非等間隔灰色Verhulst模型的病態(tài)性研究

1、    非等間隔灰色verhulst模型的病態(tài)性研究    【摘要】針對非等間隔的灰色verhulst模型的病態(tài)性問題，構(gòu)造出新的背景值構(gòu)造公式，將灰色非等間隔模型的白化方程線性化得出模型解的一種新形式。通過實例分析可發(fā)現(xiàn)新提出的方法可從提高模型精度和降低求解參數(shù)矩陣的條件數(shù)兩方面較好的改善了模型的病態(tài)性。針對非等間隔灰色模型的病態(tài)性問題提出了新的且有效的解決方法，首次從模型精度和參數(shù)矩陣的條件數(shù)兩方面解決模型的病態(tài)性問題，這也為解決其他類型的灰色模型的病態(tài)性提供了新的參考?！娟P(guān)鍵詞】非等間隔 灰色模型 verhulst模型 病態(tài)性灰色verhulst模

2、型與灰色模型是灰色系統(tǒng)1預(yù)測中的最常用模型，它們構(gòu)成灰色預(yù)測體系的核心部分。近年來，灰色verhulst模型在各領(lǐng)域2-5的應(yīng)用比較廣泛，但是這些模型多是考慮等時間距數(shù)據(jù)序列建立的，而實際建模中的序列往往是非等間隔序列，此時需要考慮到非等間距建立非等間隔灰色verhulst模型6才能較好的解決實際問題。隨著非等間隔灰色verhulst模型的研究及應(yīng)用，取得了一些研究成果6-8，但也出現(xiàn)了一些問題，如針對部分波動數(shù)據(jù)來建模，模型的解會出現(xiàn)精度較低的現(xiàn)象。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因可以歸結(jié)為非等間隔灰色verhulst模型存在一定的病態(tài)性，目前還沒有該模型病態(tài)性這方面的研究。本文從模型參數(shù)矩陣條件數(shù)理論出

3、發(fā)，首先將非等間隔灰色verhulst模型線性化，其次修改模型背景值的公式以降低模型參數(shù)矩陣的條件數(shù)和提高模型精度兩方面來改善模型的病態(tài)性。一、改進(jìn)非等間隔灰色verhulst模型建模機(jī)理（一）原始非等間隔灰色verhulst模型根據(jù)非等間隔灰色verhulst模型的穩(wěn)定性研究中的定義1可知非等間隔灰色verhulst模型（定義型）的白化微分方程形式為 （1）其中為非負(fù)原始非等間隔序列，為間隔；為的1-ago序列，其中，為的背景值序列，傳統(tǒng)上有：，（二）非等間隔灰色verhulst模型的線性化根據(jù)（1）可知，白化模型為非線性模型，據(jù)非線性模型求解來看，若可以將該模型轉(zhuǎn)化為一般線性模型求解，將降

4、低非線性模型直接求解（有的非線性模型求解比較復(fù)雜）的難度，所以本文擬將非等間隔灰色verhulst模型（1）轉(zhuǎn)化為線性模型在進(jìn)行模型求解繼而得出模型的解的表達(dá)式。由為的1-ago序列可知，序列可以近似看作指數(shù)序列，一般情況下都是根據(jù)序列來進(jìn)行建模的，所以建模序列的處理變得很重要。本文將非等間隔灰色verhulst模型（1）線性化即可通過對序列做如下處理： （2）則模型（1）可轉(zhuǎn)化為 （3）其中。至此模型（3）可以變?yōu)轭愃品堑乳g隔gm（1，1）模型的形式即 （4）則可以根據(jù)gm（1，1）模型解的形式推出模型（3）的解（時間響應(yīng)式）如下： （5）由（2）及可以推導(dǎo)出進(jìn)一步還原得出 （6）（三）非等

5、間隔灰色verhulst模型的背景值改進(jìn)在傳統(tǒng)的灰色建模中，多數(shù)采用背景值公式為累加序列的緊鄰均值公式即= （7）文獻(xiàn)9，10等指出上述背景值的構(gòu)造式（7）存在誤差并提出了改進(jìn)式，得到較好的預(yù)測效果，本文在文獻(xiàn)9，11的背景值構(gòu)造基礎(chǔ)上稍作改進(jìn)，最終重構(gòu)了非等間隔灰色verhulst模型線性化后的模型背景值的構(gòu)造式，詳細(xì)介紹如下：由于線性化后模型（3）的解滿足指數(shù)形式，所以可用如下指數(shù)曲線近似 （8）因曲線（8）經(jīng)過及兩點，則有 （9） （10）（10）/（9）得 （11）則可求出b為 （12）將（12）代入（9）中得出a的值為 （13）因此可構(gòu)造出模型（3）的背景值為即新的背景值公式為 （1

