概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點及練習題

1、(1)人,食人互不相容，且P)>0(i = l,2, /)；概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點及練習題WTUT-WT88 Y-W8BBGB-B W YTT-19998 第一章 概率論的基本概念§概率的定義一、概率的性質(1) O<P(A)<1.(2) p(<|)= o ,p(s)= i.(3) P(A<jB) = PA) + P(B)-P(AB).(4) P(A) = -P(A).(5) P(A B) = P(A&) = P(A) P(AB).特別土也，若 BuA,PA-B) = P(A)-PB), P(B) > P(A).例 設為隨機事件，P(A)

2、= 0.4, P(B-A) = 0.3,貝ljP(AoB) =.解:P(B-A) = P(B) P(AB) = 0.3, P(A 5) = PA) + P(B) - P(AB) = 0.7§條件概率一、條件概率定義 設是兩個事件，且P(A) > 0 ,稱P(BIA)二空也為在事 P(A)件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。二、全概率公式全概率公式：人地，人為樣本空間S的一個事件組，且滿足：（2） A】u A?= S .1920三、貝葉斯公式設3是樣本空間S的一個事件，外碼人為S的一個事件組，且滿足：(1)州,舛,互不相容，且P(A.)> 0(/= 1,2,/?)；（2）

3、A】u舛 A” = S .這個公式稱為貝葉斯公式。例：有甲乙兩個袋子，甲袋中有4個白球，5個紅球，乙袋屮 有4個白球，4個紅球.今從甲袋屮任取一球放入乙袋，攪勻 后再從乙袋屮任取一球，(1)問此球是紅球的概率(2)若已知取得的是紅球，則從甲袋放入乙袋的是紅球的 概率是多少解：設九表示從甲袋放入乙袋的一球是紅球，則仏表示從 甲袋放入乙袋的一球是白球，設區(qū)表示從乙袋取的一球是紅球，則5 5 pph)-A)P(AIA)_9X9 P(5)戸他)41 81§事件的獨立性一、事件的獨立性定義.若兩事件A ,3滿足P(AB) = P(A)P(B),則稱A, 3相互獨立。第二章隨機變量及其分布

4、67; 一維隨機變量一、隨機變量與分布函數(shù)定義 設E為一隨機試驗，S為E的樣本空間，若X = X(e), qwS為 定義 設X為一個隨機變量，；V為任意實數(shù)，稱函數(shù)單值實函數(shù)，則稱X為隨機變量。F(x) = P(X<x)為X的分再函數(shù)。zHI j內女乂 rrj 工伙O工，X(1) F(-s) = 0, F(+s) = 1 (2) F(x)是自變量x的非降函數(shù)，即當x1 < A-,時，必有F(Xi)<F(x2).因為當山 < x2 W F(x2 ) - F(Xi) = P(x( < X < x2) > 0 ,從而F(x)<F(x2).(3) F(x

5、)對自變量x右連續(xù)，即對任意實數(shù)x, F(x + 0) = F(x)維離散型隨機變量一、離散型隨機變量定義 離散型隨機變量X只可能取有限個或可列個值，設X可 能取的值為X, x2,., x定義 設離散型隨機變量X可能取的值為州宀,，©，且X取這些值的概率為：P(X = xk) = pk(« = 1,2,.兒.)則稱上述一系列等式為隨機變量X的分布律。由概率的定義知，離散型隨機變量X的概率分布具有以下兩個性質：(1) 幾 no,伙= 1,2,.)(非負性)(2) “ (歸一性)k二、幾種常用的離散型分布1.01分布如果隨機變量X只可能取0和1兩個值，且它的分布列為P(X =

6、l) = p,P(X=O) = l_,(Ovpvl),則稱 X 服從 01 分布。其分 布律為：1 0P1一2. 二項分布如果隨機變量X只可能取的值為0,1, 2,n,它的分布律 為 P(X =燈=C：pk qM ,( k = 0,1,2,m 其中 Ovpvl,? = l_p,則稱 X 服 從參數(shù)為幾的二項分布，記為X bg小3. 泊松分布如果隨機變量X所有可能取的值為0, 1, 2,它取各個值 的概率為P(X=k) = ?戶，仇= 0,1,2,.),其中;1>0是常數(shù),則稱X服 k從參數(shù)為幾的泊松分布，記為X;r").例：設“兀(/1), PX=1) = PX=2),貝 lP

