離散數(shù)學(xué)(1.1命題及其表示方法)

1、v邏輯：是研究推理的科學(xué)。公元前四世紀(jì)邏輯：是研究推理的科學(xué)。公元前四世紀(jì)由希臘的哲由希臘的哲學(xué)家亞里斯多德首創(chuàng)。作為一門獨(dú)立科學(xué)，十七世紀(jì)，學(xué)家亞里斯多德首創(chuàng)。作為一門獨(dú)立科學(xué)，十七世紀(jì)，德國(guó)的萊布尼茲德國(guó)的萊布尼茲(Leibniz)給邏輯學(xué)引進(jìn)了符號(hào)給邏輯學(xué)引進(jìn)了符號(hào), 又稱又稱為數(shù)理邏輯為數(shù)理邏輯(或符號(hào)邏輯或符號(hào)邏輯)。 邏輯邏輯可分為：可分為：1. 形式邏輯（通過數(shù)學(xué)方法）形式邏輯（通過數(shù)學(xué)方法） 數(shù)理邏輯數(shù)理邏輯 2. 辯證邏輯辯證邏輯 指引進(jìn)一套符號(hào)體系的方法。指引進(jìn)一套符號(hào)體系的方法。 辯證邏輯辯證邏輯是研究反映客觀世界辯證發(fā)展過程的人類思是研究反映客觀世界辯證發(fā)展過程的人類思

2、維的形態(tài)的。維的形態(tài)的。v形式邏輯形式邏輯是研究思維的形式結(jié)構(gòu)和規(guī)律的科是研究思維的形式結(jié)構(gòu)和規(guī)律的科學(xué)，它撇開具體的、個(gè)別的思維內(nèi)容，從形學(xué)，它撇開具體的、個(gè)別的思維內(nèi)容，從形式結(jié)構(gòu)方面研究概念、判斷和推理及其正確式結(jié)構(gòu)方面研究概念、判斷和推理及其正確聯(lián)系的規(guī)律。聯(lián)系的規(guī)律。v數(shù)理邏輯數(shù)理邏輯是用數(shù)學(xué)方法研究推理的形式結(jié)構(gòu)是用數(shù)學(xué)方法研究推理的形式結(jié)構(gòu)和推理的規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。它的創(chuàng)始人和推理的規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。它的創(chuàng)始人Leibniz，為了實(shí)現(xiàn)把推理變?yōu)檠菟愕南敕ǎ瑸榱藢?shí)現(xiàn)把推理變?yōu)檠菟愕南敕?，把?shù)學(xué)引入了形式邏輯。其后，又經(jīng)多人努把數(shù)學(xué)引入了形式邏輯。其后，又經(jīng)多人努力，逐漸使得數(shù)理邏輯成為

3、一門專門的學(xué)科。力，逐漸使得數(shù)理邏輯成為一門專門的學(xué)科。v從廣義上講，數(shù)理邏輯包括四論、兩演從廣義上講，數(shù)理邏輯包括四論、兩演算算即集合論、模型論、遞歸論、證明即集合論、模型論、遞歸論、證明論和命題演算、謂詞演算，但現(xiàn)在提到數(shù)論和命題演算、謂詞演算，但現(xiàn)在提到數(shù)理邏輯，一般是指命題演算和謂詞演算。理邏輯，一般是指命題演算和謂詞演算。本書也只研究這兩個(gè)演算。本書也只研究這兩個(gè)演算。2021-11-18 1.1.1 命題（命題（Proposition) 1.1.2 命題的表示方法命題的表示方法 1.1.3 命題的分類命題的分類2021-11-181.1.1 命題命題 數(shù)理邏輯研究的中心問題是推理（

4、數(shù)理邏輯研究的中心問題是推理（inference),而而推理的前提和結(jié)論都是表達(dá)判斷的陳述句，因而表達(dá)推理的前提和結(jié)論都是表達(dá)判斷的陳述句，因而表達(dá)判斷的陳述句構(gòu)成了推理的基本單位判斷的陳述句構(gòu)成了推理的基本單位。基本概念基本概念 命題：能夠判斷真假的陳述句。命題：能夠判斷真假的陳述句。 命題的真值：命題的判斷結(jié)果。命題的真值只取兩個(gè)命題的真值：命題的判斷結(jié)果。命題的真值只取兩個(gè) 值值:真（真（用用T(true)或或1表示表示）、假（）、假（用用F(false)或或0表示表示） 。 真命題：判斷為正確的命題，即真值為真的命題。真命題：判斷為正確的命題，即真值為真的命題。 假命題：判斷為錯(cuò)誤的命

5、題，即真值為假的命題。假命題：判斷為錯(cuò)誤的命題，即真值為假的命題。2021-11-18因而又可以稱因而又可以稱命題是具有唯一真值的陳述句。命題是具有唯一真值的陳述句。判斷命題的兩個(gè)步驟判斷命題的兩個(gè)步驟： 1 1、是否為陳述句；、是否為陳述句； 2 2、是否有確定的、唯一的真值。、是否有確定的、唯一的真值。 例例：判斷下列句子是否為命題。：判斷下列句子是否為命題。 (1). 100是自然數(shù)。是自然數(shù)。 T (2). 太陽從西方升起。太陽從西方升起。 F (3). 3+3=8 . F(4). How do you do ? 疑問句，疑問句，不是命題不是命題(5). 明年的十月一日是晴天。明年的十

