橢球坐標(biāo)系PPT課件

1、12.2 地球橢球面的數(shù)學(xué)計算和有關(guān)計算2.2.1 地球橢球的幾何、物理元素橢球方程：扁率：第一偏心率：第二偏心率：XYZO1222222bZaYaXabaaEabae222bEbbae222第1頁/共144頁22.2.1 地球橢球的幾何、物理元素（續(xù)1）幾個關(guān)系式：22222222221 111 1 2eeeeeeeee21eba21 eab1954年北京坐標(biāo)系，克拉索夫斯基橢球元素：3 .2981 m 6378245a第2頁/共144頁32.2.1 地球橢球的幾何、物理元素（續(xù)2）1980年大地坐標(biāo)系采用第16屆 IAGIUGG 橢球，其橢球元素為：257.2981 /10292115.7

2、 10108263/103.986005GM m 63781405822314可求得扁率：sradJsma第3頁/共144頁42.2.2 旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)1、經(jīng)線和緯線的曲線方程在XOZ坐標(biāo)面上的起始經(jīng)線方程：OXYZM1M0MLLrARS0 12222YbZaXM0饒Z軸旋轉(zhuǎn)，形成緯圈（平行圈），其半徑：22YXr經(jīng)度為L的經(jīng)線方程：LXYbZaYaXtan 1222222第4頁/共144頁52.2.2 旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)1）OXYZM1M0MLLrARS緯圈方程：0222222Z 1ZbZaYaX第5頁/共144頁62.2.2 旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（

3、續(xù)2）2、橢球面法線與子午線主法線的同一性、經(jīng)緯線的Frenet標(biāo)架POQMPRTNA如圖為過M點的子午面。子午線的主法線MP位于子午面內(nèi)，且垂直于子午線切線T；R為過M點的平行圈切線，顯然R垂直于M點的子午面，因此R垂直于MP。所以， MP垂直于橢球面在M點的切平面，因此它是橢球面的法線。Frenet標(biāo)架：曲線上任意一點處的三個相互正交的單位向量取切向、主法向和與該兩個方向正交的第三個方向構(gòu)成的三維直角坐標(biāo)系。第6頁/共144頁72.2.2 旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)3）3、旋轉(zhuǎn)橢球面及經(jīng)緯線的參數(shù)方程1). 以大地經(jīng)度L及歸化緯度u為參數(shù)的方程uaXZOMMubZuaXsincos

4、在XOZ子午面內(nèi)，有在三維空間坐標(biāo)系中：ubZLuaYLuaXsinsincoscoscos第7頁/共144頁8(2). 以大地經(jīng)緯度L、B為參數(shù)的方程XZK0B90+ BOTM 0切線M0T的斜率的導(dǎo)數(shù)式：BBdXdZctg90tan0由橢圓方程求導(dǎo)得：12222bZaXZXeZaXbdXdZ2221代入第一式得：BeXZtan1212.2.2 旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)4）第8頁/共144頁92.2.2 旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)5）將 代入橢圓方程，化簡后得：1BeBeaZBeBaX22222sin1sin1 sin1cos引入輔助符號：WaNBeW sin122則有：

5、sin1 cos2BeNZBNX第9頁/共144頁102.2.2 旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)6）以大地經(jīng)緯度兩個參數(shù)表示的橢球面上一點的三維坐標(biāo)為橢球面參數(shù)方程式： sin1sincoscoscos2BeNZLBNYLBNX第10頁/共144頁11以大地緯度為參數(shù)的經(jīng)度為LC的子午線參數(shù)方程為:BeNZLBNYLBNXCCsin1sincoscoscos2第11頁/共144頁12在一點BC ,LC 處的子午線切向量CcCCcCCcBMBZLBMBYLBMBXcossinsincossin第12頁/共144頁13子午線切線單位向量CCCCCBLBLBcossinsincossin第13頁

6、/共144頁14以大地經(jīng)度為參數(shù)的大地緯度為的BC緯線的參數(shù)方程為CBCBCBBeNZLBNYLBNXCCCsin1sincoscoscos2第14頁/共144頁15在一點BC ,LC 處的平行圈切向量0coscossincosLZLBNLYLBNLXCCcCCc第15頁/共144頁16平行圈切線單位向量0coscossincosCCCCLBLB第16頁/共144頁170coscossincosCCCCLBLBCCCCCCCCCCBLBLBBLBLBsinsincoscoscoscossinsincossin橢球面單位法向量為其矢量積：第17頁/共144頁182.2.2 旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及

7、數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)7）(3). 以大地經(jīng)度L及球心緯度為參數(shù)的方程XZOM 0 球心緯度，向徑，則對于XOZ平面上的橢圓有：sincosZX 在橢圓上，向徑由球心緯度唯一確定，將上式代入橢圓方程，得：222cos11eea第18頁/共144頁192.2.2 旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)8）對于XOZ平面上的橢圓有：222222cos11sin cos11coseeaZeeaX以經(jīng)度、球心緯度兩個參數(shù)表示的橢球面上一點的三維坐標(biāo)為參數(shù)方程式為：2222222221coscos 1cos1cossin1cos1sin1coseXaLeeYaLeeZae第19頁/共144頁202.2.2 旋轉(zhuǎn)橢球面

