北師大版高中數(shù)學(xué)必修4第三章

1、北師大版高中數(shù)學(xué)必修4第三章 三角恒等變形高一數(shù)學(xué)備課組 復(fù)備人_北師大版高中數(shù)學(xué)必修4第三章 三角恒等變形教案扶風(fēng)高中高一數(shù)學(xué)備課組§3.1 同角三角函數(shù)的關(guān)系（2課時）一、教學(xué)目標(biāo)：【知識與技能】（1）能根據(jù)三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；（2）能正確運(yùn)用進(jìn)行三角函數(shù)式的求值運(yùn)算；（3）能運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求一些三角函數(shù)（式）的值，并從中了解一些三角運(yùn)算的基本技巧；（4）運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)恒等式的證明?！具^程與方法】回憶初中所學(xué)的幾個三角函數(shù)之間的關(guān)系，用高中所學(xué)的同角三角函數(shù)之間的關(guān)系試著進(jìn)行證明；掌握幾種同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用；掌握在

2、具體應(yīng)用中的一定技巧和方法；理解并掌握同角三角關(guān)系的簡單變形；提高學(xué)生恒等變形的能力，提高分析問題和解決問題的能力?！厩楦袘B(tài)度價值觀】通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們加深理解基本關(guān)系在本章中的地位；認(rèn)識事物間存在的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生面對問題養(yǎng)成勤于思考的習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)方法，進(jìn)一步樹立化歸的數(shù)學(xué)思想方法。二、教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，化簡與證明。難點(diǎn): 化簡與證明中的符號，同角三角函數(shù)關(guān)系的靈活運(yùn)用。三、學(xué)法與教學(xué)用具在初中，學(xué)生已經(jīng)見過同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，在高中就要求學(xué)生能對這些關(guān)系進(jìn)行證明，最主要的還是在于運(yùn)用。主要有三方面的應(yīng)用，即計算、化簡、證明。正因?yàn)檫@樣，

3、本節(jié)課通過例題講評和學(xué)生練習(xí)的形式開展教學(xué)。教學(xué)用具:投影機(jī)、三角板四、教學(xué)思路 【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】同角三角函數(shù)之間的關(guān)系我們在初中就已經(jīng)學(xué)過，只不過當(dāng)時應(yīng)用不是很多，那么到底有哪些？它們成立的條件是什么？學(xué)習(xí)實(shí)踐中，你還發(fā)現(xiàn)了哪些關(guān)系？今天這節(jié)課，我們就來討論這些問題。第一課時【探究新知】在初中我們已經(jīng)知道，對于同一個銳角，存在關(guān)系式： 理論證明：（采用定義）注意：1°“同角”的概念與角的表達(dá)形式無關(guān)， 如： 2°上述關(guān)系（公式2）都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立。 3°據(jù)此，由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的另兩個三角函數(shù)值，且因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式，

4、最終需求平方根，會出現(xiàn)兩解，因此應(yīng)盡可能少用（實(shí)際上，至多只要用一次）?！眷柟躺罨l(fā)展思維】1例題講評例1已知sin，且在第三象限，求cos和tan.解： cos21sin21()2 又在第三象限，cos0 cos，tan例2已知解：若a在第一、二象限，則 若a在第三、四象限，則例3化簡： 解：原式例4求證： 證一： （利用平方關(guān)系）證二： （利用比例關(guān)系）證三： （作差）2學(xué)生課堂練習(xí)教材p113練習(xí)1和p114練習(xí)2五、歸納整理，整體認(rèn)識（1）請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些？所涉及到主要數(shù)學(xué)思想方法有那些？（2）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。（3）你

5、在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？六、布置作業(yè)教材p115習(xí)題中3-1 16七、課后反思 （第二課時）一、 復(fù)習(xí)回顧1. 2.條件成立條件為任意角成立條件為二、 新授三、 練習(xí)p114 1、2四、 小結(jié)注意：1的變化 式子成立的條件五、 作業(yè)p115 a 6六、 課后反思 3.2.1兩角差的余弦函數(shù) 3.2.2兩角和的正、余弦函數(shù)一.教學(xué)目標(biāo)：【知識與技能】（1）能夠推導(dǎo)兩角差的余弦公式；（2）能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；（3）能夠運(yùn)用兩角和的正、余弦公式進(jìn)行化簡、求值、證明；（4）揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；（5）創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、

6、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識.【過程與方法】通過創(chuàng)設(shè)情境：通過向量的手段證明兩角差的余弦公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會向量作為一種有效手段的同時掌握兩角差的余弦函數(shù)，然后通過誘導(dǎo)公式導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).【情感態(tài)度價值觀】通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個全新的認(rèn)識；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.二.教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 公式的應(yīng)用.難點(diǎn): 兩角差的余弦公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)法：通過自學(xué)掌握兩角差的余弦公式. (2)探究式學(xué)習(xí)法：通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的

