解析幾何初步知識點

1、以一個方程的解為坐標(biāo)的點都是某條直線上的點；反之，這條直線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解這時，這個方程就叫做這條直線的方程；這條直線就叫做這個方程的直線上面的定義可簡言之： （方程）有一個解（直線上）就有一個點； （直線上）有一個 點（方程） 就有一個解，即方程的解與直線上的點是一一對應(yīng)的顯然，直線的方程是比一次函數(shù)包含對象更廣泛的一個概念直線的傾斜角的坐標(biāo)不滿足這個方程，但化為 y-y1=k（x-x1）后，點 P1 的坐標(biāo)滿足方程 當(dāng)直線的斜率為 0°時 k=0，直線的方程是 y=y1當(dāng)直線的斜率為 90°時（圖1-26） ，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜 式表示但因

2、 l 上每一點的橫坐標(biāo)都等于 x1，所以它的方程是 x=x1 （二）斜截式已知直線 l 在 y 軸上的截距為 b ，斜率為 k，求直線的方程代入點斜式方程可得： y-b=k（x-0）y=kx+b上面的方程叫做直線的斜截式方程為什么叫斜截式方程？因為它是由直線的斜率和 它在 y 軸上的截距確定的當(dāng) k 0 時，斜截式方程就是直線的表示形式，這樣一次函數(shù)中 k 和 b 的幾 何意義就是分別表示直線的斜率和在 y 軸上的截距（三）兩點式已知直線 l 上的兩點 P1（x 1，y1） 、P2（x 2，y2），（x 1x2） ，直線的 位置是確定的，也就是直線的方程是可求的，請同學(xué)們求直線 l 的方程當(dāng)

3、y1y2 時，為了便于記憶，我們把方程改寫成對兩點式方程要注意下面兩點： (1) 方程只適用于與坐標(biāo)軸不平行的直線，當(dāng)直 線與坐標(biāo)軸平行 (x 1=x2 或 y1=y 2) 時，可直接寫出方程； (2) 要記住兩點式方程， 只要記住左邊就行了， 右邊可由左邊見 y 就用 x 代換得到，足碼的規(guī)律完全一樣(四) 截距式已知直線 l 在 x 軸和 y 軸上的截距分別是 a 和 b(a 0，b0) ，求直線 l 的 方程因為直線 l 過 A(a， 0)和 B(0，b)兩點，將這兩點的坐標(biāo)代入兩點式，得就是這個方程是由直線在 x 軸和 y 軸上的截距確定的，叫做直線方程的截距式對截距式方程要注意下面三

4、點： (1) 如果已知直線在兩軸上的截距，可以直接代 入截距式求直線的方程； (2) 將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在 x 軸和 y 軸上的截距，這一點常被用來作圖； (3) 與坐標(biāo)軸平行和過原點的直線不 能用截距式表示直線的點斜式、 斜截式、 兩點式和截距式表示直線有一定的局限性， 只有直 線的一般式能表示所有的直線，要搞清直線與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系直線與二元一次方程是一對多的關(guān)系 同條直線對應(yīng)的多個二元一次方程是 同解方程對于每一條直線都可以求得它的一個二元一次方程，就是說，直線的方程都可以寫成 關(guān)于 x、y 的一次方程反過來，對于 x 、 y 的一次方程的一般形式Ax+By+

5、C=0 (1)其中 A、B 不同時為零(1) 當(dāng) B 0 時，方程 (1) 可化為(2) 當(dāng) B=0時，由于 A、B 不同時為零，必有 A 0，方程(1) 可化它表示一條與 y 軸平行的直線這樣，我們又有：關(guān)于 x 和y 的一次方程都表示一條直線我們把方程寫為Ax+By+C=0這個方程 (其中 A、B不全為零 )叫做直線方程的一般式(一) 特殊情況下的兩直線平行與垂直當(dāng)兩條直線中有一條直線沒有斜率時： (1) 當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時，兩 直線的傾斜角為 90°，互相平行； (2) 當(dāng)另一條直線的斜率為 0 時，一條直線的 傾斜角為 90°，另一條直線的傾斜角為 0&#

6、176;，兩直線互相垂直(二)斜率存在時兩直線的平行與垂直設(shè)直線 l1和 l 2的斜率為 k1和 k2，它們的方程分別是 *(1) 斜率存在的不重合的兩直線平行的等價條件；(2) 兩斜率存在的直線垂直的等價條件；(3) 與已知直線平行的直線的設(shè)法；(4) 與已知直線垂直的直線的設(shè)法(一)兩直線交點與方程組解的關(guān)系設(shè)兩直線的方程是l1： A1x+B1y+c1=0， l 2： A 2x +B2y +C2=0如果兩條直線相交，由于交點同時在兩條直線上，交點的坐標(biāo)一定是這兩個方程的公 共解； 反之，如果這兩個二元一次方程只有一個公共解， 那么以這個解為坐標(biāo)的點必是直線 l 1 和 l 2 的交點因此，