8、的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)9） 不難得出，u, B, 的關(guān)系為：BeeBuBeBu22222sin11sinsin sin1coscos因此有：BabBeutantan1tan2由球心緯度公式，得：BabBetantan1tan222第20頁/共144頁212.2.2 旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)10）4、旋轉(zhuǎn)橢球面的幾何性質(zhì) a). 對稱性 b). 有界性 c). 正則性：曲面上每點都對應(yīng)于唯一 確定的非零法向量。 d). 不可展性BLBLBsinsincoscoscosn第21頁/共144頁222.2.3 法截線曲率及曲率半徑 1、空間曲線的曲率幾曲率半徑 若以曲線的弧長s為參數(shù)，曲線

9、上的點位用向量r(s)表示。則曲線的曲率為： cccsssdssddssdsk22rT若以t參數(shù)，則曲線的曲率可表示為： 322ccctttdttddttddttdtkrrr第22頁/共144頁232、橢球面法截線的曲率(1). 子午線曲率半徑 不失一般性，以起始子午線為例推導(dǎo)。若以歸化緯度u為子午線方程的參數(shù)，則有：2.2.3 法截線曲率及曲率半徑（續(xù)1） ubuaduudubuaduudubuausin0coscos0sinsin0cos22rrr第23頁/共144頁242.2.3 法截線曲率及曲率半徑（續(xù)2）則有： 0022abduudduudrr 232222322sincosuaub

10、abduudduudduudukrrr同理，若以大地緯度為參數(shù)，得： 232232211sin1eaWeaBeBk子午曲率半徑M，就是曲率是倒數(shù)，即： 3211WeaBkM第24頁/共144頁252.2.3 法截線曲率及曲率半徑（續(xù)3）(2). 卯酉線曲率半徑定義：與子午面切線正交的法截面與橢球面的交線為卯 酉線。 根據(jù)微分幾何中的麥尼爾定理，卯酉圈曲率kn與平行圈曲率kr的關(guān)系為：Bkkrncos平行圈半徑為子午面XOZ 平面內(nèi)的X坐標(biāo)，即：BWaXrBcos則有，上述兩式得卯酉曲率半徑N為：WaBrBkkNBrncoscos11第25頁/共144頁262.2.3 法截線曲率及曲率半徑（續(xù)

11、4）(3). 任意方向法截線的曲率半徑 根據(jù)微分幾何中的Euler公式，任意方向法截線的曲率與子午、卯酉曲率半徑的關(guān)系為：NAMAkA22sincos因此，任意方向的曲率半徑為：AMANMNkRAA22sincos1當(dāng)A為0，/2， 3/2時，取得極值。第26頁/共144頁272.2.3 法截線曲率及曲率半徑（續(xù) 5）(4). 平均曲率半徑 定義：所有方向法截線曲率半徑的平均值。dAANMdtANMtdAAMANMNdARRA2202220cos1 ,tansincos22代入上式，得：0222112WeaMNtdtMNR第27頁/共144頁282.2.3 法截線曲率及曲率半徑（續(xù) 6）不難得

12、到：N R M引入輔助量：222221cos11BeVeabac存在下列關(guān)系：BeBtVcRVcNVcMeVWeWVecaeac222232222cos tan 1 11 1第28頁/共144頁292.2.4 橢球面上第一基本形式及弧長面積計算1. 橢球面的第一基本形式dLLdBBdBeNLBNLBNrrrrrsin1sincoscoscos2橢球面上點的向量：橢球面上的微分弧長：22222GdLFdBdLEdBddddSrrr其中：dLddLdGdLddBdFdBddBdErrrrrr 對于橢球面：BNGFME222cos 0 222222cos BdLNdBMdS第29頁/共144頁302

13、.2.4 橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)1）2、子午線弧長子午線微分弧長：MdBdS 積分得：21212322221sin11BBBBdBBeeaMdBS11112211119229117227115225113223112212221cossincossin cossincossincossincossin cossincossincossincossin cossincossin1BBBBGBBBBFBBBBEBBBBDBBBBCBBBBBarcBarcBAeaS用二項式展開，并逐項積分得：常數(shù) A、B、C、D、E、F、G的計算公式見教材第30頁/共144頁312.2.4 橢球面上

14、第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)2）對于小于400km的弧長，可采用以下簡化式。3331221241BdBSdBdBdSSSSmm其中：1221 21BBBBBBm根據(jù)： 33dBdSdBddBddBSdMdBdS求出導(dǎo)數(shù)，代入上式并化簡，得： 2cos812221BBeBMSmm對于小于40km的弧長，可進一步簡化為： 21BMSm第31頁/共144頁322.2.4 橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)3）已知B1和弧長S12求B2稱為反算，可采用疊代法計算。初值：1221021arcBAeaSarcB疊代格式： kBkkkSBSSBB22122121212其中： 1222812226122

15、24222222221cos82cossin cos62cossin cos42cossin cos22cossin2cos12BBBFBBBEBBBDBBBCBBAeaSkkkkkkkkkkBk mBSSk001. 022121要求：第32頁/共144頁332.2.4 橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)4）3、平行圈的半徑與弧長BeLLBaLLBNSBeBaBNrB2212122122sin1coscossin1coscos相同經(jīng)差的平行圈弧長在赤道最長，越靠近兩極越小。第33頁/共144頁342.2.4 橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)5）4、利用經(jīng)緯格網(wǎng)計算橢球面的面積LL+d

16、LBB+dBMdBNcosBdLd2222sin1cos1cosBeBdBdLeaBdBdLMNd21212222sin1cos1BBLLDBeBdBdLeadA第34頁/共144頁352.2.4 橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)6）上式利用二項式展開并積分，得：17276152541323212122sinsin74sinsin53 sinsin32sinsin1BBeBBeBBeBBLLeaA 取 L2-L1 = 2，B2 = /2，B1 = 0 算得半球面積，乘2可以估算全球面積約為5.1億平方公里第35頁/共144頁36習(xí) 題1、導(dǎo)出三種緯度 、u與B的關(guān)系。2、導(dǎo)出子午曲率半徑

