初二輔助線的作法例題及練習(xí)答案

1、全等三角形問(wèn)題中常見的輔助線的作法常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某

2、條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.應(yīng)用：1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接D

3、E，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2、如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;ABAC+BD3、如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,A

4、DCD，BD平分，求證： 5、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC應(yīng)用：在BC上截取BF=BE,因?yàn)锽=60°,所以三角形BEF為等邊三角形,EF=BE=BFAB=BC 所以AE=FC又因?yàn)镈EC=60°,所以AED+BEC=120 又BCE+BEC=120 所以AED=BCE A=EFC=120 所以三角形AED和三角形FCE全等,所以AD=EF=BEAD+AE=AE+EB=AB=BC三、平移變換例1 AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點(diǎn)，ABC周長(zhǎng)記為，EBC周長(zhǎng)記為.求證.設(shè)C1點(diǎn)為C的對(duì)稱點(diǎn),連接A、C1

5、,E、C1.那么AC=AC1,CE=C1E,又B、A、C1在一直線上(1/2BAC+1/2CAC1=90°,所以BAC+CAC1=180°）,那么BEC1為三角形,BE+C1EBA+AC1(BC1),因此BE+CEBA+AC,不等式兩邊同加BC得：PbPa.砂砂tCR42014-10-20例2 如圖，在ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.取BC中點(diǎn)M,連AM并延長(zhǎng)至N,使MN=AM,連BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延長(zhǎng)ND交AB于P,則BN+BP>PN,DP+PA>

6、AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP,得BN+AB>DN+AD,AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=ODAD、CE分別平分BAC、BCA，OAC+OCA=1/2(BAC+BCA)=1/2(180°-B)=60°，AOC=120°，AOE=COD=60°，在AC上截取AF=AE，連接OF，A=AF，OAE=OAF，AO=AO，AOEAOF(SAS)，AOF=AOE=60°，OE=OF，COF=120&

7、#176;-AOF=60°，在OCF與OCD中：COD=COF=60°，OC=OC，OCF=OCD，OCFOCD(ASA)，OD=OF，OE=OD。證明：連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OMAB于M，ONBC于N ABC60 BAC+ACB180-ABC120 AD平分BAC，CE平分ACB OACBAC/2, OCAACB/2 AOC180-（OAC+OCA）180-（BAC+ACB）/2120 DOEAOC120 ABC+DOE180 ODB+OEB+ABC+DOE180 ODB+OEB180 OEB+OEA180 OEAODB 又AD平分BAC，CE平分ACB O是ABC角平分線交

8、點(diǎn) OB平分ABC OMAB，ONBC OMON，OMEOND90 OMEOND （AAS） OEOD2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).（1）證明：連接BD，CD，AD平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF，BED=CFD=90°，DGBC且平分BC，BD=CD，在RtBED與RtCFD中，RtBEDRtCFD（HL），BE=CF；（2）解：在AED和AFD中，AEDAFD（AAS），AE=AF，設(shè)BE=x，則CF=x，AB=a，AC=b，AE=ABBE，A

9、F=AC+CF，ax=b+x，解得：x=BE= ，AE=ABBE=a = 應(yīng)用：1、如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）FE=FD（5分）

10、如圖2，在AC上截取AG=AE，連接FGAD是BAC的平分線，EAF=GAF，在EAF和GAF中 AE=AG EAF=FAG AF=AF EAFGAF（SAS），F(xiàn)E=FG，EFA=GFA=60°（6分）GFC=180°-60°-60°=60°又DFC=EFA=60°，DFC=GFC（7分）在FDC和FGC中 DFC=GFC FC=FC FCG=FCD FDCFGC（ASA），F(xiàn)D=FGFE=FD（8分）（3）（2）中的結(jié)論FE=FD仍然成立（9分）同（2）可得EAFHAF，F(xiàn)E=FH，EFA=HFA（10分）又由（1）知FAC=1

11、2 BAC，F(xiàn)CA=1 2 ACB，F(xiàn)AC+FCA=1 2 （BAC+ACB）=1 2 （180°-B）=60°AFC=180°-（FAC+FCA）=120°EFA=HFA=180°-120°=60°（11分）同（2）可得FDCFHC，F(xiàn)D=FHFE=FD（12分） 回答者：teacher092 1、FE=FD如圖2，在AC上截取AG=AE，連接FGAD是BAC的平分線，EAF=GAF，在EAF和GAF中 AE=AG EAF=FAG AF=AF EAFGAF（SAS），F(xiàn)E=FG，EFA=GFA=60°GFC=18

