六年級上冊奧數(shù)試題：第20講組合圖形的計算全國通用(含答案)

1、第20講組合圖形的計算知識網(wǎng)絡(luò)組合圖形是由一些基本圖形如長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓和扇形 等組合而成的圖形。在本講中，主要介紹長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形組合 而成的圖形。組合圖形的計算，指的是與組合圖形的面積、周長等有關(guān)的問題的計算。對五種基本圖形，首先要熟記它們面積的基本公式：S-北 E - a5- S - 1 ah S喋力感一叫血力愚- d ,% 一 業(yè)戶核四電用重點難點組合圖形的計算是以上述幾種基本圖形為基礎(chǔ)的。這幾種基本圖形的一些醞釀性質(zhì)的恰當(dāng)運(yùn)用是本講的重點。 這些基本性質(zhì)包括：等底等高的兩個三角形面積相等；等底的兩個三角形面積比等于高之比；等高的兩個

2、三角形面積比等于底之比。這三條性質(zhì)都是三角形的性質(zhì)，它們同樣適用于平行四邊形和長方形。學(xué)法指導(dǎo)在求組合圖形的面積時，可用一些比較常用的方法，如：直接法、相加法和相減法、翻 轉(zhuǎn)法、等積移位法、重疊法。最終的目的是將這些圖形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的簡單規(guī)則圖形的和 或差。同時，也可以構(gòu)造圖形，利用面積的關(guān)系來解一些代數(shù)題，如關(guān)于線段成比例等問題。經(jīng)典例題例1有一大一小兩個正方形，它們的周長相差20厘米，面積相差55平方厘米，那么小正方形的面積是多少平方厘米？思路剖析先求出邊長再求面積是一般解法，我們可以利用割補(bǔ)拼湊的方法利用圖像來比較直觀地求解本題。解答如圖1所示，將兩個正方形的一個頂點對齊，將大正方形在

3、小正方形外的部分分割成兩個直角梯形，再拼成一個長方形。里口厘米由于兩個正方形的周長相差 20厘米，從而它們的每邊相差 4,即圖2中長方形的寬是5厘米。又因為長方形的面積是兩個正方形的面積之差，即為55平方厘米，從而長方形白長為55 + 5=11厘米。由圖中可知，長方形的長是直角梯形的上底和下底的和；長方形的寬是直角梯形的上底和下底的差，從而小正方形的長為（11-5） +2=3 （厘米）。所以小正方形的面積為 3X3=9 （平方厘米）。例2如圖3所示，將 ABC的各邊都延長1倍到A'、連接&得到一個新的二角形AEC1如果 abc的面積為10,求 AEG的面積。思路剖析本題僅知 A

4、BC的面積為10,因此，必須根據(jù)三角形的兩條基本性質(zhì)：等底的兩個三 角形面積比等于高之比；等高的兩個三角形面積等于底之比，來作出與 ABC等底或等高 的三角形。解答在 AEE和abc中，因為且二2且B,并且=,所以AAHE的面積是4ABC的兩倍。即久加=凡即加同理%CE嗚2=如,=2x10 =20所以：._二廠 Lj I 一，,_：.-L 一- -答： ABC的面積是70。例3如圖4所示，已知一個四邊形的兩條邊的長度和三個角的度數(shù)，那么這個四邊形 的面積是多少平方厘米（單位：厘米）？點4思路剖析AC,將其分割成兩個這個四邊形不是規(guī)則的圖形，無法直接應(yīng)用面積公式?？梢赃B接直角三角形，但是求解這兩

5、個三角形面積的條件又不足。這時不妨把四邊形看成整體的一部分，延長BA、CD交于點E (如圖5所示)，則所求四邊形的面積就轉(zhuǎn)化為兩個等腰直角 三角形面積之差。解答延長BA、CD交于點巳9 一 q v口四的照ABC口一、立E則1x7x?-!-x3x349 9 5- = 20士 士 （平方厘米）例4如圖6所示，四邊形 ABCD是正方形，求陰影部分的面積。卜 2思路剖析本題的解法思路不外兩種：(1)由大正形的面積減去四個三角形的面積；(2)由兩個平行四邊形 AFCH和BGDE的面積和減去中間的四邊形面積。這兩種方法均可。下面我們采取第二種思路解題。解答平行四邊形 AFCH旋轉(zhuǎn)90。后變成平行四邊形 B