17、M與卯酉曲率半徑N的計算公式。3、M、N、R的關(guān)系如何？在什么條件下三者相同？4、某點到赤道的子午弧長 ,求該點的緯度。 a=6378245, =1/298.35、已知某點的緯度 ,求該點自赤道起的子午弧長。 a =6378245, =1/298.32831.1628310B米193.3745682S第36頁/共144頁372.2.5 大地線1、大地線的定義與性質(zhì)法截?。河蓹E球面上A點的法線與B點所確定的法截面與橢球面相割得到的曲線稱為A到B的法截弧。相對法截?。?A到B的法截弧與B到A的法截弧。 由相對法截弧構(gòu)成的橢球面三角形不是閉合圖形。第37頁/共144頁382.2.5 大地線（續(xù)1）大

18、地線的定義：大地線的主法線與曲面法線處處重合。大地線的性質(zhì)：1、大地線上任何點的密切平面就是該點 的法截面； 2、曲面上連接任何兩點的最短直線必為 大地線。 3、大地線的測地曲率等于0曲線的測地曲率：曲線的曲率在曲面切平面上的投影。大地線的曲率：大地線的撓率ANNAMAkg2222cos11sincosAANAAMNgcossincossin112第38頁/共144頁392.2.5 大地線（續(xù)2）2、大地坐標(biāo)系中大地線的微分方程(1). 大地線的二階微分方程以u,v 為參數(shù)的一般曲面的大地線微分方程可表示為： 下標(biāo)為相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。 22 22 22 222222222322FEGEFEEFES

19、FEGFFFEGEFEGFEEGRFEGFFFGEGFEGFGGEQFEGGFGGFGPSdudvRdudvQdudvPduvduvuuvuuvvuvuvvuv第39頁/共144頁402.2.5 大地線（續(xù)3）對于橢球面，有：代入前面公式，得：則旋轉(zhuǎn)橢球面上大地線的微分方程為：BNGFME222cos 0 0 2 0 sincos222StVRQBBVP322222cossin2dBdLBBVdBdLVtdBLd第40頁/共144頁412.2.5 大地線（續(xù)4）(2). 克萊勞定理直角坐標(biāo)系中的橢球面方程：01222222bZaYaXF橢球面法向量為：222222bZaYaXZFYFXFN以大

20、地線弧長為參數(shù)的大地線主法線向量為：222222dSZddSYddSXdn兩者指向一致，即：222222222222dSZdbZdSYdaYdSXdaX第41頁/共144頁422.2.5 大地線（續(xù)5）由上式的前兩個方程得：CdSdYXdSdXYdSYdXdSXdY 02222積分得：將三維空間坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的關(guān)系式及微分式代入：dSdLLrLdSdrdSdYdSdLLrLdSdrdSdXLrLBNYLrLBNXBBBBBBcossin sincossinsincos coscoscos1代入 式，整理得：1CdSdLrB22第42頁/共144頁432.2.5 大地線（續(xù)6）將關(guān)系式：即：大地

21、線上各點的平行圈半徑與該點的大地線方位角正弦的乘積是常數(shù)。AdSdLrBsin代入上式，即得克萊勞定理：CArBsinBrdLrBAdSdAAMdBdL第43頁/共144頁442.2.5 大地線（續(xù)7）(3). 大地線的一階微分關(guān)系式BrdLrBAdSdAAMdBdLBNAdSdLAdSBdLNMAdSdBAdSMdBcossin sincoscos cos由克萊勞定理，微分得：BBBBBBdrrAdrArAdAAdArAdrtancossin:0cossin則第44頁/共144頁452.2.5 大地線（續(xù)8）又如圖所示：MdBdrBBMdBdrBsin代入上式，得：AdSNBdSMAABNB

22、AMABNBdBAMdAsintancoscoscossinsin coscossinsin三個微分關(guān)系式可整理為：ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintan cossin cos 3第45頁/共144頁462.2.5 大地線（續(xù)9）3、以弧長和大地方位角為參數(shù)的大地線方程 大地線始點坐標(biāo)P0(B0,L0)，大地線上任何點的位置向量都可以展開成S,A的級數(shù)形式： 5554443332221201241 6121sdsdsdsdsdsdsdsdsdsdsrrrrrrFrenet標(biāo)架的坐標(biāo)軸定義：x指向大地線的切向t， y指向大地線的主法向n，向內(nèi)為正， z指向大地線的副法向b，構(gòu)成左手

23、系。000,LBPASLBP,xyz4第46頁/共144頁472.2.5 大地線（續(xù)10）顯然有：dsdrt 根據(jù)曲線論中的Frenet公式：nbbtnntggggdSdkdSdkdSd 由以上兩式可求出各階導(dǎo)數(shù)：23223243242545 32gggggggggggggggggdkddddkkkkdSdSdSdSdSdkd kdkddkkkkdSdSdSdSdSdkdS rtrnntnbrtnbrt第47頁/共144頁482.2.5 大地線（續(xù)11） 將上式代入大地線展開式 ，得Frenet標(biāo)架下的三維坐標(biāo)：443423223254432224161241612112018161SdSdk

