金陵中學(xué)高三 (2)

1、金陵中學(xué)20132014學(xué)年度第一學(xué)期高三期中試卷 數(shù)學(xué)（必做題）一、填空題:本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把正確答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上1 設(shè)集合Axx2，Bxx21，則AB 【答】x1x22. 復(fù)數(shù)i2（12i）的實(shí)部是 【答】（1）3.命題“xR，x2+ax+1<0” 的否定是 【答】4.函數(shù)f（x）的定義域是 【答】（0，35.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，已知a1+ a2+ a3 =2, a3+ a4+ a5 =8,則a4+ a5+ a6 = . 【答】16 6已知向量a，b滿足a1，b2，a與b的夾角為60°，向量c2ab則向量c的模為 【答】2【

2、解析】c2（2ab）24a24a·bb244×1×2×cos60°412，即c27在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知y=x是雙曲線=1（a>0,b>0）的一條漸近線方程，則此雙曲線的離心率為 【答】2 【解析】由題意，8.已知直線l平面，直線mÍ平面，則下列四個(gè)命題： 若,則lm； 若,則lm； 若lm,則； 若lm,則.其中正確命題的序號(hào)是 【答】 9若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m、n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P在直線xy = 5下方的概率為 【答】 【解析】點(diǎn)P在直線xy = 5下方的情況有(1,1)，(1,2)，(1

3、,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六種可能，故其概率為 = 10. 已知f(x)=3sin(2x)，若存在(0,)，使f(+x)= f(-x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則= 【答】11.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x，若f(2a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答】(2,1)12. 已知函數(shù)f(x)= |lg(x-1)| 若ab,f(a)= f(b) ,則a+2b的取值范圍是 【答】13.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x5)16，當(dāng)x(1，4時(shí)，f(x)x22x，則函數(shù)f(x)在0，2013上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_ 【答】604【解析】由，可知，則

4、，所以是以10為周期的周期函數(shù). 在一個(gè)周期上，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，故在一個(gè)周期上僅有3個(gè)零點(diǎn)，由于區(qū)間中包含201個(gè)周期，又時(shí)也存在一個(gè)零點(diǎn)，故在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.14.已知函數(shù)f(x)=，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1,x2,x3,不等式f(x1)+ f(x2) >f(x3)恒成立，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍是 【答】【解析】，令，則原題等價(jià)為：對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍（1）當(dāng)時(shí)，顯然成立；（2）當(dāng)時(shí)，由，得；（3）當(dāng)時(shí)，由，得綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本題滿分1

5、4分) 已知向量a=(2cosx , 2sinx) ，b=(cosx , cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=ab-, 求：(1) f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若, 且(,). 求.解=-3分(1)函數(shù)的最小正周期為 -5分 由，得（）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 -8分(2)，11分，或，或 -14分16(本題滿分14分) 如圖,四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD平面CDE，H是BE的中點(diǎn),G是AE,DF的交點(diǎn).（1）求證:GH平面CDE；（2）求證:面ADEF面ABCD.證明：是的交點(diǎn)，是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，中， -2分 ABCD為平行四邊形 ABCD ， -4分又平

6、面 -7分， 所以， -9分 又因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?-10分，- -12分 . -14分17（本題滿分14分） 已知等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a11，公差d為整數(shù)，且滿足a1+3<a3, a2+5> a4，數(shù)列bn滿足bn =，其前n項(xiàng)和為Sn(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若S2為S1，Sm (mN)的等比中項(xiàng),求正整數(shù)m的值(3)對(duì)任意正整數(shù)k,將等差數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(2k,22k)內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為ck,求數(shù)列cn的前n項(xiàng) 和Tn解：（1）由題意，得解得< d < 2分 又dZ，d = 2 =1+(n1)2=2n1 4分（2）.6分7分，為， ()的等比中項(xiàng)，即， 解

7、得=12 .9分(3)對(duì)任意正整數(shù)k，則,而，由題意可知 , 12分于是 ， 即. 14分18.（本小題滿分16分） 如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)鋪設(shè)水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l1，在路南側(cè)沿直線鋪設(shè)線路l2，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l1與l2接通已知AB = 60m，BC = 80m，公路兩側(cè)鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每米2萬元，設(shè)EFB=-,矩形區(qū)域內(nèi)的鋪設(shè)水管的總費(fèi)用為W（1）求W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）求W的最小值及相應(yīng)的角解：（1）如圖，過E作，垂足為M，由題意得MEF=， 故有，.3分所以 =80+-60tan（其中.