6、月一日是晴天。是命題，其真值到是命題，其真值到明年明年 十月一日方可知道。十月一日方可知道。(6). x+39 不是命題不是命題(7). 我正在說謊。我正在說謊。是悖論是悖論(8). 1+101=110 二進(jìn)制中為真，十進(jìn)制中為假。二進(jìn)制中為真，十進(jìn)制中為假。(9). 如果太陽從西方升起，那么如果太陽從西方升起，那么2是奇數(shù)是奇數(shù)。T(10). 國(guó)足能殺入國(guó)足能殺入2006世界杯當(dāng)且僅當(dāng)世界杯當(dāng)且僅當(dāng)2+2=4。F(11). 今天天氣多好??！今天天氣多好啊！ 感嘆句，感嘆句，不是命題不是命題(12). 請(qǐng)你關(guān)上門！請(qǐng)你關(guān)上門！ 祁使句，不祁使句，不是命題，是命題， (13). 別的星球上有生物

7、。別的星球上有生物。 是命題，客觀上能判斷真是命題，客觀上能判斷真 假。假。說明：說明：（1）只有）只有具有確定真值具有確定真值的的陳述句陳述句才是命題。一才是命題。一 切沒有判斷內(nèi)容的句子，無所謂是非的句子，切沒有判斷內(nèi)容的句子，無所謂是非的句子， 如如感嘆句、祁使句、疑問句等都不是命題。感嘆句、祁使句、疑問句等都不是命題。（2） 因?yàn)橐驗(yàn)槊}只有兩種真值，所以命題只有兩種真值，所以“命題邏輯命題邏輯”又稱又稱 “二值邏輯二值邏輯”。 (3) “具有確定真值具有確定真值”是指客觀上的具有，與我們是否是指客觀上的具有，與我們是否知道它的真值是兩回事。如上例中的（知道它的真值是兩回事。如上例中的

8、（5）和（）和（13）。）。1.1.2 命題的表示方法命題的表示方法 在本書中，用大寫英文字母在本書中，用大寫英文字母A,B,P,Q或帶下標(biāo)的字或帶下標(biāo)的字母母P1,P2,P3 , ,或數(shù)字或數(shù)字(1),2, ,等表示命題，稱之為等表示命題，稱之為命題標(biāo)識(shí)符。命題標(biāo)識(shí)符。 例如：例如： P：羅納爾多是球星。：羅納爾多是球星。 Q：5是負(fù)數(shù)。是負(fù)數(shù)。 P3：明天天氣晴。明天天氣晴。 (2)：太陽從西方升起。：太陽從西方升起。 皆為符號(hào)化的命題，其真值依次為皆為符號(hào)化的命題，其真值依次為T、F、T或或F、F。 命題標(biāo)識(shí)符又有命題常量、命題變?cè)驮幼冊(cè)}標(biāo)識(shí)符又有命題常量、命題變?cè)驮幼冊(cè)?/p>

9、。之分。命題常量命題常量：表示確定命題的命題標(biāo)識(shí)符。：表示確定命題的命題標(biāo)識(shí)符。命題變?cè)}變?cè)好}標(biāo)識(shí)符如僅是表示任意命題的位置標(biāo)：命題標(biāo)識(shí)符如僅是表示任意命題的位置標(biāo) 志，就稱為命題變?cè)?。志，就稱為命題變?cè)?。原子變?cè)幼冊(cè)寒?dāng)命題變?cè)硎驹用}時(shí)，該變?cè)Q為：當(dāng)命題變?cè)硎驹用}時(shí)，該變?cè)Q為 原子變?cè)?。原子變?cè)Ｃ}變?cè)灿妹}變?cè)灿肁,B,P,Q,P1,P2,P3 , , 表示。表示。1.1.3 命題的分類：命題的分類：簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單/原子命題：原子命題：不能分解為更簡(jiǎn)單的陳述語句的命題不能分解為更簡(jiǎn)單的陳述語句的命題(如如上例中的命題上例中的命題)。復(fù)合命題：復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單命題通過由簡(jiǎn)單命題通過聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)而成的命題。聯(lián)結(jié)而成的命題。 聯(lián)結(jié)詞就是復(fù)合命題中的運(yùn)算符。聯(lián)結(jié)詞就是復(fù)合命題中的運(yùn)算符。 注意注意：（1）一個(gè)符號(hào)）一個(gè)符號(hào)(如如P), 它表示的是命題常量還是命題變它表示的是命題常量還是命題變?cè)?，一般由上下文來確定。元，一般由上下文來確定。（2）命題變?cè)梢员硎救我饷}，它不能確定真值，）命題變?cè)梢员硎救我饷}，它不能確定真值，故命題變?cè)皇敲}。這與故命題變?cè)皇敲}。這與“變數(shù)變數(shù)x不是數(shù)不是數(shù)”是一樣是一樣的道理。的道理。小結(jié)：