24、dSdkSkzSkkdSkdSdSdkSkySkSdSdkkSkSxgggggggggggggggg5ANNAMAkg2222cos11sincosAANAAMNgcossincossin112顧及公式：第48頁/共144頁492.2.5 大地線（續(xù)12）和：ANBdSdAMAdSdBsintan cos 求導(dǎo)得：ANAtdSdAAdSdBBdSdAtNdSdAdSdkAdSdBdSdkBdSkdANAtdSdAAkdSdBBkdSdkggggggggg22222232222222cos31sincos3cos1cos3 第49頁/共144頁502.2.5 大地線（續(xù)13）代入Frenet標(biāo)架

25、下的三維坐標(biāo)公式 ，得：542332242223322222544323222sin2412sin121cos231241 cos21cos12112018cos3cos161AStNASNzStANAStNSANySNSNAtSANSx第50頁/共144頁512.2.5 大地線（續(xù)14） 將坐標(biāo)系饒 y逆時針旋轉(zhuǎn)A，得x”、y”、z”坐標(biāo)系，則有：SA000, LBPLBP,xyzzx zyxAAAAzyxcos0sin010sin0cos 以P0點為原點的地平坐標(biāo)系(站心坐標(biāo)系) x、y、z，與x”、y”、z”坐標(biāo)系的關(guān)系為：A000, LBPLBP,xyzzxyyzzyxx 第51頁/共

26、144頁522.2.5 大地線（續(xù)15） 最后得到地平坐標(biāo)系（站心系）中的大地線方程，稱為Weingarten級數(shù)式。4222332222254432322254423232222cos231241 2coscos121120sin3cossin cos16sinsin120coscos8124 cos16coscosStANSNAtSANzSNASNAAtSANAASySNASANtSANAASx6第52頁/共144頁532.2.5 大地線（續(xù)16）法截弧為平面曲線，其撓率為0，同理可推得地平坐標(biāo)系中的計算式為：42223322222544323222544323222cos231241 2

27、coscos121120sin8cossin3 cos16sinsin120cos8cos3 cos16coscosStANSNAtSANzSNASNAAtSANAASySNASNAtSANAASx第53頁/共144頁542.2.5 大地線（續(xù)17）4、基于大地線的橢球面曲線坐標(biāo)系(1). 大地線極坐標(biāo)系大地圓：到極點具有相同大地線長 度的點所構(gòu)成的軌跡。 由大地線長度和大地方位角可描述曲面點的位置 。As,rAdAsdsmdAdS0P如圖所示：2222dAmdsdS對照第一基本形式，得：2 0 1mGFE由圖中的微分直角三角形，得大地極坐標(biāo)系中的微分關(guān)系式：sin1 sin1 cosdSdm

28、mdSdmdSdAdSds第54頁/共144頁552.2.5 大地線（續(xù)18）大地線的歸化長度 m 的計算公式：44233222120cos3161NSAtNSNSSm222AzAyAxGm由 式求出偏導(dǎo)數(shù)代入得：6第55頁/共144頁562.2.7以長度量為坐標(biāo)參數(shù)的新大地坐標(biāo)系(1)以長度量表示的橢球面上坐標(biāo)系的由來 早在1810年Soldner就提出了球面直角坐標(biāo)系統(tǒng) 。此后Helmert，Grossmann，Heck等德國測量學(xué)者基于Soldner球面直角坐標(biāo)系推廣提出了橢球面直角坐標(biāo)系。教材上所述的測地坐標(biāo)系與其有類似之處。第56頁/共144頁57(2)一種新型的大地坐標(biāo)系一種新型的

29、大地坐標(biāo)系2005年提出了橢球面上一種新型的大地坐標(biāo)系：它仍以經(jīng)緯線作為坐標(biāo)曲線，且與大地坐標(biāo)系之間能進行精確的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；它所采用的坐標(biāo)參數(shù)是以長度而不是以角度為單位；可簡化橢球面上的繁復(fù)計算。施一民，朱紫陽，范業(yè)明.坐標(biāo)參數(shù)為長度量的一種新型的大地坐標(biāo)系. 同濟大學(xué)學(xué)報，2005,33（11）: 1537-1540 第57頁/共144頁58新型大地坐標(biāo)系的定義為構(gòu)建新型的大地坐標(biāo)系,可在區(qū)域中心附近選擇一點作為其坐標(biāo)原點,其在大地坐標(biāo)系中的大地經(jīng)緯度設(shè)為（B0，L0）。兩族互為正交的經(jīng)緯線構(gòu)成坐標(biāo)系的坐標(biāo)格網(wǎng)。設(shè)過經(jīng)緯度為（B，L）的任一點的經(jīng)線與起始緯線的交點為PB0,點P至點PB0的經(jīng)線

30、上弧長作為縱坐標(biāo)sL,點P0至點PB0的緯線上弧長取為橫坐標(biāo)sB,如圖所示。第58頁/共144頁59新型大地坐標(biāo)系的定義（續(xù)）第59頁/共144頁60新型大地坐標(biāo)系的定義（續(xù)）過點P的緯線上的微分弧長ds與起始緯線上相應(yīng)的微分弧長ds之比n稱為按緯度變化方向的長度歸化因子 n= ds/ds在大地坐標(biāo)系中，與這兩個平行圈上微分弧長相應(yīng)的經(jīng)差dl 相等，故可精確求得 n= Nsin B/ N0sin B0式中N0，N分別為緯度B0，B處的卯酉線曲率半徑。基于微分幾何和橢球大地測量的理論，n可用新大地坐標(biāo)表示為(取至二次項) 202002/tan1NsNsBnLL第60頁/共144頁614.新型大地