7、過程. (3)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四.教學(xué)設(shè)想 【創(chuàng)設(shè)情境】思考:如何求cos（450-300）的值.【探究新知】1思考:如何用任意角與 的正弦、余弦來表示cos(-)？你認(rèn)為會是cos(-)=cos-cos嗎? 展示課件在直角坐標(biāo)系作出單位圓，利用向量的方法求解（如教材圖3-2）.學(xué)生思考：以上推導(dǎo)是否有不嚴(yán)謹(jǐn)之處？教師引導(dǎo)學(xué)生分析其中的過程發(fā)現(xiàn)：上述證明僅僅是對與為銳角的情況，但與為任意角時上述過程還成立嗎？當(dāng)-是任意角時，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個角0，2），使cos=cos(-) 若0， ，則= cos=cos(

8、-) 若,2)，則2 -0， ，且=cos(2-)=cos=cos(-).結(jié)論歸納: 對任意角與都有cos=cos·cos+sin·sin這個公式稱為：差角的余弦公式 注意：1.公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)2.對于,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos()展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.利用差角余弦公式求cos的值分析: cos= cos= cos= cos思考：你會求sin的值嗎?例2.已知cos , ,求cos的值.【鞏固深化，發(fā)展思維】1.cos·cos+sin·sin= .2.cos·cos+sin·sin=

9、 .3.已知sina-sinb=-，cosa-cosb=，aÎ(0, ),bÎ(0, ),求cos(a-b)的值. 展示投影思考：如何利用差角余弦公式導(dǎo)出下列式子：cos= cos·cos- sin·sinsin=sin·cos cos ·sinsin=cos·coscos ·sin (可讓學(xué)生自己講解，教師只是適當(dāng)點(diǎn)撥而已)展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例3.已知sin，cos求cos，sin的值.思考題：已知、都是銳角, cos，cos求cos.學(xué)習(xí)小結(jié).兩角差的余弦公式：cos=co

10、s·cos+sin·sin .兩角和的余弦公式：cos= cos·cos- sin·sin 兩角和的正弦公式： sin=sin·cos cos ·sin 兩角差的正弦公式： sin=cos·coscos ·sin .注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)五、評價設(shè)計1作業(yè)：習(xí)題3-2 a組第1,2,3題 2（備選題）：求證：cosa+sina=2sin(+a)證一：左邊=2(cosa+ sina)=2(sincosa+cos sina)=2sin(+a)=右邊 （構(gòu)造輔助角）證二：右邊=2(sincosa+cos sina)=2(co

11、sa+ sina)= cosa+sina=左邊3、進(jìn)一步理解這四個公式的特點(diǎn)六、課后反思：3.2.3兩角和與差的正切函數(shù)（1課時）一、教學(xué)目標(biāo)：【知識與技能】（1）能夠利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式；（2）能夠運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡、求值、證明；（3）揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；（4）創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識.【過程與方法】借助兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式，讓學(xué)生進(jìn)一步體會各個公式之間的聯(lián)系及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí).【情感態(tài)度價值觀】通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對兩角和與差的三角函數(shù)有

12、了一個全新的認(rèn)識；理解掌握兩角和與差的三角的各種變形，提高逆用思維的能力.二、教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 公式的應(yīng)用.難點(diǎn): 公式的推導(dǎo).三、學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法：通過通過類比分析、探索、掌握兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程。 (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距。教學(xué)用具:電腦、投影機(jī)四、教學(xué)設(shè)想 【探究新知】1兩角和與差的正切公式 ta+b ,ta-b問：在兩角和與差的正、余弦公式的基礎(chǔ)上，你能用tana，tanb表示tan(a+b)和tan(a-b)嗎？（讓學(xué)生回答） 展示投影 cos (a+b)¹0tan(a+b

13、)=tan(a+b)= 當(dāng)cosacosb¹0時分子分母同時除以cosacosb得：tan(a-b)=以-b代b得：2運(yùn)用此公式應(yīng)注意些什么？（讓學(xué)生回答）展示投影 注意：1°必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tana，tanb，tan(a±b)只要有一個不存在就不能使用這個公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來解；2°注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號。）展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.求tan15°，tan75°及cot15°的值：解：1° tan15°= tan(45°-

14、30°)= 2° tan75°= tan(45°+30°)= 3° cot15°= cot(45°-30°)= （為什么？）例2.（見課本p119例4）例3.已知tana=，tanb=-2 求cot(a-b)，并求a+b的值，其中0°<a<90°, 90°<b<180°.解：cot(a-b)= tan(a+b)=又0°<a<90°, 90°<b<180° 90°<

15、a+b<270° a+b=135°例4. 求下列各式的值：1° 2° tan17°+tan28°+tan17°tan28° 解：1°原式= 2° tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1- tan17°tan28° 原式=1- tan17°tan28°+ tan17°tan28°=1 展示投影練習(xí)教材p120第1、2、3、4

