考研數(shù)學二模擬題

1、考研數(shù)學二模擬題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合 題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號中。22x(1)當 x 0 時，設(shè) arctan x ,1 x 1(a 0) , o arcsintdt,把二個無窮小按階的高低由低到高排列起來，正確的順序是()(A), , ； (B)一；(C)一；(D),;(2)設(shè)函數(shù)f(x)在(，)內(nèi)連續(xù)，在(,0) I 1(0,)內(nèi)可導，函數(shù)y y(x)的圖像為整理doc則其導數(shù)的圖像為()(A)(B)(C)(D)若f(x)是奇函數(shù),(x)是偶函數(shù)，則f (x)(A)必是奇函數(shù)(C)是非奇非偶函數(shù)(B)必是偶函數(shù)(

2、D)可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù)ln(1 x) (axbx2)(A) a 1,b5一 ；(B)20,b2 ； (C) a 0,b5一;(D) a 1,b22(5)下列說法中正確的是(A)無界函數(shù)與無窮大的乘積必為無窮大;(B)無界函數(shù)與無窮小的乘積必為無窮小;(C)有界函數(shù)與無窮大之和必為無窮大；(D)無界函數(shù)與無界函數(shù)的乘積必無解；y p(x)y q(x)y f (x)的解,(6)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)M, y2, y都是二階線性非齊次方程Ci,C2,C3為任意常數(shù)，則該方程的通解是(A)C1y1C2 y3C3y3 ；(B)C1 y1C2 y3(Ci C2)y3；(C) Ciyi C2y3 (1 C

3、i C2)y3； (D)Ci y1C2 y3(1 Ci C2)y3； 設(shè)A是n階矩陣，齊次線性方程組(I) Ax 0有非零解，則非齊次線性方程組( II )ATxb ,對任何 b(bi,b2,|(bn)T(A)(C)不可能有唯一解;無解；(B)必有無窮多解；(D)可能有唯一解，也可能有無窮多解(8)設(shè)A,B均是n階可逆矩陣，則行列式2 AT 0的值為(A) ( 2)nAIIB ;(B)2 AT B ；(C)2 A B(D) ( 2)2n|A|B二、填空題:914小題,每小題4分，共24分。把答案填在題中的橫線上。(9)已知yf 3x 23x 2f (x)arcsin x2,貝U 包 dx(10

4、)方程f (x t)dtXo f(t)dt滿足f(0)0的特解為(11)2 (今 a2 ±)d b。其中D為x2y2 1。(12)設(shè)f (X)有一個原函數(shù)為_2f (x )dx(13)1右 f(t) limt 1 一xt2,則 f (t)=(14)設(shè)A是三階矩陣，已知0, A 2E 0, A 3E0, B與A相似,則B的相似對角形為三、解答題1523小題，共94分。解答應寫文字說明、證明過程或驗算步驟。(15)(本題滿分10分)求媽(1(16)(本題滿分110分)計算0dy2y22(x y )dx21dy2y0-2y 22(x y )dx 。(17)(本題滿分10 分)設(shè) f(X)在

5、0,1)連續(xù)，且 0f(X)dXlimXf (X)0。證明:至少0,，使得f ()(18)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)z z(x, y)由方程F (Xz, -yz) y x0所確定,其中f有一階連續(xù)偏導數(shù)，求x二X(19)(本題滿分10分)一個瓷質(zhì)容器，內(nèi)壁和外壁的形狀分別為拋物線10x2.一 25y 一繞y軸的旋轉(zhuǎn)面，容器的外高為 10,比重為一。把它鉛直地浮在水中，再注入比重1019為3的溶液。問欲保持容器不沉沒，注入液體的最大深度是多少？(長度單位為厘米)(20)(本題滿分11分)設(shè)g(x)f (x) ex xxx 0 ,其中f(x)在x 0處二階可導,ax b x 0且 f (0) f (

6、0) 1。(I) a、b為何值時g(x)在x 0處連續(xù)？(II ) a、b為何值時g(x)在x 0處可導?1上任一點作橢圓的切線， 試求諸切線與兩(21)(本題滿分11分)過橢圓3x2 2xy 3y2坐標軸所圍成的三角形面積的最小值。(22)(本題滿分11分)設(shè)A是實矩陣。證明:(I)AT Ax 0與Ax 0是同解方程組；(II)秩(ATA)=秩口)(23)(本題滿分 11分)設(shè)A為三階方陣,1, 2, 3為三維線性無關(guān)列向量組，且有(I)求A的全部特征值。(II ) A是否可以對角化?考研數(shù)學二模擬題參考答案、選擇題：18小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合 題