31、坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系BBLBMdBsLLBNs0000cos第61頁/共144頁62習(xí) 題1. 緯度相同的兩個點的相對法截弧是否重合？此線是否就是大地線？2. 推導(dǎo)大地線的三個微分式。3. 試述測地坐標(biāo)系的定義？測地平行線是否等距？測地大地線是否等距？4. 簡述weingarten級數(shù)的推導(dǎo)步驟。第62頁/共144頁632.3 橢球面上大地坐標(biāo)的計算2.3.1 水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面1、水平方向觀測值歸算到參考橢球面的改正 包括三項改正，稱為三差改正。(1). 垂線偏差改正(2). 標(biāo)高差改正12121121cossinctgzAAu2221222cos2sin2HBAMeh)(

32、2sincos1089. 021222KmHABh用橢球半徑的近似值代入得：第63頁/共144頁642.3.1 水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面(3). 法截弧方向歸算到大地線方向的改正121222121212212122sincos12cossin6ABeNSAANSg 該項改正很小，100公里約0.03“，只有一等控制網(wǎng)才估計此項改正。第64頁/共144頁652.3.1 水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面2、空間邊長歸算至參考橢球面的改正 測線端點的大地高為：Dd1HS2H12AR21AR1P2PvhHihH222111橢球面上弦長 d 的計算公式211221212211AARHRHHHDd

33、省略H/R的二次項，得： 211221 211212122AAAmAmRRRHHHRHHHDd第65頁/共144頁662.3.1 水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面橢球面上的弧長為：Dd1HS2H12AR21AR1P2P2232122212223331241 2448222sin2AAmAAAAAARHHDRHHHDRddRdRdRRdRS第66頁/共144頁672.3.1 水平方向、邊長觀測值歸算到橢球面3. 工程控制網(wǎng)中的地面觀測元素的歸算 以平均高程面作投影面，范圍小，可以用球代替橢球；球半徑采用高斯平均曲率半徑。計算公式為：22321222122241 RHHDRHHHDSm不難證明：橢

34、球半徑的誤差對邊長歸算結(jié)果影響很小，R取6371km即可，但高差誤差對邊長歸算比較敏感。第67頁/共144頁682.3.2 橢球面上三角形解算1、球面角超AABBCC222222224224224RRFRRFRRF三塊面積之和為：FRFFF222代入球面角超定義式，得：2RF第68頁/共144頁692.3.2 橢球面上三角形解算按球面三角公式：222222222241sin213241sin21RcbaabRRcbaabF當(dāng)邊長小于40公里時，第二項影響小于0.0004“，可略去sin212abR第69頁/共144頁702.3.2 橢球面上三角形解算2、解算球面三角形的勒讓德定理勒讓德定理：對

35、于較小的球面三角形，可用平面三角公式來解算，只需使三個平面角等于相應(yīng)的球面角減去三分之一的球面角超，而邊長保持不變。ABCabccCbBaA3sin3sin3sin第70頁/共144頁712.3.3 大地主題解算大地主題解算分類：正算：已知(B1, L1)，A12，S12，計算(B2, L2)，A21反算：已知(B1, L1)， (B2, L2)， 計算A12，S12 ，A21短距離中距離長距離中短距離解算方法：按級數(shù)展開采用Gauss平均引數(shù)公式； 長距離解算方法：貝塞爾公式KmS120KmSKm400120KmS400第71頁/共144頁722.3.3 大地主題解算1、緯度差、經(jīng)度差和方位

36、角差展開為大地線長度的級數(shù)式626262303320220123033202201230332022012SdSAdSdSAdSdSdAAAaSdSLdSdSLdSdSdLLLlSdSBdSdSBdSdSdBBBb由大地線的微分公式，得其一階導(dǎo)數(shù)為：ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintan cossin cos 第72頁/共144頁732.3.3 大地主題解算二階和三階導(dǎo)數(shù)采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法計算：dSdAdSBdAdSdBdSBdBdSBddSdAdSdBAdSdBdSdBBdSBd22223322 同理可求出四階以上的導(dǎo)數(shù)和L、A的高階導(dǎo)數(shù)，代入展開式即可。第73頁/共144頁7

37、42.3.3 大地主題解算2、高斯平均引數(shù)公式若取大地線中點展開，得：4882488233322213332222SdSBdSdSBdSdSdBBBSdSBdSdSBdSdSdBBBMMMMMMMM兩式相減，得：111,LBP222,LBPMN12AMA2S2S2433312SdSBdSdSdBbBBMM類似地，有：2433312SdSLdSdSdLlLLMM243331221SdSAdSdSdAaAAMM1第74頁/共144頁752.3.3 大地主題解算兩式相加，得：8222SdSBdBBMMm類似地，有：8 ,8222222SdSAdAASdSLdLLMMmMMm其中：21212121 ,

38、21 ,21AAALL LBBBmmm將 展開成級數(shù)，得：MdSdBMmmMmmmMAAdSdBABBdSdBBdSdBdSdB2第75頁/共144頁762.3.3 大地主題解算由大地線的微分公式：mmmANVMAdSdBcoscos 2求導(dǎo)，得：ANVdSdBAAtMdSdBBmmmmmmmsin cos322mMmMdSAddSAddSBddSBd22222222 可取：代入 式，得 的計算公式。并取2MdSdBmMdSBddSBd3333代入 式，求出各階導(dǎo)數(shù)后整理得：1第76頁/共144頁772.3.3 大地主題解算2222222222221241cos3 232sin241cosmm