16、題.學(xué)習(xí)小結(jié)1必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。即：tana，tanb，tan(a±b)只要有一個不存在就不能使用這個公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來解；2注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號。五、評價設(shè)計作業(yè)：習(xí)題3-2 a組第4、5、6、7、8題六、課后反思：3.2二倍角的正、余弦和正切 3.3半角的三角函數(shù)（兩課時）一.教學(xué)目標(biāo)：1.【知識與技能】（1）能夠由和角公式而導(dǎo)出倍角公式；（2）能較熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行化簡、求值、證明，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和邏輯推理能力；（3）能推導(dǎo)和理解半角公式；（4）揭示知識背景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識. 并培養(yǎng)

17、學(xué)生綜合分析能力.2.【過程與方法】讓學(xué)生自己由和角公式而導(dǎo)出倍角公式和半角公式，領(lǐng)會從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；通過例題講解，總結(jié)方法.通過做練習(xí),鞏固所學(xué)知識.3.【情感態(tài)度價值觀】通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對三角函數(shù)各個公式之間有一個全新的認(rèn)識；理解掌握三角函數(shù)各個公式的各種變形，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、邏輯推理能力和綜合分析能力.提高逆用思維的能力.二.教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn):倍角公式的應(yīng)用.難點(diǎn):公式的推導(dǎo).三.學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：(1)自主+探究性學(xué)習(xí)：讓學(xué)生自己由和角公式導(dǎo)出倍角公式，領(lǐng)會從一般化歸為特殊的數(shù)學(xué)思想，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧

18、美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。 (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.教學(xué)用具:電腦、投影機(jī).四.教學(xué)設(shè)想 【探究新知】1、復(fù)習(xí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：2、提出問題：公式中如果，公式會變得如何？3、讓學(xué)生板演得下述二倍角公式：展示投影這組公式有何特點(diǎn)？應(yīng)注意些什么？注意：1每個公式的特點(diǎn)，囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：是的倍角.2熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角降次，降角升次）3特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形： 這兩個形式今后常用. 展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例1.（公式鞏固性練習(xí)）求值：sin2

19、2°30cos22°30=例2.化簡例3、已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值。 解： sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 展示投影思考：你能否有辦法用sina、cosa和tana表示多倍角的正弦、余弦和正切函數(shù)？你的思路、方法和步驟是什么？試用sina、cosa和tana分別表示sin3a，cos3a，tan3a.展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例4. cos20°cos40°cos80° = 例5.求函數(shù)的值域. 解： 降次展示投影學(xué)生練習(xí)：教材p123練習(xí)第1、2、3題

20、展示投影思考（學(xué)生思考，學(xué)生做，教師適當(dāng)提示）你能夠證明： 證：1°在 中，以a代2a，代a 即得： 2°在 中，以a代2a，代a 即得： 3°以上結(jié)果相除得：展示投影這組公式有何特點(diǎn)？應(yīng)注意些什么？注意：1°左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方。 2°公式的“本質(zhì)”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 3°上述公式稱之謂半角公式（課標(biāo)規(guī)定這套公式不必記憶） 4°還有一個有用的公式：（課后自己證）展示投影例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充）例6.已知cos，求的值.例7.求cos的值.例8.已知

21、sin，求的值.展示投影練習(xí)教材p125練習(xí)第1、2、3題.學(xué)習(xí)小結(jié)1公式的特點(diǎn)要囑記：尤其是“倍角”的意義是相對的，如：是的倍角.2熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角降次，降角升次）.3特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形： 這兩個形式今后常用.4.半角公式左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方；公式的“本質(zhì)”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.5注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號.五、評價設(shè)計作業(yè)：習(xí)題3-3 a組第1、2、3、4題六、課后反思：第三章 三角恒等變形復(fù)習(xí)課（2課時）第一部分：基礎(chǔ)知識基本公式一、兩角和與差公式及規(guī)律 常見變形 二、二倍角公式及規(guī)律 常見變形四、學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題1、兩角差的余弦公式是本章中其余公式的基礎(chǔ)，應(yīng)記準(zhǔn)該公式的形式.2、倍角公式有升、降冪的功能，如果升冪，則角減半，如果降冪，則角加倍，根據(jù)條件靈活選用.3、公式的“三用”（順用、逆用、變用）是熟練進(jìn)行三角變形的前提.第二部分：基本技能與基本數(shù)學(xué)思想方法整體原則-從角度關(guān)系、函數(shù)名稱差異、式子結(jié)構(gòu)特征分析入手，尋求三角變形的思維指向；角度配湊方法 如等;方程思想；消參數(shù)思想；“1”的代換；關(guān)于間的互相轉(zhuǎn)化；關(guān)于的齊次分式、二次齊次式與間的互相轉(zhuǎn)化；配湊輔助角公式:一般地，其中9、關(guān)于已知條件是的求值、化簡、證明的