6、4）同理對有 （15）至此可將改進(jìn)的建模步驟總結(jié)如下：1）通過對原始序列的1階累加序列進(jìn)行建模，其中背景值公式為本文提出的新形式（15），得出非等間隔灰色verhulst模型。2）將得到的非等間隔灰色verhulst模型的白化模型進(jìn)行線性化（2）處理得到形如（4）的模型，利用本文重構(gòu)的背景值公式（14）結(jié)合最小二乘法進(jìn)行模型參數(shù)求解，根據(jù)（5）得出線性化后的模型解。3）根據(jù)（2）式子還原得出非等間隔灰色verhulst模型的解，進(jìn)一步還原得出，其中（）。二、模型病態(tài)性研究（一）模型參數(shù)矩陣條件數(shù)根據(jù)上述研究，將非等間隔灰色verhulst模型的白化微分方程（1）線性化后對應(yīng)的灰微分方程記為 （

7、16）那么求解參數(shù)矩陣c及參數(shù)關(guān)系為：（17）其中，。根據(jù)（17）求出模型（16）的參數(shù)后，可以根據(jù)（5）可以得出模型（16）的解，最終通過（6）可還原得出模型（1）的解。從上述分析可知模型（16）的參數(shù)對模型（1）的影響很大，若模型（16）的參數(shù)矩陣為良態(tài)，那么理論上模型（1）應(yīng)具有較好的模擬效果。矩陣的病態(tài)性，可根據(jù)矩陣的條件數(shù)來判斷，此處矩陣條件數(shù)記 （18）其中，分別表示矩陣a的最大、最小特征根。實踐中一般認(rèn)為：若1<k（a）<10，則矩陣a為良態(tài)；若10<-k（a）<100，則矩陣a為輕度病態(tài)；若100<-k（a）<-1000，則矩陣為中等程度或較

8、強(qiáng)病態(tài)；若k（a）>1000，則矩陣a為嚴(yán)重的病態(tài)；根據(jù)（18）可以求出 （19）其中（二）模型精度檢驗一個模型的精度好壞需通過檢驗才能驗證其正確性與合理性 相對誤差是評判一個模型預(yù)測精度的重要指標(biāo)，相對誤差越小模型的精度越高，同樣可以通過計算相對誤差的平方和的大小來評判一個模型的精度.文中擬采用相對誤差對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行檢驗，相對誤差式子如下： （20）三、實例分析對本文提出的改進(jìn)背景值公式，我們通過數(shù)據(jù)驗證其效果，結(jié)果會更直觀，假如我們?nèi)∥墨I(xiàn)6的實例沉降數(shù)據(jù)如下：此處用（7）這一傳統(tǒng)的背景值公式來建立灰色非等間隔模型記作模型一，用改進(jìn)的背景值公式（14）來建立灰色非等間隔模型記作模型二。

9、其中模型一的解可用來表示，其中 （21）模型二的解可根據(jù)（5）、（6）得出。根據(jù)以上理論，通過matlab編程得出各模型參數(shù)如下模型一的參數(shù)；模型二的參數(shù)為；模型一、二的精度及求解參數(shù)矩陣的條件數(shù)見模型效果對比表3-1。從模型效果對比表3-1可知，本文提出的建模方法大幅度的降低了模型求解參數(shù)矩陣的條件數(shù)，模型從具有嚴(yán)重病態(tài)性到輕度病態(tài)轉(zhuǎn)化，而且模型的精度也有一定提高，從而較好的改善了模型的病態(tài)性。上該實例分析可見本文提出的方法的有效性，可行性。四、結(jié)論本文提出了新的背景值構(gòu)造公式，將灰色非等間隔模型的白化方程線性化得出模型的解的一種新形式。通過實例分析可發(fā)現(xiàn)本文的方法可從提高模型精度和降低求解

10、參數(shù)矩陣的條件數(shù)兩方面較好的改善了模型的病態(tài)性，但唯一不足之處就是還需進(jìn)一步提高預(yù)測模型的精度，以較好的滿足實際問題的模型精度需求。參考文獻(xiàn)1劉思峰，黨耀國，方志耕.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用m.第3版.北京：科學(xué)出版社，2004：125163.2偶昌寶，俞亞南.交通量預(yù)測的灰色verhulst自記憶模型j.遼寧交通科技，2004（12）：8788.3王正新，黨耀國，劉思峰.無偏灰色verhulst模型及其應(yīng)用j.系統(tǒng)工程理論與實踐，2009，29（10）：138144.4趙國生，王慧強(qiáng)，王健.基于灰色verhulst的網(wǎng)絡(luò)安全態(tài)勢感知模型j.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2008，40（5）：798-803.5曹萃文，顧幸生.灰色verhulst動態(tài)新陳代謝模型在產(chǎn)品價格預(yù)測與需求預(yù)測中的應(yīng)用j.信息與控制，2005，34（8）：398-402.6偶昌寶，俞亞南.不等時距灰色verhulst模型及其在沉降預(yù)測中的應(yīng)用j.江南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2005，4（1）：63-66.7王正新，黨耀國，沈春光.灰色verhulst模型的灰導(dǎo)數(shù)改進(jìn)研究j.統(tǒng)計與信息論壇，2010，25（6）：19-22.8肖霞林.路基沉降變形評估與非等間隔灰色verhulst模型j.鐵道建筑，2011，4（1）：86-89.9靳曉光，李曉紅.隧