7、(X=l) =.例：設隨機變量X "2,丄)，則P(X=1)=.§連續(xù)型隨機變量的概率密度一、概率密度的概念定義 設隨機變量X的的分布函數(shù)為F(x),如果存在一個非負 可積函數(shù)/«,使得對于任意實數(shù)”，有：則稱X為連續(xù)型隨機變量，而/稱為X的概率密度。由概率密度的定義及概率的性質可知概率密度/必須滿足：(I) f(x) >0 ;+«(2 ) f(x)dx= 1 ；X(3) 對于任意實數(shù)且*b有Pa <X <b = F(b) - F(a) = (f(x)dx ;(4) 若7(x)在點x處連續(xù),則有F (x) = /(x).例設隨機變量X具

8、有概率密度(1) 試確定常數(shù)K;(2) 求p(x>o.i)；(3) 求 F(x).解(1)由匚/(x)Jx = l,即口厶二廠Ke叫=±廠加*3切=呂嚴;8=彳=得K = 3 .于是X的概率密度fW = <0、x>0x<00,(2) P(X>0.1)= £°f(x)dx = 3e3xdx = 0.7408 ;(3) 由定義F(x)二匸/d/。當蟲0時，F(xiàn)(x)二0;當x>0時,F(x)= I/力二3e-3xdx = l-e3x所以x>0x<0二、幾個常用的連續(xù)型隨機變量的分布1.均勻分布如果隨機變量X的概率密度為則稱

9、X服從訕上的均勻分布，記為X U（a,b）。2. 指數(shù)分布如果隨機變量X的概率密度為則稱X服從參數(shù)為8的指數(shù)分布。3. 正態(tài)分布 如果隨機變量X的概率密度為/(x)=，(一O0 VX V+s)其屮b>o,6“為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為6“的正態(tài)分布，記為X N（角/）特別的,當“ =0& =1時,稱X服從標準正態(tài)分布，即 XN(O,1),概率密度為 0(x) = *eP,(-svxv+s)標準正態(tài)分布的分布函數(shù)為（X）=匸卩心=匸越飛力 對于標準正態(tài)分布的分布函數(shù)，有下列等式定理 如果X 則土MN(O,1)推論 如xn(T，貝iJPa <X <b = F(b) 一 F(

10、a) = 6() - 3)bb例 設 XN(1.5,4), 求 P(XS3.5);e3515W P(X< 3.5)二 F(3.5) = <)()=0.8413 2例 設隨機變量x N(1,4),則PX< =§隨機變量函數(shù)的分布、離散型隨機變量的函數(shù)的分布例設X的分布律為X求Y = 2X-的分布律。解 因為Y的可能取值為-3,71,3,而且PY = _3 = PX=l = 0.1 , Py = -l = PX=0=0.2 , 砒=1 = Px = 1 = 0.3 , P Y = 3 = P X = 2 = 0.4 因而，Y的分布律為Y二、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布設X

11、是連續(xù)型隨機變量，已知心為其概率密度，那么應當如何確定隨機變量r = g（x）的概率密度/r（x）呢例 設連續(xù)型隨機變量x具有概率密度fx（a）,求隨機變量Y = kX+b （其中為常數(shù)且"0）的概率密度fY（x）.解設丫的分布函數(shù)為FY（y）,當R>0,貝lj上式兩邊對y求導數(shù)得當£<0,貝lj上式兩邊對y求導數(shù)得于是第三章二維隨機變量及其分布§二維隨機變量及分布函數(shù)定義 設S為隨機試驗E的樣本空間，X,Y是定義在S上的隨機 變量，則稱有序數(shù)組（X）為二維隨機變量或稱為二維隨機向 量。定義 設(XV)是二維隨機變量，對于任意實數(shù)X，稱二元函數(shù) F(x

12、.y) = P(X <x,Y<y)為二維隨機變量(XV)的分布函數(shù)，或稱為 (X,Y)的聯(lián)合勞布鹵數(shù)。二維隨機變量的分布函數(shù)的性質(1)0 < F(x, y) < 1 ;(2) F(x,y)是變量“的不減函數(shù)，即：對于任意固定的廠當Xj < “2時有F(e，刃< F(xlyy);對于任意固定的x，當x v力時有(3)對于任意固定的y , F(s, y) = lim F(x, y) = O;對于任意固-V疋的 x , F(x-oo) = lim F(x,y) = 0,并且 F(y>,y>) = lim F(x, y) = 0 ,y_>-X.K