7、目要求，把所選項前的字母填在題后的括號中。(1) C解：由lim x2arcsin tdtlim -2limx 0 arctan x x 0x2arcsintdt02x arctan x2 -02x所以由 lim 一x 0limx 0,2arctan x(1 x)a 12.xlim 0x 0 ax。故C成立。B解：由于函數(shù)可導(除 x0)且取得兩個極值，故函數(shù)有兩個駐點，即導函數(shù)圖像與且僅有兩個交點，故 A, C不正確。又由函數(shù)圖像，極大值應小于極小值點，故(3) Bx軸有D不正確。解：設(shè) g(x) f (x),貝U g( x) f ( x)f (x) g(x)(4) A加 ln(1 x) (

8、ax bx2)1/ (1 x) (a 2bx)八解：lim -T lim 2 ,因 lim x 0,則x 0xx 02xx 0lim1/ (1 x) (a 2bx) 0,故 a 1。而lxm0ln(1x) (x bx2)2xlimln1x 0x)2x1 一,所以b2【也可以用泰勒公式計算】，即 M2 M1 ,(5) C設(shè) f(x)在(a, b)內(nèi)有界，即 f(x) M1 ； x0 (a,b), lim g(x) x x使當0 x Xo時，g(x) M2。則g(x) f(x) g(x) f(x) M2 M1M,即對 M 0,當 0 x X0時，g(x) f (x) M ,故 ximm f (x)

9、 g(x)(6) D由yi, y2, y都是已知方程的線性無關(guān)的解知yC1( y1y3)C2(y2y3)是二階線性齊次方程 y p(x)y q(x)y 0的通解;根據(jù)二階線性方程通解的結(jié)構(gòu)定理知,該方程的通解為yC1(yiy3)C2(y2y3)y3CiyiC2y3 (1 Ci C2)y3解:Ax0有非零解，充要條件是r(A)n ,由此即可找到答案。(8)解:AT00 B 1二、填空題：914小題,(9)應填32解:3x 2f?3x 22AT02B 12AT| 2B 1=(2)2n A B每小題f (x)4分，共24分。把答案填在題中的橫線上。arcsin x2 得dy dx3x 2 2 arc

10、sin()3x 23x 23x 2).3x 2、2 arcsin()3x 2(3x12第dydx123一arcsin1 一42(10)應填f(x) 2( x 1) 2ex解：令xt u ,原方程變?yōu)閤xx0 f (u)du 0 uf (u)dux0 f(t)dtx方程兩邊對x求導得0 f(u)dux2 f (x)再兩邊對x求導得f (x) 2x f (x),即出 y 2x dx2(x1) Cdxdxy e ( 2x)e dx C由y(0) 0得C2,f (x)2(x 1) 2ex.1(11)應填一(一24 a2F)d2(-2y2a22x_)db2 )db12)(xDy2)d12 a1ab12)

11、 b12)1r3dr0(12)應填 1(e21)1解：由 x 0_2f (x )dx2 -222 1x f (x )dx u x 210uf (u)du10xf (x)dx2其中 f(x) (ex )22xex利用分部積分法，有11o xf (x)dx ° xdf (x)xf(x)10f(x)dx22x ex2x2 e1 321故 0x f (x )dx (e1)故原式1xe0dxx2 2dx31e1)2(13)應填 2tet (1t2)2斛：由于f (t) t e所以fet2 (t2 2tt22t)2tet (t1)整理doc(14)應填 21形式不唯一，只要是對角線上為-1 ,

12、-2 , -3就對】解：由A E 0, A 2E 0, A 3E 0,知A的特征值為 11, 122, 33,相1,12,3，似矩陣具有相同的特征值，所以B的特征值也為11, 122, 33 ,故B相似的標準1形為 23三、解答題1523小題，共94分。解答應寫文字說明、證明過程或驗算步驟。(15)(本題滿分10分)解:2223X x /彳 xx x由。x -)e(1 x _)1 x222!3!33xx 1 61333 ox31 x (1 x )2 1 一 x2(1 x x2/2)ex .1 x3所以lim *x 0x31 lim - x 0x31(16)(本題滿分10分)解：本題積分區(qū)域利用