12、0°-60°-60°=60°又DFC=EFA=60°，DFC=GFC在FDC和FGC中 DFC=GFC FC=FC FCG=FCD FDCFGC（ASA），F(xiàn)D=FGFE=FD2、第一問(wèn)中的結(jié)論FE=FD仍然成立同（1）可得EAFHAF，F(xiàn)E=FH，EFA=HFA又由（1）知FAC=1/2BAC，F(xiàn)CA=1/2ACB，F(xiàn)AC+FCA=1/2（BAC+ACB）=1/2（180°-B）=60°AFC=180°-（FAC+FCA）=120°EFA=HFA=180°-120°=60°

13、同（1）可得FDCFHC，F(xiàn)D=FHFE=FD 五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 延長(zhǎng)CB,在CB延長(zhǎng)線上取點(diǎn)G使得GB=DF,連結(jié)AG那么GB=DF,GE=GB+BE=DF+BE=EF在直角三角形ADF和直角三角形ABG中,因?yàn)榻茿DF=角ABG是直角又因?yàn)镚B=DF,AB=AD（都是正方形的邊）所以直角三角形ADF全等于直角三角形ABG所以AF=AG,角DAF=角BAG對(duì)于三角形AGE和三角形AFE因?yàn)锳E=AE；AG=AF;GE=FE所以三角形AGE全等于三角形AFE所以角GAE=角EAF2*角EAF=角GAE+角EA

14、F=角BAG+角BAF=角FAD+角BAF=角BAD=90度所以角EAF=90度/2=45度例2 D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。解：（1）連CD，如圖，D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，CD平分ACB，CDAB，A=45°，CD=DA，BCD=45°，CDA=90°，DMDN，EDF=90°，CDE=ADF，在DCE和ADF中，DCEADF，DE=DF；（2）DCEADF，SDCE=SADF，四邊形DECF的面積=SACD，而AB

15、=2，CD=DA=1，四邊形DECF的面積=SACD=CDDA=例3 如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為 ；應(yīng)用：1、已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）解：如圖1，AE+CF=EF，理由：ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，在ABE和CBF中，ABBCAC90°AECF

16、，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120°，MBN=60°，ABE=CBF=30°，AE=BE CF=BFMBN=60°，BE=BF，BEF為等邊三角形；AE+CF=BEBF=BE=EF；故答案為：AE+CF=EF；（2）如圖2，（1）中結(jié)論成立證明：延長(zhǎng)FC到H，使CH=AE，連接BH，ABAD，BCCD，A=BCH=90°，在BCH和BAE中BCABBCHACHAE，BCHBAE（SAS），BH=BE，CBH=ABE，ABC=120°，MBN=60°，ABE+CBF=120°-60&

17、#176;=60°，HBC+CBF=60°，HBF=60°=MBN，在HBF和EBF中BHBEHBFEBFBFBFHBFEBF（SAS），HF=EF，HF=HC+CF=AE+CF，EF=AE+CF圖3中的結(jié)論不成立，線段AE、CF，EF的數(shù)量關(guān)系是AE=EF+CF，證明：在AE上截取AQ=CF，連接BQ，ABAD，BCCD，A=BCF=90°，在BCF和BAQ中2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);(2)當(dāng)APB變化,且其它條

18、件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.解：（1）如圖（1），作AEPB于點(diǎn)E， APE中，APE=45°，PA=，AE=PA·sinAPE=1，PE=PA·cosAPE=1，PB=4，BE=PB-PE=3，在RtABE中，AEB=90°，；如圖（2），因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到P'AB，可得PADP'AB，PD=P'B，PA=P'APAP'=90°，APP'=45°，P'PB=90°，； （2）如圖（3）所示，將PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值，P'PB中，P'B<PP'+PB，PP'=2，PB=4，且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)，當(dāng)P'、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，P'B取得最大值（見圖（4），此時(shí)P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值為6，此時(shí)APB