13、F(4<o,+oo) = lim F(x, y) = 1 .d+ooV二維離散型隨機變量定義如果二維隨機變量(XV)可能取的值只有有限個或可列 個，則稱(XV)為二維離散型隨機變量。定義設二維隨機變量(X")所有可能取的值為 (兀,兒)(=12；丿=12),則稱P(X =xi9Y =兒)=必0 = 1,2,)為(X,Y)的聯(lián)合分布律。二維離散型隨機變量(XV)的聯(lián)合分布有時也用如下的概率分布 表來表示:PwP1 P j PlP12 Pl j PiPil* Pij 顯然，心具有以下性質：()內no,(ij = l, 2,)；工W i J二維連續(xù)型隨機變量定義設(X)是二維隨機變量

14、，如果存在一個非負函數(shù)g)，使得對于任意實數(shù)x,y,都有則稱(XV)是二維連續(xù)型隨機變量，函數(shù)/(x,y)稱為二維連續(xù)型隨機變量(XV)的概率密度。二維分布密度具有以下性質：(1) f(x,y)>0;(2) = l ;XU-OC(3) P(X,y) e D = jj/(a;ydxdy ,其中 D 為 XOY 平面上的任意D一個區(qū)域；(4) 如果二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的密度/(x,y)連續(xù)，(X#)的分布函數(shù)為F(x,y),則用性質的題在后面§ 邊緣分布與隨機變量的獨立性一、邊緣分布稱分量X的概率分布為(XV)關于X的邊緣分布；分量Y的概率 分布為(XV)關于Y的邊緣分布。

15、它們的分布函數(shù)與密度函數(shù)分 別記作 Fx(x), F、(刃與 fx(x), fv(y) o先看離散情況：若已知P(X="Y = y/) = pQJ = l,2,.),則隨機變量X的分布律 知同樣得到(X,Y)關于Y的分布律：砒=兒 = £心，(心=1,2,.).記p,. = 2>皿廣工幾,所以關于X的邊緣分布律為: j-1r-1A*X 2入 j P .卩2 Pi. 關于丫的邊緣分布列為:71'2 >'j 幾 P.2 P.j下面看連續(xù)型的情形：定理設/(x,y)是(XV)的聯(lián)合概率密度，則 分別是(X)關于X"的邊緣概率密度函數(shù)。離散型隨

16、機變量的邊緣分布律列表機定義設(X,Y)是N纟I變鈿獨蛉打L機變量，如果對于任意有PiPX<x,Y<y = PX<x P(Y <y,則稱隨機變量X與丫是相互獨立 的。即用F(x, y) = Fx (x)Fr(y)該式可用來判斷X, 丫的相互獨立性。 定理 設(X)是二維離散型隨機變量依次是 (x,y), x,y的概率分布，則x,丫相互獨立的充要條件是：對所 有的 ij,都有 Pij= Pi. P. j 定理 設(X,丫)是二維連續(xù)型隨機變量，/(x, y fx (A-), A (y)分別 是聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)，則X"相互獨立的充要條件 是：對任意的實數(shù)

17、x,y,都有/(x,y) = /x(x)/r(y)oYV01230102003000例設(X,Y)的聯(lián)合分布律為試求(XV)關于x和關于r的邊緣分布，并判斷x,y是否相互獨立 解由表中可按行加得幾，按 列加得？,得關于x的邊緣分布及關于Y的邊緣分布 由于旳*X=O,Y = O =存而門幾=中滬軋冷所以XV 互不獨立。例設二維隨機變量具有密度函數(shù)試求：(1) 常數(shù)C；(2) (XV)落在如圖24所示的三角區(qū)域D內的概率；（3 ）關于X和關于丫的邊緣分布，并判斷XV是否相互獨立。圖2-4解（1）l = IZ7（x）dxdy =JT Ce-gdxdy = C嚴dx嚴dy = £ 所以C =

18、 4；(2) P(X,r)e£> = jj/(x,y)dxdy =4e2ix+y)dy = 1-D（3）關于X的邊緣概率密度函數(shù)為當 M0時，fx(x)=o.當 x > 0 時'fx (x) = L /(X, y)dy = £ 4e'2<x+Y'dy = 2e2x2水巴x>0故有/x（x）=0,x<0同理可求得關于Y的邊緣概率密度函數(shù)為2宀 y >00,y<0因為對任意的實數(shù)如廠 都有f（x9y） = fx（x）fY（y）,所以X,Y相互 獨立。第四章隨機變量的數(shù)字特征§數(shù)學期望離散型隨機變量的數(shù)學