7、兩條直線是否相交，就要看這兩條直線的方程所組成的 方程組是否有唯一解Ar+By+C=O B一Ay = BjrAya.AfiygACA2+B2A2 yc ABxp BC_ ¥+b?d BLo ABy° ACQ A:+J32A'。一 ABro A' + B?IPoQI=J(_ 世藩二些)心一 AHr。一 BCA?+Bv (心+Bm+o? , BSm+Byo+cy_V (A24-Bx):十(?V + BW_ I/U+Bm+CI/4卯抄 兩條平行直線Ax+By+C, =0和Ar+By+G= 0間的距離 IG-G I1.在僅角坐標(biāo)平面上.畫出下列不等式組xO.y>

8、;09表示的區(qū)域.2x+y-2W0若點M（_ry）是上述區(qū)域內(nèi)的點.計算b=+指出6的聶大值與最 小值并指出&最大、憶小時相應(yīng)的點M的坐標(biāo).你能說明&的幾何意義嗎？«1中心對稱*與點人（工W關(guān)于點M（s 6）對稱的點的坐標(biāo)&A2a-x. 2b-yU與曲線 fg >>=0關(guān)于點M（s 6）對稱的曲線方程為/（2a-x> 2bpg0.（2）軸對稱：設(shè)M5.為）與點MCA 關(guān)于直線人Ar+Rr+C=0MB不全為零）對稱.則有二?；（一令） = _】，由MM*丄“A氣也+C=0.由MM的中點在直線/上）解陽._（B2 一A'）xo-2ABy.

9、-2ACr _ /-2 ACa+b2待別地當(dāng)A = li. Q=0時x" =yQ. y"二一£>即與點M（x. y）關(guān)于r+y = 0對稱的點是 M（ ，-x）.與曲線/,ygo關(guān)于總線才+，=0對稱的曲線方程足/（一y, 刃=0.當(dāng) A = -B C-OBj. Fry。. y-Xoe 即與點 M（x. y關(guān)于r（線 z-> = 0 對稱的點 X）.與曲線/W=o關(guān)于x-y=0對稱的曲線方程是/（，工）=0.當(dāng)a=±b.。工。時號咅C. y 駕tC.于是.與u 亠關(guān)于直線#+$+&求曲線的方程的一般步驟是： 1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，

10、用 (x，y) 表示曲線 上任意點 M的坐標(biāo)，簡稱建系設(shè)點； (2)寫出適合條件 P的點M的集合 P=M|P(M)| ， 簡稱寫點集； (3)用坐標(biāo)表示條件 P(M)，列出方程 f(x ，y)=0 ，簡稱列方程； (4) 化方程 f(x ，y)=0 為最簡形式，簡稱化簡方程； (5)證明化簡后的方程就是所求 曲線的方程，簡稱證明 其中步驟 (1)(3)(4) 必不可少1求圓的方程的方法 (1)待定系數(shù)法，確定 a，b，r ；(2)軌跡法，求曲線方程的一般方法2點與圓的位置關(guān)系設(shè)點到圓心的距離為 d，圓半徑為 r ：(1) 點在圓上d=r ；(2) 點在圓外d>r ；(3) 點在圓內(nèi)d&l

11、t;r 3以 A(x1， y1)、B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=01點與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 C(x-a) 2+(y-b) 2=r2，點 M(x0，y0) 到圓心的距離為 d，則有：(1) d>r點 M在圓外；(2)d=r點 M在圓上；(3)d <r點 M在圓內(nèi)2直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 C(x-a) 2+(y-b)=r 2，直線 l 的方程為 Ax+By+C=0，圓心 (a，判別式為，則有：(1)d<r直線與圓相交；(2)d=r 直線與圓相切；(3) d <r直線與圓相離，即幾何特征；或(1) > 0直線與

12、圓相交；(2) =0直線與圓相切；(3) < 0直線與圓相離，即代數(shù)特征，3圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 C1：(x-a) 2+(y-b) 2=r2和圓 C2：(x-m) 2+(y-n) 2=k2(k r) ，且設(shè)兩圓圓 心距為 d，則有：(1)d=k+r 兩圓外切；(2)d=k-r 兩圓內(nèi)切；(3)d>k+r兩圓外離；(4) d <k+r兩圓內(nèi)含；(5)k-r <d<k+r兩圓相交4其他(1)過圓上一點的切線方程：圓 x2+y2=r 2，圓上一點為 (x 0，y0) ，則此點的切線方程為 x0x+y0y=r 2( 課本 命題)圓(x-a) 2+(y-b) 2=r2，圓上一點為 (x 0，y0)，則過此點的切線方程為 (x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r 2( 課本命題的推廣 ) (2)相交兩圓的公共弦所在直線方程：設(shè)圓 C1 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圓 C2 x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若兩圓相交， 則過兩圓交點的直線方程為 (D1-D2)x+(E 1-E2)y+(F 1-F2)=0(3)圓系方程：設(shè)圓 C1x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