6、GDE ,從而這兩個平行四邊形面積相 等，并且有 DELAF,即四邊表 MNPQ是正方形。2x3+2)-L0同時匕皿h = AF-MQ,所以mq = XAF1005。25 + 9 = 17.in3in2所以IWQ =g M(= - =A? JkD 4 DE13鬧薯 = 2S Ajrr»j 一 Mlipn = 20 ； = 17 從而陰影部分的面積 F-；答：陰影部分的面積是17。例5長方形ABCD的周長是26厘米，在它的每條邊上各畫一個以該邊為邊長的正方形。已知這四個正方形的面積之和為178平方厘米，那么長方形 ABCD的面積是多少平方厘米？思路剖析考慮到"恰為長方形的長和

7、寬之和，即為周長的一半，從而可以A1S和BC 1構(gòu)成一個大正方形，如圖 7所示，其中包含長方形 ABCD面積的兩倍和兩個正方形，這兩個正方 形的面積恰為178平方厘米的一半。解答延長對口二戶于比,則正方形即BC Rl的邊長=白口 = AlA + AB= AD*AB=長方形周長的一半上25,米） 故正方出'AiB、1E1與正方用0匚1日？的面積和為178+2=89（平方厘米），長方形ABCD和長方也D，EEDi面積相等，所以品褓國口 =春Q69-89” 4肝方厘米）O答：長方形ABCD的面積是40平方厘米。例6已知a和b均為正數(shù)，求證:思路剖析如果a=b,上式左右相等，不等式成立。如果a

8、w b,我們可以將a、b看成線段的長度,構(gòu)造相應(yīng)的線段，將代數(shù)式 2121看成相應(yīng)圖形的面積，人而利用面積的大小關(guān)系來說明這兩個代數(shù)式的大小關(guān)系。解答aa + ba 公 + h如果a=b,則 2 ?，不等式成立。若awb,以a、b為邊長作正方形 ABCD和BEFG ,如圖8所示，連接EG、AC,延長AC交EG與點 M,由于/ MAB= / MEB=45 ° ,所以/ AME是直角。從而AME2所以b W)白46丫綜上所述， 2 I 2 J例7如圖9所示，正方形 ABCD的邊長為8厘米，M為AD邊上的中點，求圖中陰影 部分的面積。思路剖析直接用三角形的面積公式來求解是比較難的。因此不妨

9、通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線來化簡問題。S鼻ft A解答解法一：如圖10所示，連接DG= Sj1cAM （同底等高）從而 與甘魚仔"- S上CJdrt - ShGAM - SACGM由對稱性 $血3"ADAG又有 孔GW -孔窗由（等底等高） "皿-三，DACJ 一三aB所以-從而x - x832y甲方厘米）+ SiC5M = 2冥=弓（平方厘米）解法二：將4CMD繞M點旋轉(zhuǎn)180° ,得到 PMA，如圖11所示，則AB=CD=PA ,CM=PM ,連接PG,則$3 'Sg的（等底同高）；SkmlSqmg （等底同高）又由：一 /-： |1 ：- -二：

10、m ）上（8 k2）=嵬評方厘米）2所以 I平"（S隔穹加葉=StJTO + SOCMO = 2S£A£G = （平方厘卷）從而-例8圖12a中的三角形紙片沿虛線折疊得粗實線圖形 （見圖12b）,其面積與原三角形面 積之比為2： 3已知圖12b中三個畫陰影的三角形面積之和為 1,那么重疊部分的面積是多 少？要解此種類型的題要有清晰的頭腦，準(zhǔn)確把握每個圖形的關(guān)系， 或者用列方程的方法也可以求解。解答解法一：因為三個畫陰影的三角形的面積是1,而由已知條件折疊后的圖形的面積是2_O而減少的面積，恰為圖中原三角形的面積的 3,面積減少了原三角形面積的1重疊部分的面積，即重

11、疊部分的面積是原三角形面積的-因為原三角形的面積 =三個陰影三角形的面積 +兩個重疊部分的面積，而兩個重疊部分的面積是原三角形面積的3 ,所以三個陰影三角形的面積是原三角形面積的從而原三角形的面積為3,因此重疊部分的面積為解法二：設(shè)重疊部分的面積是X,因此圖12b中粗實線圖形面積為 x+1,原三角形的面積是：2x+1 ,根據(jù)題意，可列方程得x + 122%41 33兀+ 3 = 4x -h 2裒=1答：重疊部分的面積為 1。點津恰當(dāng)運(yùn)用一些基本圖形的基本性質(zhì)有時可以使解題變得方便、快捷，而如何在關(guān)鍵的地方添上合適的輔助線，要靠多接觸各種不同類型的題來提高水平，也要多進(jìn)行試探。例如對例3,也許開

