湖南省湘潭市2015年中考數學試卷及解析

1、湖南省湘潭市2015年中考數學試卷一、選擇題（本大題共8個小題，每小題有且只有一個正確答案，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分24分）1在數軸上表示2的點與表示3的點之間的距離是（）A5B5C1D1考點：數軸. 分析：根據正負數的運算方法，用3減去2，求出在數軸上表示2的點與表示3的點之間的距離為多少即可解答：解：3（2）=2+3=5所以在數軸上表示2的點與表示3的點之間的距離為5故選A點評：此題主要考查了正負數的運算方法，關鍵是根據在數軸上表示2的點與表示3的點之間的距離列出式子2（3分）（2015湘潭）下面四個立體圖形中，三視圖完全相同的是（）ABCD考點：簡單

2、幾何體的三視圖. 分析：根據三視圖的概念求解解答：解：A、主視圖、左試圖是矩形，俯視圖是圓，故A錯誤；B、主視圖、左視圖、俯視圖都是圓，故B正確；C、主視圖、左視圖都是三角形，俯視圖是圓，故C錯誤；D、主視圖、俯視圖都是矩形，左視圖是三角形，故D錯誤；故選：B點評：本體考查了簡單幾何體的三視圖，從正面看得到的視圖是主視圖，從左邊看得到的視圖是左視圖，從上面看得到的視圖是俯視圖3（3分）（2015湘潭）下列計算正確的是（）AB31=3C（a4）2=a8Da6÷a2=a3考點：冪的乘方與積的乘方；同底數冪的除法；負整數指數冪；二次根式的加減法. 分析：A不是同類二次根式，不能合并；B依據

3、負整數指數冪的運算法則計算即可；C依據冪的乘方法則計算即可；D依據同底數冪的除法法則計算即可解答：解：A不是同類二次根式，不能合并，故A錯誤；B，故B錯誤；C（a4）2=a4×2=a8，故C正確；Da6÷a2=a62=a4，故D錯誤故選：C點評：本題主要考查的是數與式的運算，掌握同類二次根式的定義、負整數指數冪、積的乘方、冪的乘方的運算法則是解題的關鍵4（3分）（2015湘潭）在ABC中，D、E為邊AB、AC的中點，已知ADE的面積為4，那么ABC的面積是（）A8B12C16D20考點：相似三角形的判定與性質；三角形中位線定理. 分析：由條件可以知道DE是ABC的中位線，根

4、據中位線的性質就可以求出，再根據相似三角形的性質就可以得出結論解答：解：D、E分別是AB、AC的中點，DE是ABC的中位線，DEBC，ADEABC，ADE的面積為4，SABC=16故選：C點評：本題考查中位線的判定及性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，解答時證明ADEABC是解答本題的關鍵5（3分）（2015湘潭）下列四個命題中，真命題是（）A“任意四邊形內角和為360°”是不可能事件B“湘潭市明天會下雨”是必然事件C“預計本題的正確率是95%”表示100位考生中一定有95人做對D拋擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率是考點：命題與定理. 分析：根據四邊形內角和和不可能事件的定

5、義對A進行判斷；根據必然事件的定義對B進行判斷；根據估計的含義對C進行判斷；根據概率的定義對D進行判斷解答：解：A、“任意四邊形內角和為360°”是必然事件，錯誤；B、“湘潭市明天會下雨”是隨機事件，錯誤；C、“預計本題的正確率是95%”表示100位考生中不一定有95人做對，錯誤；D、拋擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率是，正確故選D點評：本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果那么”形式有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理6（3分）（2015湘潭）如圖，

6、已知直線ABCD，且直線EF分別交AB、CD于M、N兩點，NH是MND的角平分線若AMN=56°，則MNH的度數是（）A28°B30°C34°D56°考點：平行線的性質. 分析：先根據平行線的性質求出MND的度數，再由角平分線的定義即可得出結論解答：解：直線ABCD，AMN=56°，MND=AMN=56°NH是MND的角平分線，MNH=MND=28°故選A點評：本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，內錯角相等7（3分）（2015湘潭）如圖，四邊形ABCD是O的內接四邊形，若DAB=60°，