19、期望定義設離散型隨機變量X的分布律為XX則稱工“其為隨機變量X的數(shù)學期望，記為E(X) = Dm 二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望定義 設連續(xù)型隨機變量X的分布密度函數(shù)為/(X),若積分 匸燈(龍炒絕對收斂，則稱其為X的數(shù)學期望或均值.記為E(X), E(X)= Fxf(xlx 例設隨機變量X服從0,切上的均勻分布，求E(X) 解由于均勻分布的密度函數(shù)為/(x) = fc；a <x<b其他因而b2-a2 _u + b 2(b a) T"0,記?。?-1分布，二項分布，泊松分布的數(shù)學期望均勻分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布的數(shù)學期望。三、定理 設Y為隨機變量X的函數(shù)：Y = g(X)

20、(g是連續(xù)函數(shù))，(1)X是離散型隨機變量，分布律為幾=P(X=H2,;若XX級數(shù)£gCw)久絕對收斂，則有E(Y) = Eg(X) =工g(xQ久.(2) &2X是連續(xù)型隨機變量，它的分布密度為/(X),若積分 匸g(x)/(QZr絕對收斂，則有 E(Y) = Eg(X) =匚 定理 設z是隨機變量(x,y)的連續(xù)函數(shù)z = g(x”)，(1)(x,r)是二維離散型隨機變量，聯(lián)合分布律為Pij = P(x =xi,Y = y?),/,./ = 1,2,-;則有X XE(Z) = Eg(X,Y) = XX gd必)心 (2)(XV)是二維連續(xù)型隨機/-1 j-i變量，聯(lián)合分布

21、密度為/gy),則有 E(Z) = Eg(X,Y) = J2Q gy)f(x,yLxdy 例設(XY)的概率密度函數(shù)為 求 E(X), E(Y E(X + Y E(X2+r2).解 D: 0 < x < 2 0 < y < 1 ,四、數(shù)學期望的性質1. 設c是常數(shù)，則有E(c) = c2. 設X是隨機變量，設c是常數(shù)，則有E(cX) = cE(X).3. 設X, Y是隨機變量，則有E(X+V) = E(X) + E(Y) 4.設X, Y是相互獨立的隨機變量，則有 £：(XY) = E(X)E(Y).§方差一、方差的概念定義 設X是隨機變量，EX-E(

22、X)2存在，就稱其為X的方 差,記為 D(X)即 D(X) = EX-E(X)2,稱 JD(X)為標準差.二、方差的計算1. D(X) = E(X2)-E(X)2例 設隨機變量X服從0,b上的均勻分布，求D(X)解由于均勻分布的密度函數(shù)為fW = a-x-b0, 其他E(X) =中,2故D(X) = b +? + "' _(爭)2 =三、方差的性質1、設c是常數(shù)，則有D(cX) = c2D(X)；2、設X, Y是相互獨立的隨機變量，則有D(X + Y) = D(X) + D(Y);3、設乙,兀,X”是相互獨立的隨機變量，貝IJD(丈 C,XJ = ±C；D(XJ./

23、-IJ-1§協(xié)方差及相關系數(shù)、矩一、協(xié)方差及相關系數(shù)的定義定義 設有二維隨機變量(x,y),如果Ex-E(x)y-E(r)存在, 則稱EX-E(X)Y-E(Y)為隨機變量X與Y的協(xié)方塞記為 Cov(XY),即稱嗆=空佇為隨機變量X與Y的相關系數(shù).若C"(XV) = O,稱x與丫不相關.二、協(xié)方差與相關系數(shù)的性質1. 協(xié)方差的性質(1) Cov(x,y)= Cov(r,x)；(2) Cov(X9Y)= e(xy)- e(x)e(y)計算公式(3) D(X ±Y) = D(X) + D(Y)±2Cov(X,7);(4) CovaX,bY)=abCovX,Y)

24、;(5) Cov(X +X2>Y) = Cov(Xx,Y) + Cov(X2,Y);若X與Y相互獨立，則Cov(X,Y) = 0,即X與Y不相關.反 之，若X與Y不相關，X與Y不一定相互獨立.2. 相關系數(shù)的性質 Pxy - 1?若X與Y相互獨立，則pxr = 0 ; 當X與Y有線性關系時，即當Y = aX+b 為常數(shù)，dHO)時，必=1，1, -L a <0(4) |Qx= l的充要條件是,存在常數(shù)°,b使PY=aX+b = .數(shù)理統(tǒng)計的基本概念§樣本和總體、樣本 X,X2,x“設xpx2,.,x為總體X的樣本，則下列各量均是統(tǒng)計量,它們 今后要經常被用到。(

