數(shù)列bn是以b1a1112為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列 (2)法一：由(1)知2an1an1. 2a

12、nan11(n2) 2an12ananan1.2cn1cn(n2) 又c1a112，a2a1a22，a234. c2341214，c212c1. 數(shù)列cn是首項(xiàng)為12，公比為12的等比數(shù)列 cn12·(12)n1(12)n. 法二：由(1)bn12·(12)n1(12)n， an(12)n1. cn(12)n1(12)n11 (12)n1(12)n(12)n1(112)(12)n(n2) 又c1a112也適合上式，cn(12)n. 19(本小題滿分14分)已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a16，且an1an1；數(shù)列bn中，點(diǎn)Bn(n，bn)在過(guò)點(diǎn)(0,1)且以(1,2)為方向向量的直線

13、l上 (1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式； (2)若f(n)? an，n為奇數(shù)，bn，n為偶數(shù)，問(wèn)是否存在kN*，使f(k27)4f(k)成立，若存在，求出k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：(1)an1an1，an1an1. 數(shù)列an是首項(xiàng)為6，公差為1的等差數(shù)列 ana1(n1)·1n5. 又直線l的方程為y2x1， bn2n1. (2)假設(shè)滿足條件的k存在 由(1)得：f(n)? n5，n為奇數(shù)，2n1，n為偶數(shù)， 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，k27為奇數(shù)， f(k27)4f(k)，k2754(2k1)，解得k4. 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k27為偶數(shù)， 2(k27)14(k5)，k352(舍去) 綜上，存

14、在k4符合條件 20(本小題滿分14分)設(shè)同時(shí)滿足條件bn bn22bn1( nN* )；bnM(nN*，M是與 n無(wú)關(guān)的常數(shù))的無(wú)窮數(shù)列bn叫“特界”數(shù)列 (1)若數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，a34，S318，求Sn； (2)判斷(1)中的數(shù)列Sn是否為“特界”數(shù)列，并說(shuō)明理由 解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則 a12d4,3a13d18， 解得a18，d2. Snna1nn12dn29n. (2)SnSn22Sn1Sn2Sn1Sn1Sn2 an2an12d2 1<0， SnSn22<Sn1，數(shù)列Sn適合條件. 又Snn29n(n9 2)2814(nN*)， 當(dāng)n

15、4或5時(shí)，Sn取最大值20. 即S220，Sn適合條件. 綜上，數(shù)列Sn是“特界”數(shù)列. 21(本小題滿分15分)已知二次函數(shù)yf(x)的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且當(dāng)x14時(shí)，函數(shù)f(x)有最小值18.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖像上 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn2anan1，Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得Tn<m20對(duì)所有nN*都成立的最小正整數(shù)m. 解：(1)依題意，設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bx(a0)， 由于當(dāng)x14時(shí)，f(x)有最小值18， ? b2a14， b24a18， 解得a2，b 1， f(x)2x2x. 又點(diǎn)(n，S

16、n)(nN*)均在函數(shù)yf( x)的圖像上， Sn 2n2n. 當(dāng)n1時(shí)，a 1S12×1211； 當(dāng)n2 時(shí)，an SnSn1(2n2n)2( n1)2(n1)4n3； a11也適合上式， an4n3(nN*) (2)由(1)得bn2anan124n34n13 12(14n3 14n1)， Tn12(115)(1 519) (14n314n1) 12(114n1) 因此，要使12(114n1)<m20(n N*)成立，m必須且只需滿足12m20，即m10，故滿足要求的最小正整數(shù)m為10. 22(本小題滿分15分)(2011·溫州模擬)已知函數(shù)f(x)12x232x，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖像上 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an； (2)令bnan2n1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn； (3)令cnanan1an1an，證明：2n<c1c2cn<2n12. 解：(1)點(diǎn)(n，Sn)在f(x)的圖像上， Sn12n232n. 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n1； 當(dāng)n1時(shí)，a1S12，適合ann1， ann1(nN*) (2)bnan2n 1n12n 1， Tnb1b2bn23242 2