7、則BCD的度數是（）A60°B90°C100°D120°考點：圓內接四邊形的性質. 分析：根據圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補，求解解答：解：四邊形ABCD是O的內接四邊形，DAB+DCB=180°DAB=60°，BCD=180°60°=120°故選D點評：本題考查了圓內接四邊形的性質：解答本題的關鍵是掌握圓內接四邊形的對角互補的性質8（3分）（2015湘潭）如圖，觀察二次函數y=ax2+bx+c的圖象，下列結論：a+b+c0，2a+b0，b24ac0，ac0其中正確的是（）ABCD考點：二次函

8、數圖象與系數的關系. 分析：令x=1代入可判斷；由對稱軸x=的范圍可判斷；由圖象與x軸有兩個交點可判斷；由開口方向及與x軸的交點可分別得出a、c的符號，可判斷解答：解：由圖象可知當x=1時，y0，a+b+c0，故不正確；由圖象可知01，1，又開口向上，a0，b2a，2a+b0，故正確；由圖象可知二次函數與x軸有兩個交點，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，0，即b24ac0，故正確；由圖象可知拋物線開口向上，與y軸的交點在x軸的下方，a0，c0，ac0，故不正確；綜上可知正確的為，故選C點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，掌握二次函數的開口方向、對稱軸、與x軸的交點等知識是解題的

9、關鍵二、填空題（本題共8個小題，請將答案寫在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分24分）9（3分）（2015湘潭）的倒數是2考點：倒數. 分析：根據倒數的定義，的倒數是2解答：解：的倒數是2，故答案為：2點評：此題主要考查了倒數的定義：若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數10（3分）（2015湘潭）計算：23（2）=10考點：有理數的乘方；有理數的減法. 分析：根據有理數的混合計算解答即可解答：解：23（2）=8+2=10故答案為：10點評：此題考查有理數的乘方，關鍵是根據有理數的乘方得出23=8，再與2相加11（3分）（2015湘潭）在今年的湘潭市“黨和人民滿意的好老師”的評選活動中

10、，截止到5月底，王老師獲得網絡點贊共計183000個，用科學記數法表示這個數為1.83×105考點：科學記數法表示較大的數. 分析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1|a|10，n為整數確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同當原數絕對值1時，n是正數；當原數的絕對值1時，n是負數解答：解：將183000用科學記數法表示為1.83×105故答案為1.83×105點評：本題考查科學記數法的表示方法科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1|a|10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值

11、以及n的值12（3分）（2015湘潭）高一新生入學軍訓射擊訓練中，小張同學的射擊成績（單位：環(huán)）為：5、7、9、10、7，則這組數據的眾數是7考點：眾數. 分析：根據眾數的定義即可求解解答：解：這組數據的眾數是7故答案為：7點評：本題主要考查了眾數的概念關鍵是根據眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個13（3分）（2015湘潭）湘潭盤龍大觀園開園啦！其中杜鵑園的門票售價為：成人票每張50元，兒童票每張30元如果某日杜鵑園售出門票100張，門票收入共4000元那么當日售出成人票50張考點：一元一次方程的應用. 分析：根據總售出門票100張，共得收入4000元，可以列出方程求解即

12、可解答：解：設當日售出成人票x張，兒童票（100x）張，可得：50x+30（100x）=4000，解得：x=50答：當日售出成人票50張故答案為：50點評：此題考查一元一次方程的應用，本題解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解14（3分）（2015湘潭）已知菱形ABCD的面積為24cm2，若對角線AC=6cm，則這個菱形的邊長為5cm考點：菱形的性質. 分析：根據菱形的面積等于對角線乘積的一半可求出另一條對角線BD的長然后根據勾股定理即可求得邊長解答：解：菱形ABCD的面積=ACBD，菱形ABCD的面積是24cm2，其中一條對角線AC長6cm，另一