8、8分 （2）W 設(shè)， 則 11 分 令得，即，得列表+0-單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)有，此時(shí)有 14分 答：鋪設(shè)水管的最小費(fèi)用為萬元，相應(yīng)的角 16分19（本小題滿分16分）已知橢圓C：1(ab0)的離心率e，橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，左、右頂點(diǎn)分別為B1，B2,左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2原點(diǎn)到直線A2B2的距離為（1）求橢圓C的方程；（2）過原點(diǎn)且斜率為的直線l，與橢圓交于E，F(xiàn)點(diǎn)，試判斷EF2F是銳角、直角還是鈍角，并寫出理由；（3）P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn),直線PA1，PA2，分別交軸于點(diǎn)N，M,若直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T.證明：線段OT的長(zhǎng)為定值,

9、并求出該定值.MxyTGPONA1A2B1B2F1F2解：（1）因?yàn)闄E圓C的離心率e，故設(shè)a2m，cm，則bm直線A2B2方程為 bxayab0，即mx2my2m20所以 ，解得m1所以 a2，b1，橢圓方程為y21 5分（2） 由得E(，)，F(xiàn)(，).7分 又F2(，0)，所以(，)，(，)， 所以·()×()×()0 所以EF2F是銳角 10分（3）由（1）可知A1(0，1) A2(0，1),設(shè)P(x0，y0), 直線PA1：y1x，令y0,得xN； 直線PA2：y1x，令y0,得xM；12分解法一:設(shè)圓G的圓心為()，h),則r2()2h2()2h2OG2(

10、)2h2OT2OG2r2()2h2()2h2.14分而y021，所以x024(1y02)，所以O(shè)T24，所以O(shè)T2,即線段OT的長(zhǎng)度為定值2. 16分解法二:OM·ON|()·|,而y021，所以x024(1y02)，所以O(shè)M·ON4由切割線定理得OT2OM·ON4所以O(shè)T2,即線段OT的長(zhǎng)度為定值2. 16分20（本大題滿分16分）已知函數(shù)f(x)=a|x|+(a>0,a1)（1）若a>1，且關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個(gè)不同的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)g(x)= f(-x)，x-2，+），滿足如下性質(zhì)：若存在最大（?。┲?，則

11、最大（?。┲蹬ca無關(guān).試求a的取值范圍解：(1)令，因?yàn)椋?，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解等價(jià)于關(guān)于的方程有相異的且均大于1的兩根，即 關(guān)于的方程有相異的且均大于1的兩根，2分所以，4分解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為區(qū)間.6分(2)當(dāng)時(shí)，a)時(shí)，所以 ， b)時(shí)，所以 8分 )當(dāng)即時(shí)，對(duì)，所以 在上遞增，所以 ，綜合a) b)有最小值為與a有關(guān)，不符合10分 )當(dāng)即時(shí)，由得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以 在上遞減，在上遞增，所以，綜合a) b) 有最小值為與a無關(guān)，符合要求12分當(dāng)時(shí)，a) 時(shí)，所以 b) 時(shí)，所以 ，在上遞減，所以 ，綜合a) b) 有最大值為與a有關(guān)，不符合15分綜上所述，實(shí)數(shù)a的取

12、值范圍是16分金陵中學(xué)20132014學(xué)年度第一學(xué)期高三期中試卷數(shù)學(xué)（附加題）21【選做題】在下面A，B，C，D四個(gè)小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分A選修41：幾何證明選講（本小題滿分10分） 如圖，設(shè)AB為O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是O與l的公共點(diǎn)，ACl，BDl，垂足分別為C，D，且PC=PD，求證： （1）l是O的切線； （2）PB平分ABD. 20090602證明：（1）連結(jié)OP，因?yàn)锳Cl，BDl，所以AC/BD.又OA=OB，PC=PD，所以O(shè)P/BD，從而OPl.因?yàn)镻在O上，所以l是O的切線. .5分 （2）連結(jié)AP，因?yàn)閘是O的切線，所以BPD=BAP. 又

13、BPD+PBD=90°，BAP+PBA=90°，所以PBA=PBD，即PB平分ABD. .10分B選修42：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣M，N（1）求矩陣MN；（2）若點(diǎn)P在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到Q(0，1)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解：（1）MN ； 5分 （2）設(shè)P(x，y)，則解法一： ，即 解得即P(，1) 10分 解法二： 因?yàn)樗?即P(，1) 10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分） 在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)為極點(diǎn)，OX為極軸，且長(zhǎng)度單位相同，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為 sin(+)=0,

14、 求與直線l垂直且與曲線C相切的直線m的極坐標(biāo)方程.解：················3分設(shè),直線與相切，可得或，··················7分直線的極坐標(biāo)方程為或···10分D選修4 - 5：不等式選講（本小題滿分1

15、0分）設(shè)f(x)=x2x+13，實(shí)數(shù)a滿足| x-a|<1，求證：| f(x)-f(a)|<2(|a|+1)證：， 又10分 必做題22（本小題滿分10分） 口袋中有n(nN)個(gè)白球，3個(gè)紅球.依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球，且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球.記取球的次數(shù)為X, 若P(X=2)= 求： （1）n的值； （2）X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.解：（1）由題知 （2）由題知，X的可能取值為1，2，3，4，所以所以，X的概率分布表為X1234P 所以答X的數(shù)學(xué)期望是 10分23（本小題滿分10分） 設(shè)P1，P2，Pj為集合P1，2，i的子集，其中i，j為正整數(shù)記aij為滿足P1P2PjÆ的有序子集組(P1，P2，Pj)的個(gè)數(shù)（1）求a22的值； （2）求aij的表達(dá)式解：（1）由題意得P1，P2為集合P1，2的子集， 因?yàn)镻1P2Æ， 所以集合P1，2中的元素“1”共有如下3種情形： 1ÏP1，且1Ï P2；1ÎP1，且1Ï P2；1ÏP1，且1ÎP2； 同理可得集合P1，2中