39、mmmmmmmmmmmttAtANSASNVBBb同理可得：222222221291cos sin241sincos1mmmmmmmmmmtAtANSASBNLLl4222222222125972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAAa以上3式具有4次方精度，可用于解算200公里下的大地主題。3第77頁/共144頁782.3.3 大地主題解算因計算Bm , Lm要用到B2 , L2，因此需要疊代計算。其初值為： 121112012110sintan21cos21ASBNAAASMBBmm疊代計算公式為： 2 2 12111kkmkkmaAAbBB直到 為

40、止。 10.00 10.000 11 kmkmAkmkmBAABB最后計算緯度、經(jīng)度和方位角：aAAlLLbBB12211212 第78頁/共144頁792.3.3 大地主題解算3、高斯平均引數(shù)反算公式由正算公式，反解得：222222222222241cos3 232sin24coscosmmmmmmmmmmmmmmttAStASNASNbVAS22222222291cossin24sincossinmmmmmmmmmmmtAStASNASBlNAS右端第二項與第一項相比為小量，可以作近似：mmmmmmBlNASNbVAScossin cos2第79頁/共144頁802.3.3 大地主題解算代

41、入上式第二項，得：3222222222824332coscosbtNblttBNVbNASmmmmmmmmmmmm32222224sincos9124coscossinlBBNlbtBNlBNASmmmmmmmmmmm由此可求得平均方位角和大地線長度如下：mmmmmAAS SASASAsinsin cossintan1第80頁/共144頁812.3.3 大地主題解算由正算公式的第三式，計算a：4222222222125972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAAa最后得起終點的大地方位角為：2 22112aAAaAAmm第81頁/共144頁822.3.3

42、 新大地主題解算4、新大地坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換(1). 由 （B,L）求解（sL ,sB） (2). 由（sL ,sB）求解（B,L）:B由下式迭代反解 而L由下式直接反解.BBLBMdBsLLBNs0000cosBBLMdBs0000cosLBNsLB000cosLBNsLB000cosLBNsLB000cosLBNsLB第82頁/共144頁832.3.4 大地主題微分公式1、大地主題正解微分公式 終點的經(jīng)緯度（B2,L2）和大地線方位角A21，與起點的經(jīng)緯度（B1,L1）和大地線方位角A12，以及大地線長度S的微分關(guān)系。121112211222121222122121221211

43、2212122sinsincostansin0cossincoscoscossin1tansinsincos0cosdAdSdLdBAALLRBABLLBRASBRABLLRASRAAAdAdLdB第83頁/共144頁842.3.4 大地主題微分公式2、大地主題反解微分公式 起點大地線方位角A12和大地線方位角A21，以及大地線長度S與起點和終點的經(jīng)緯度（B1,L1）和（B2,L2）的微分關(guān)系。21211211121121212121222122212121212221222121212112coscoscoscossinsincoscoscoscossinsinsincossincoscos

44、cosdLdLdBdBASBNASBNASMASMASBNASBNASMASMABNABNAMAMdAdAdS第84頁/共144頁85習(xí) 題1、地面觀測方向歸算到橢球面上需要加哪幾項改正？2、地面觀測距離歸算到橢球面上二步改正的幾何意義？3、 P1與P2與為控制點，已知：計算歸算到橢球面上的長度4、已知利用Gauss平均引數(shù)公式正反算。762.294175A ,814.249090953.2746115 ,3421.080040012120101mSLB,67.3950 ,46.4130 , 6 .0338 , 6 .542366 .8356 , 3 .2238 ,456.2867821020

45、210120111mHmHBAABmdPP第85頁/共144頁862.4 空間大地直角坐標(biāo)系及其轉(zhuǎn)換模型2.4.1 空間直角坐標(biāo)系與相應(yīng)大地坐標(biāo)系的關(guān)系1、X、Y、Z與B、L、H間的關(guān)系 空間坐標(biāo)系的定義：Z自轉(zhuǎn)軸，X位于赤道面，指格林尼治天文臺，Y指東，構(gòu)成右手系。大地坐標(biāo)的定義：B為過一點的橢球面的法線與赤道面交角、L為過同一點的子午面與起始子午面二面角的平面角，H為點沿法線到橢球面的距離。大地高與正高、正常高之間的關(guān)系：HNHHNXYZLBOPKPPQ第86頁/共144頁872.4.1 空間直角坐標(biāo)系與相應(yīng)大地坐標(biāo)系的關(guān)系如圖所示：XYZLBOPKPPQBeNLBNLBNZYXPPOsi

46、n1sincoscoscos2rBHLBHLBHHPPsinsincoscoscosnrBHeNLBHNLBHNZYXPPPOOPsin1sincoscoscos2rrr1第87頁/共144頁882.4.1 空間直角坐標(biāo)系與相應(yīng)大地坐標(biāo)系的關(guān)系2、由X、Y、Z計算B、L、H的迭代解法計算L：22arcsinarctanYXYXYL迭代計算B： 2221sinarctanYXBeNZBiii迭代初值為： 220arctanYXZB最后計算H：NBYXeNBZHsec1csc222第88頁/共144頁892.4.1 空間直角坐標(biāo)系與相應(yīng)大地坐標(biāo)系的關(guān)系3、X、Y、Z與B、L、H間的微分關(guān)系由前面