13、條對角線BD的長=8cm；邊長是：=5cm故答案為：5點評：本題考查了菱形的性質菱形被對角線分成4個全等的直角三角形，以及菱形的面積的計算，理解菱形的性質是關鍵15（3分）（2015湘潭）如圖，將ABC繞點A順時針旋轉60°得到AED，若線段AB=3，則BE=3考點：旋轉的性質. 分析：根據旋轉的性質得出BAE=60°，AB=AE，得出BAE是等邊三角形，進而得出BE=3即可解答：解：將ABC繞點A順時針旋轉60°得到AED，BAE=60°，AB=AE，BAE是等邊三角形，BE=3故答案為：3點評：本題考查旋轉的性質，關鍵是根據旋轉變化前后，對應線段、對

14、應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變要注意旋轉的三要素：定點旋轉中心；旋轉方向；旋轉角度16（3分）（2015湘潭）小華為參加畢業(yè)晚會演出，準備制一頂圓錐形彩色紙帽，如圖所示，如果紙帽的底面半徑為8cm，母線長為25cm，那么制作這頂紙帽至少需要彩色紙板的面積為200cm2（結果保留）考點：圓錐的計算. 分析：圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2解答：解：底面半徑為8cm，則底面周長=16，側面面積=×16×25=200cm2故答案為200點評：本題考查了圓錐的計算，利用了圓的周長公式和扇形面積公式，熟練記憶圓錐的側面積計算公式是解決本題的關鍵三、解答題

15、（本大題共10個小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請將解答過程寫在答題卡相應位置上，滿分72分）17（6分）（2015湘潭）解不等式組：考點：解一元一次不等式組. 分析：先求出兩個不等式的解集，再求其公共解解答：解：，由得，x2，由得，x3所以，不等式組的解集為2x3點評：本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）18（6分）（2015湘潭）先化簡，再求值：（1）÷，其中x=+1考點：分式的化簡求值. 分析：首先將小括號內的部分進行通分、計算，然后將除法轉化為乘法，接下

16、來再進行分解、約分，最后代數求值即可解答：解：原式=，將x=+1代入得：原式=點評：本題主要考查的是分式的化簡與計算，掌握分式的通分、約分、分式的減法、分式的乘法、除法法則是解題的關鍵19（6分）（2015湘潭）“東方之星”客船失事之后，本著“關愛生命，救人第一”的宗旨搜救部門緊急派遣直升機到失事地點進行搜救，搜救過程中，假設直升機飛到A處時，發(fā)現前方江面上B處有一漂浮物，從A測得B處的俯角為30°，已知該直升機一直保持在距江面100米高度飛行搜索，飛行速度為10米每秒，求該直升機沿直線方向朝漂浮物飛行多少秒可到達漂浮物的正上方？（結果精確到0.1，1.73）考點：解直角三角形的應用

17、-仰角俯角問題. 分析：作ADBD于點D，由題意得：ABC=30°，AD=100米，在RtABD中，=tanABC，求得BD的長后除以速度即可得到時間解答：解：作ADBD于點D，由題意得：ABC=30°，AD=100米，在RtABD中，=tanABC，BD=100米，飛行速度為10米每秒，飛行時間為100÷10=1017.3秒，該直升機沿直線方向朝漂浮物飛行17.3秒可到達漂浮物的正上方點評：本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是能夠從實際問題中整理出直角三角形，難度不大20（6分）（2015湘潭）2015年湘潭市中考招生政策發(fā)生較大改變，其中之一是：省級示范

18、性高中批次志愿中，每個考生可填報兩所學校（有先后順序），我市某區(qū)域的初三畢業(yè)生可填報的省級示范性高中有A、B、C、D四所（1）請列舉出該區(qū)域學生填報省級示范性高中批次志愿的所有可能結果；（2）求填報方案中含有A學校的概率考點：列表法與樹狀圖法. 分析：（1）首先根據題意畫出樹狀圖，從而可得到所有可能結果；（2）根據樹狀圖找出所有含有A的結果，然后再利用概率公式計算即可解答：解：（1）該區(qū)域學生填報省級示范性高中批次志愿的所有可能結果如下圖所示：（2）根據樹狀圖可知：該區(qū)域學生填報省級示范性高中批次志愿的所有可能結果共有12種，其中含有A的共有6種，故填報方案中含有A學校的概率=點評：如果一個事