25、i ) x =lyx, x稱為樣本均值。(ii) s2 =-y(xi-x)2, s2稱為樣本方差。n合(iii) s = VF,s稱為樣本標準差。(iv) Ak=LjX Ak稱為樣本k階原點矩。為了研究統(tǒng)計量的分布，我們先研究三種重要概率分布。二、才分布定義設XX2,X”為相互獨立的隨機變量，它們都服從標準正態(tài)N(O,1)分布,則稱隨機變量服從自由度為"的*分布，記作丫才)*分布有下列基本性質。定理 設 XF(”)，則 E(x)= n, D(X) = 2n Q三、7分布和F分布定義設XN(O,1), 丫才何，x與Y獨立，則稱隨機變量服從自由度為“的/分布，記成丁心)定義 設丫才(心)

26、，X與丫獨立，則稱隨機變量服從自由度為(山，心)的F分布，記成FF5"2)五、正態(tài)總體的抽樣分布Theorem 設總體x為總體的樣本，貝9(i) 樣本均值乂 (/，),H(ii) -z2(«-l),其中L為樣本方差CT"(iii) 戸與S$相互獨立。第七章參數(shù)估計§點估計二、極大似然估計第一步，寫出似然函數(shù)a）對于離散型總體x,設它的分布律為/?（x；e）,e未知，其 中X=州,只2 =吃,x” =占為樣本值,稱為似然函數(shù)。b）當總體x是連續(xù)型隨機變量時，若x的概率密度為/（X.0）, 8未知，則似然函數(shù)為第二步 求6wO（g）是參空間），使得厶彷）達到

27、最大，此6即為 所求的參數(shù)0的極大似然估計。為了計算方便，我們常對似然 函數(shù)厶（0）取對數(shù)，并稱In L（0）為對數(shù)似然函數(shù)。易知，L與 lnU&）在同一 6處達到極大，因此，這樣做不會改變極大點。C）對對數(shù)似然函數(shù)譏關于&求導，再令之為0,即得& 的最大似然估計值。例：已知總體X服從指數(shù)分布，概率密度為x>0其他(&>0)X|,X2,X"是來自總體X的一個樣本，22,，Xn為相應的樣本 觀察值，求參數(shù)&的極大似然估量.解似然函數(shù)為：l（0）=n/（；o）=v>u >°） j-iz e e41nL（6） = 0

28、,得0的極大似然估計值為社掙=犬,&極大似然估計量為6=掙嚴壬§區(qū)間估計區(qū)間估計粗略地說是用兩個統(tǒng)計量a, X (玄5玄)所決定 的區(qū)間玄，玄作為參數(shù)0取值范圍的估計。定義對于參數(shù)0,如果有兩個統(tǒng)計量a =&(X|,X2,X”)，a=a(X|,X2，X”),滿足對給定的ae(0,1), 有則稱區(qū)間玄，玄是&的一個區(qū)間估計或置信區(qū)間，久，a 分別稱作置信下限，置信上限，1-儀稱為置信水平。二、單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計設X,X2,X”為N(“,)的樣本,對給定的置信水平l_a,0«z<l,我們來分別研究參數(shù)“與，的區(qū)間估計。例 在上述前提下，求“

29、的置信水平為1-&的區(qū)間估計。解下面分兩種情況a) /已知，選取的統(tǒng)計量為弓手n(oj),由r= Za/2a/yn> = l-aWPXza/2<p<XZa/2, = 1 一a所求p的區(qū)間是x -氣"/4n , X + ua /y/n b) b誄知,選取的統(tǒng)計量為隸g),由<ra/2(/2-l)> = l-a 右所求P區(qū)間為戸-QG-I)s/亦艮+qs-i)s/、/亦 例 在上述前提下求，的置信水平為1-。的區(qū)間估計。選用統(tǒng)計量3工汽心），由P Xr-a/2 ST） V< 咒；2（“ -1） i - a 有J 1）S，_ 2 “ j）S，1 ,P<a < ? = l-a.為2（" - 1）Xla,；2（“ - 1）J得到方差L的一個置信度為l-a的置信區(qū) 間:f（" j）S» -1Q、1心（"-1）心2（-1）丿第八章假設檢驗§ 假設檢驗思想概述例一臺包裝機裝洗衣粉，額定標準重量為500 g,根據(jù)以往經驗，包裝機的實際裝袋重量服從正態(tài)皿“,冼），其屮町二15 g，為檢驗包裝機工作是否正常，隨機抽取9袋，稱得洗衣粉 凈重數(shù)據(jù)如下（單位：g ）49750651