12、始會考慮到將四邊形分割成四個三角形來求面積，但是在這種方法不合適的情 況下，要改變思路，另尋解題方法。又如對例題7,有時候可以用不同的輔助線來求解，所提供的兩種解法都可以， 但相比而言，第二種解法就比較簡單，更容易理解。這要求同學(xué)們 在做題中多嘗試不同的方法。本周強(qiáng)球習(xí)O發(fā)散思維訓(xùn)練1 .如圖13所示，四邊形 ABCD的面積是 平方厘米（單位：厘米）。2 .用一根鐵絲分別圍成正方形、等邊三角形和圓，那么這三種圖形圍成的面積的大小 順序是。3 .如圖14所示，在正方形中畫了兩個 4圓，將正方形分成四個區(qū)域，則 A區(qū)域與B 區(qū)域面積相差。周r44 .如圖15所示，ABDE是以長方形 ABCD的對角

13、線BD為底的等腰梯形，已知三角 形BDE的面積是200平方厘米，則長方形內(nèi)半圓的面積是 。國EAD = -ABCCj= -AC5.如圖16所示，在 ABC中， 3, BE=EF=FC ,3,則陰影部分面積是三角形ABC面積的6.已知a+ h、a、b均為正數(shù)，試用面積方法證明:> ab7.如圖17所示，正方形的面積是 27平方厘米，在正方形內(nèi)有兩條平行于對角線段把正方形的面積平均分成三份，求圖中這兩條線段的長是多少厘米?方厘米，B的面積是 厘米？8.如圖18所示，一個矩形被分成 A、B、C、D四個矩形，現(xiàn)在已知 A的面積是2平4平方厘米，C的面積是6平方厘米。試問：原矩形的面積是多少平方場

14、困隹傕也后再登莒掩!發(fā)散思維訓(xùn)練1.解：如答圖1所示，延長AB、DC相交于點F, / BCF=45 因此 AFE是等腰直角三角形，故 EF=AE=12厘米。,AFC=45 ° ,從而有/ FAE=45 °ABCD=；-AE= lx(l2 + 5)712 = 112（平方厘米），而 CBF也是等腰直角三角形,S,CEF = ix BFx BC = ix6xC =聞平方厘米：） 所以BF=BC=6厘米。從而22。因此%如=S-SCBF =10-18 = M平方哩米)群圖I2 .解:設(shè)鐵絲的長度為a,那么它組成的正方形的邊長為4 ,從而正方形的面積是由鐵絲圈圍成的正三角形的邊長是

15、,從而它圈成的面積= 0,433x - =C.433xfyO.OI8a2且是9;由鐵絲圍成的圓的半徑是 ？直，從而它圍成的面積是二五' m O.OEOa11加)4 j綜上所述有：邑亡. ：,3 .解：如答圖2所示，要求出 A區(qū)域與B區(qū)域的面積差，可以求（A+C）區(qū)域與（B+C）區(qū) 域的面積差，由%就=比然1M-"5=2L5（平方厘米=S正才W=2l肝方厘利從而有一.：柞圖24 .解： ABD與/ BDE同底等高，因此心!>£2皿怦方厘米），設(shè)長方形的寬為r, 1 1 。S1AB口 = x ABx AD = xr x 2r = rJ、則 22,因此r = 2 口

16、口，而長方形內(nèi)半圓的面枳= 1xx200 = 100 x=314 （平方厘將22。5 .解:4_奴（7SiPEFQ =孔心1SaaDG SiED 與 從而,221)1999/，4K SaAEC = ",即陰影部分4面積占三角形 ABC面積的萬。6 .解：當(dāng)a=b時，恰好左式右式，不等號成立。當(dāng) aw b時，不妨設(shè)a>b,以a、b為長和寬作 長方形ABCD ,以b為邊長作正方形 BCFE,取AE的中點J, AJ為邊長作正方形 AJGH , 如答圖3所示。a+ bV顯然*ABC& =獨所以 運(yùn)如工Si® ,從而SATGK >與也F)綜合有l(wèi)iG若圉37 .解：如答圖4所示，以一條線段BC為邊作一個新的正方