19、件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=21（6分）（2015湘潭）水利部確定每年的3月22日至28日為“中國水周”（1994年以前為7月1日至7日），從1991年起，我國還將每年5月的第二周作為城市節(jié)約用水宣傳周某社區(qū)為了進一步提高居民珍惜水、保護水和水憂患意識，提倡節(jié)約用水，從本社區(qū)5000戶家庭中隨機抽取100戶，調查他們家庭每月的平均用水量，并將調查的結果繪制成如下的兩幅不完整的統(tǒng)計圖表：用戶月用水量頻數分布表平均用水量（噸）頻數頻率36噸100.169噸m0.2912噸360.361215噸25n1518噸90.09請根據上面的統(tǒng)計圖

20、表，解答下列問題：（1）在頻數分布表中：m=20，n=0.25；（2）根據題中數據補全頻數直方圖；（3）如果自來水公司將基本月用水量定為每戶每月12噸，不超過基本月用水量的部分享受基本價格，超出基本月用水量的部分實行加價收費，那么該社區(qū)用戶中約有多少戶家庭能夠全部享受基本價格？考點：頻數（率）分布直方圖；頻數（率）分布表. 分析：（1）根據頻率=頻數÷數據總數，可得到m÷100=0.2，可求得m=20，然后利用頻率=頻數÷數據可求得n的值；（2）根據（1）中的結果畫出統(tǒng)計圖即可；（3）求得100戶家庭中能夠全部享受基本價的頻數，然后再乘5即可解答：解：（1）m&#

21、247;100=02，解得m=20，n=25÷100=0.25；故答案為：20；0.25；（2）補全頻數直方圖如圖：（3）（10+20+36）×5=330（戶）答：該社區(qū)用戶中約有330戶家庭能夠全部享受基本價格點評：本題主要考查的是統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖的應用，掌握頻數、總數、頻率之間的關系是解題的關鍵22（6分）（2015湘潭）如圖，在RtABC中，C=90°，ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處（1）求證：BDEBAC；（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度考點：相似三角形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）. 分析：（1）根據折疊的性質得出C=A

22、ED=90°，利用DEB=C，B=B證明三角形相似即可；（2）由折疊的性質知CD=DE，AC=AE根據題意在RtBDE中運用勾股定理求DE，進而得出AD即可解答：證明：（1）C=90°，ACD沿AD折疊，C=AED=90°，DEB=C=90°，B=B，BDEBAC；（2）由勾股定理得，AB=10由折疊的性質知，AE=AC=6，DE=CD，AED=C=90°BE=ABAE=106=4，在RtBDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8CD）2，解得：CD=3，在RtACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62

23、=AD2，解得：AD=點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，關鍵是根據1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；2、勾股定理求解23（8分）（2015湘潭）如圖，已知一次函數y=x+b與反比例函數y=的圖象交于A、B兩點，其中點A的坐標為（2，3）（1）求一次函數與反比例函數的解析式；（2）求點B的坐標；（3）請根據圖象直接寫出不等式x+b的解集考點：反比例函數與一次函數的交點問題. 分析：（1）把A的坐標代入一次函數與反比例函數的解析式即可求出解析式；（2）把一次函數與反比例函數的解析式聯立得出方程組，求

24、出方程組的解即可；（3）根據A、B的坐標結合圖象即可得出答案解答：解：（1）把點A的坐標（2，3）代入一次函數的解析式中，可得：3=2+b，解得：b=1，所以一次函數的解析式為：y=x+1；把點A的坐標（2，3）代入反比例函數的解析式中，可得：k=6，所以反比例函數的解析式為：y=；（2）把一次函數與反比例函數的解析式聯立得出方程組，可得：，解得：x1=2，x2=3，所以點B的坐標為（3，2）；（3）A（2，3），B（3，2），使一次函數值大于反比例函數值的x的范圍是：3x0或x2點評：本題考查了一次函數與反比例函數的解析式，用待定系數法求出一次函數的解析式，函數的圖形等知識點的應用，主要考查