47、式微分得；1dHdLdBdHdLdBBBHMLBLBHNLBHMLBLBHNLBHMdZdYdXAJ sin0cossincoscoscossinsincoscossincoscossinBBLBLLBLBLLBsin0cossincoscossinsincoscossincossinA1000cos000BHNHMJ其中：對角陣第89頁/共144頁902.4.1 空間直角坐標(biāo)系與相應(yīng)大地坐標(biāo)系的關(guān)系顧及A是正交陣，J是對角陣，得：dZdYdXBLBLBBHNLBHNLHMBHMLBHMLBdZdYdXdZdYdXdHdLdBTsinsincoscoscos0coscoscossincossi

48、nsincossin 11AJAJ第90頁/共144頁912.4.1 空間直角坐標(biāo)系與相應(yīng)大地坐標(biāo)系的關(guān)系4、B、L、H與橢球元素a, e2 之間的微分關(guān)系若顧及橢球元素的變化，則前面的微分公式變?yōu)椋?dedadHdLdBdZdYdXBAJ其中：222222222coscossin12sincossinsincos2coscossincoscosWBWBNaBeNWLBBNaLBNWLBBNaLBNB第91頁/共144頁922.4.1 空間直角坐標(biāo)系與相應(yīng)大地坐標(biāo)系的關(guān)系由上式可得：211dedadZdYdXdHdLdBTTBAJAJ 若空間坐標(biāo)系的原點和坐標(biāo)軸指向保持不變，即橢球的定位與定向

49、不變，則：0dZdYdX第92頁/共144頁932.4.1 空間直角坐標(biāo)系與相應(yīng)大地坐標(biāo)系的關(guān)系上式簡化成大地坐標(biāo)與橢球元素間的微分關(guān)系：222222212sin002sin2sincossincos dedaBNWHMWBeBBNHMWBBededadHdLdBTBAJ第93頁/共144頁942.4.2 空間直角坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換 兩個右手旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)角，取逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負，旋轉(zhuǎn)矩陣為正交陣，可表示為：XXXXXXcossin0sincos0001RYYYYYYcos0sin010sin0cosR1000cossin0sincosZZZZZZR第94頁/共144頁95

50、2.4.2 空間直角坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換方法一：XYZXYZOX Y Y 將X、Y、Z轉(zhuǎn)換到X、Y 、 Z 坐 標(biāo) 系 ：先繞Z將X旋轉(zhuǎn)到XOY平面與XOY平面的交線X” ，再繞X” 軸將Z旋轉(zhuǎn)到Z軸，最后再繞Z軸，將X” 旋轉(zhuǎn)到X軸方向。由于三坐標(biāo)軸的正交關(guān)系，經(jīng)最后一次旋轉(zhuǎn)的Y ” 必 位 于 Y 軸 上 。 第95頁/共144頁962.4.2 空間直角坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換坐標(biāo)變換公式為：XYZXYZOX Y Y ZYXZYXZZXXZZ12RRR12ZZXXZZ RRRR旋轉(zhuǎn)矩陣：是正交矩陣。第96頁/共144頁972.4.2 空間直角坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換若、分別表示X與X和Y與Y之間的

51、夾角，則有：XZZZZXZZZZcossinsincoscoscoscoscoscossinsincos21212121若表示Z與Z之間的夾角，則有：Xcoscos第97頁/共144頁982.4.2 空間直角坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換方法二：XYZXYZ OX Y ZYZXZXY將X、Y、Z轉(zhuǎn)換到X、Y 、 Z 坐 標(biāo) 系 ：先繞X將Y旋轉(zhuǎn)到Y(jié)OZ平面與YOZ平面的交線Y” ，再繞Y” 軸將Z ”旋轉(zhuǎn)到Z軸，最后再繞Z軸，將X” 旋轉(zhuǎn)到X軸方向。由于三坐標(biāo)軸的正交關(guān)系，經(jīng)最后一次旋轉(zhuǎn)的Y”必 位 于 Y 軸 上 。 第98頁/共144頁992.4.2 空間直角坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換坐標(biāo)變換公式為： Z

52、YXZYXXXYYZZRRRXXYYZZ RRRR其中，旋轉(zhuǎn)矩陣：是正交矩陣。XYZXYZ OX Y ZYZXZXY第99頁/共144頁1002.4.2 空間直角坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換 若、 分別表示X與X、Y與Y和Z與Z之間的夾角，則有：YXZYXZXZYcoscoscoscossinsincoscoscoscoscoscos第100頁/共144頁1012.4.2 空間直角坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是小角度時，可略去其二次項，取：1cos ,sin111XYXZYZR旋轉(zhuǎn)矩陣簡化為：ZYXZYXXYXZYZ111坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型簡化為：第101頁/共144頁1022.4.2 空間直角坐標(biāo)系之間的

53、旋轉(zhuǎn)變換當(dāng)旋轉(zhuǎn)角較大時,因旋轉(zhuǎn)矩陣是正交陣，滿足條件：IRR T若：333231232221131211rrrrrrrrrR則根據(jù)正交條件，得：111000233232231223222221213212211332332223121331332123111231322122111rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr第102頁/共144頁1032.4.2 空間直角坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)矩陣中只有5個獨立未知數(shù)。在進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時，可以直接以旋轉(zhuǎn)矩陣中的9個元素為未知數(shù)，加上6個約束條件直接解算。求得旋轉(zhuǎn)矩陣元素后，進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，不必解算旋轉(zhuǎn)角。 這樣可避免大旋轉(zhuǎn)角時，線性化