13、極坐標表示D (r, )0,sin r 2sin 22sin1原式 d r 卜dr15sin d0 sin4 0154151645641 (1 2cos 2-cos4 、，)d2整理doc(17)(本題滿分10分)證明：作函數(shù) F(x) f(x) x,有1110F(x)dx 0f (x) xdx 0 f (x)dx0。所以由積分中值定理，存在a 0,1,1使 ° F (x)dx(1 0)F(a)0,即 F(a)0。又 limx x/a F(b)使0 , b由極限的保號性,存在 b即 F(b) 0。因此，由介值定理,至少存在一個a,b (0,),F()0,f()(18)(本題滿分10分

14、)解：設(shè)xz u ,亭則xf(u,v) 0FuuxFvvxFu(- yx-) y xFv(當 丫z) 0解得:-fu yFuuyFvVyFu(xzyz-) yFv(-) x x y解得:xzyFu-Fv y/ -Fuy、Fv x所以z y一y4VxxzFu yxzFu 迄Fv y x/ -Fuy=0(19)(本題滿分10分) 解：設(shè)容器體積為v ,容器的容積即由拋物線2 x101 在1,10上繞y軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積V ,則1010V o 10ydy 500 , Vi1 10(y 1)dy 405252375所以，容器重量為(V V1)25 f751919設(shè)注入液體的最大深度為h,則注入液體的

15、重量為h 1 23 1 10(y 1)dy 15 h2若液體和容器形成一體的比重為1,則可保持其在水中不沉沒2375所以，由9500h2一1,可得h2 25(20)解：(I ) lim g(x)x 0limx 0f(x) ex xxlim f (x) ex 1x 01limx 0g(x) lim( ax b)x 0若要g(x)在x 0處連續(xù)，必須lim g(x)x 0lim g(x) g(0)，即 bx 01,a為任意實數(shù)時，g(x)在x 0處連續(xù)。(II )若要g(x)在x 0處可導，則必須 g(x)在x 0處連續(xù)(b1),且 g (0) g (0)所以(0)lim g_°llim

16、 f(x) ex 2x ( 1)xx 0 xx 0x所以(0)limfHmx 0 xx 01 - f (x) f (0)2 x 0 xlimx 0ax 1 ( 1) a12f (0) 1，b1時,f (x) ex2xx.e 1lim x 0 xg(x)在 x1 lim f (x) f (0) 2x 0x1 r2f (0) 10處可導(21)(本題滿分10分)解：設(shè)(x, y)為所給橢圓上任一點，則可求得在(x, y)處的切線方程(3x y)(X x) (x 3y)(Y y) 0它與兩坐標軸的交點為(X 3y)y x,0和0,(3X y)X3x y '' x 3y所以切線與坐標軸

17、圍成的三角形面積為G 1 (x 3y)y(3x y)Sx2 3x y x 3y則只須求(3x y)(x 3y)在條件設(shè) F(x, y, ) (3x y)(x 3y)Fx 6x 10y 6 x 2 y 由 Fy 10x 6y 2 x 6 y 223x2 2xy 3y2 1 0解得x -, y -或x 44,八，11由此分別求的S或S42x 11-yr2|(3x y)(x 3y)|3x2 2xy 3y2 1下的極值即可。- 2_23x 2xy 3y 10011一, 一。22所以諸切線與坐標軸所圍成的三角形面積的最小值為(22)(本題滿分11分)證明：若x0是Ax 0的解，顯然x0是ATAx 0的解；反之，設(shè)x0是 AT Ax 0 的解，則 x0TATAx0 0。即(Ax0)TAx0 0,從而Ax0 2 (Ax0,A%) (Ax0)T Ax0 0 ,于是 Ax。 0 ,即 凡 是 Ax 0 的解。ATAx 0 與Ax 0是同解方程組(II )既然ATAx 0與Ax 0是同解方程組，兩者的解空間維數(shù)相同，從而推知秩(ATA) =秩(A)(23)(本題