25、學生的計算能力和觀察圖形的能力，用了數形結合思想24（8分）（2015湘潭）閱讀材料：用配方法求最值已知x，y為非負實數，x+y20x+y2，當且僅當“x=y”時，等號成立示例：當x0時，求y=x+4的最小值解：+4=6，當x=，即x=1時，y的最小值為6（1）嘗試：當x0時，求y=的最小值（2）問題解決：隨著人們生活水平的快速提高，小轎車已成為越來越多家庭的交通工具，假設某種小轎車的購車費用為10萬元，每年應繳保險費等各類費用共計0.4萬元，n年的保養(yǎng)、維護費用總和為萬元問這種小轎車使用多少年報廢最合算（即：使用多少年的年平均費用最少，年平均費用=）？最少年平均費用為多少萬元？考點：配方法的

26、應用. 分析：（1）首先根據y=，可得y=x+1，然后應用配方法，求出當x0時，y=的最小值是多少即可（2）首先根據題意，求出年平均費用=（+0.4n+10）÷n=，然后應用配方法，求出這種小轎車使用多少年報廢最合算，以及最少年平均費用為多少萬元即可解答：解：（1）y=x+1+1=3，當x=，即x=1時，y的最小值為3（2）年平均費用=（+0.4n+10）÷n=2+0.5=2.5，當，即n=10時，最少年平均費用為2.5萬元點評：此題主要考查了配方法的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確配方法的關鍵是：先將一元二次方程的二次項系數化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數

27、一半的平方25（10分）（2015湘潭）如圖，已知AB是O的直徑，過點A作O的切線MA，P為直線MA上一動點，以點P為圓心，PA為半徑作P，交O于點C，連接PC、OP、BC（1）知識探究（如圖1）：判斷直線PC與O的位置關系，請證明你的結論；判斷直線OP與BC的位置關系，請證明你的結論（2）知識運用（如圖2）：當PAOA時，直線PC交AB的延長線于點D，若BD=2AB，求tanABC的值考點：圓的綜合題. 分析：（1）PC與O相切易證明PAOPCO，則PAO=PCO，由PA是O的切線，可知PAO=PCO=90°，即可證明結論；OPBC由（1）可知POA=POC，根據圓周角定理可知B=

28、POA，根據同位角相等可證明OPBC（2）根據OPBC，可知，由BD=2AB，可知AD=6OA，OD=5OB，所以PD=5PC，設設PA=PC=R，OA=r，根據勾股定理列方程求出R與r的數量關系，即可在RtPAO中求出tanABC=tanPOA解答：（1）PC與O相切證明：如圖1，連接OC，在PAO和PCO中，PAOPCO，PAO=PCO，PA是O的切線，AB是O的直徑，PAO=PCO=90°，PC與O相切OPBC證明：PAOPCO，POA=POC，B=POA，OPBC（2）解：如圖2，BD=2AB，BD=4OB，AD=6OA，OPBC，PD=5PC，設PA=PC=R，OA=r，A

29、D=6r，PD=5R，PA2+AD2=PD2，R2+（6r）2=（5R）2解得：R=r，tanABC=tanPOA=，tanABC=點評：本題主要考查了圓的有關性質、切線的性質與判定、平行線分線段成比例定理、勾股定理以及銳角三角函數的綜合應用，運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題26（10分）（2015湘潭）如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象交x軸于A（1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC，動點P以每秒1個單位長度的速度從A向B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從B向C運動，P、Q同時出發(fā)，連接PQ，當點Q到達C點時，P、Q同時停止運動，設運動時間為t秒（1）求二次函數的解析式；（2）如圖1，當BPQ為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當t2時，延長QP交y軸于點M，在拋物線上是否存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點？若存在，求出點N的坐標與t的值；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題. 分析：（1）根據二次函數y=x2+bx+c的圖象經過A（1，0）、B（3，0）兩點，應用待定系數法，求出二次函數的解析式即可（2）首先根據待定系數法，求出BC所在的直線的解析式，再分別求出點P、點Q的坐標各是多少；然后分兩種情況：當QPB=90°時；當PQB=90°時；根據等腰直角