54、過程的復(fù)雜形式。第103頁/共144頁104 習(xí) 題1、若采用克拉索夫斯基橢球，已知大地坐標(biāo)： 計算三維空間坐標(biāo)，并反算檢核。2、在上題中，大地經(jīng)緯度和大地高分別變化了 用微分公式計算三維空間坐標(biāo)的變化量。3、在球近似下，給出球心經(jīng)緯度和高程與三維空間坐標(biāo)的微分關(guān)系式。4、若要求相對誤差小于10-7，則當(dāng)旋轉(zhuǎn)角超過多少時，不能采用略去二次項的線性近似。mHLB391.108 4015.5013121 ,1283.16823100 mHLB53 . 02 . 0 第104頁/共144頁1052.4 空間大地直角坐標(biāo)系及其轉(zhuǎn)換模型2.4.3 站心地平坐標(biāo)系及其應(yīng)用1、站心地平直角坐標(biāo)系與空間大地直

55、角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系定義：站心點的法線為z軸，向上為正在地平面上以子午線方向為x軸，y與x、z軸正交，指向以東為正。O000, LBPxzyXYZLBPKQ 將站心坐標(biāo)軸 xyz 變換成與空間坐標(biāo)系的指向一致，需要如下幾步：(1). z 坐標(biāo)軸反向；(2). 繞y軸90。+B；(3). 繞z軸旋轉(zhuǎn)-L。第105頁/共144頁1062.4.3 站心地平坐標(biāo)系及其應(yīng)用 將站心系坐標(biāo)軸變換到與三維空間直角坐標(biāo)軸指向一致時的旋轉(zhuǎn)矩陣為：O000, LBPxzyXYZLBPKQ000000000000000sin0cossincoscossinsincoscossincossin 10001000190B

56、BLBLLBLBLLBBLyzRRR顧及，站心系原點在空間坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：002000000000sin1sincoscoscos000BHeNLBHNLBHNZYXPPP第106頁/共144頁1072.4.3 站心地平坐標(biāo)系及其應(yīng)用則，站心系坐標(biāo)到空間直角坐標(biāo)系的變換公式為：zyxBBLBLLBLBLLBBHeNLBHNLBHNzyxZYXZYXPPP000000000000002000000000sin0cossincoscossinsincoscossincossin sin1sincoscoscos 000R第107頁/共144頁1082.4.3 站心地平坐標(biāo)系及其應(yīng)用由上式得，空間

57、直角坐標(biāo)系到站心系的變換公式為：000000 sinsincoscoscos0cossincossinsincossin 000000000000PPPPPPTZZYYXXBLBLBLLBLBLBZZYYXXzyxR第108頁/共144頁1092.4.3 站心地平坐標(biāo)系及其應(yīng)用2、站心極坐標(biāo)系與站心地平直角坐標(biāo)系的關(guān)系定義：以站心系原點到點的空間距離、方位角和天頂距為坐標(biāo)參數(shù)來確定三維點位，稱為站心極坐標(biāo)系。zxyoAZDPZDAZDAZDzyxcossinsincossin由上式，得：ZzZAyAxzAyAxxyDZAcossinsincossincosarctanarctan第109頁/共

58、144頁1102.4.3 站心地平坐標(biāo)系及其應(yīng)用也可以用以下公式計算：22222arctanarctanzyxzyxxyDZA 公式中的天頂距和方位角都歸算到以法線為基準。測量時以垂線為基準的，需要作垂線偏差改正。改正公式下面將講到。第110頁/共144頁1112.4.3 站心地平坐標(biāo)系及其應(yīng)用3、空間直角坐標(biāo)系與站心地平直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矢量之間的關(guān)系 若x、y和z為空間坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矢量， x、 y和z為站心坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矢量。顧及旋轉(zhuǎn)矢量是平移不變量，旋轉(zhuǎn)關(guān)系與坐標(biāo)矢量相同。zyxZYXBBLBLLBLBLLB000000000000sin0cossincoscossinsincoscossi

59、ncossin第111頁/共144頁1122.4.3 站心地平坐標(biāo)系及其應(yīng)用4、站心地平直角坐標(biāo)系的應(yīng)用(1). 計算基線向量的大地方位角ZBYLXLBXLYLxyA00000011cossincossinsincostantan其中，B0,L0為基線始端的緯度和經(jīng)度。(2). 繞站心系坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)向量有特殊意義yx z 為方位旋轉(zhuǎn)角。因涉及大地方位角起始方向的變動第112頁/共144頁1132.4.3 站心地平坐標(biāo)系及其應(yīng)用(4). 計算衛(wèi)星的高度角和方位角 衛(wèi)星Q的方位角和高度角可用其站心坐標(biāo)xQ、yQ計算。QQQQQQQQQAyAxzxyAsincosarctanarctan第113頁/

60、共144頁1142.4.4 兩個空間大地直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換模型1、Bursa - Wolf 模型 轉(zhuǎn)換參數(shù)包括三個平移參數(shù)、三個旋轉(zhuǎn)參數(shù)與一個尺度參數(shù)。 iiiZYXiiiZYXZYXZYX,1000R R為前面所述的旋轉(zhuǎn)矩陣。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為小角度時，上式可簡化為：iiiXYXZYZiiiZYXZYXZYX1111000XYZZYXOO第114頁/共144頁1152.4.4 兩個空間大地直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換模型 略去尺度參數(shù)和旋轉(zhuǎn)參數(shù)的乘積項，上式可進一步簡化為：iiiYYXiiiiiiiiiiiiiiiXYXZYZiiiiiiZYXXYXZYZZYXZYXZYXZYXZYXZYXZYX000 00