《信號(hào)與系統(tǒng)》第五章講稿

1、第五章 傅里葉變換應(yīng)用于通信系統(tǒng) 濾波、調(diào)制與解調(diào)5.1 系統(tǒng)的頻域分析一 系統(tǒng)響應(yīng)的付氏變換解法利用卷積定理，可以分析信號(hào)在系統(tǒng)中的傳輸。設(shè)輸入信號(hào)為e(t),系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為： r(t) = e(t) * h(t)令 e(t) Û E(w)h(t)Û H(w)由時(shí)域卷積定理得r(t)的付氏變換為： R(w) = H(w)×E(w)1. 系統(tǒng)函數(shù) 在頻域分析中，將激勵(lì)用其頻譜函數(shù)表示，系統(tǒng)用頻率特性表示，則系統(tǒng)的輸出信號(hào)頻譜函數(shù)就是激勵(lì)的頻譜與系統(tǒng)頻率特性的乘積。系統(tǒng)的功能相當(dāng)于一個(gè)頻譜變換器。H(w)一般是w的復(fù)函數(shù)，可以表示為：

2、 2. 系統(tǒng)函數(shù)的求法：a) h(t) Û H(w)b) 從微分方程求得 對(duì)上式取付氏變換： c) 從電路模型直接寫出H(w)：A： R iR(t) + - uR(t)B： C iC(t) + - uC(t) C： L iL(t) + - uL(t) 例5-1：如圖5-1，求h(t) R + u1(t) C u2(t) - 圖5-1解：將上圖轉(zhuǎn)換成付氏變換形式： R U1(w) I(w) C U2(w)例5-2：求階躍信號(hào)作用于圖5-2所示RC網(wǎng)絡(luò)的零狀態(tài)響應(yīng)uR( t ) C + + u(t) R uR(t)- -圖5-2 RC網(wǎng)絡(luò) 從以上兩個(gè)例子可以看出，利用傅里葉變換形式的系統(tǒng)

3、函數(shù)H(jw)從頻譜改變的觀點(diǎn)解釋了激勵(lì)與響應(yīng)波形的差異，物理 概念比較清楚，但求解過(guò)程不如拉普拉斯變換方法簡(jiǎn)便。引出H(jw)的重要意義在于研究信號(hào)傳輸?shù)幕咎匦?、建立濾波器的基本概念并理解頻響特性的物理意義以下兩節(jié)研究這方面的問(wèn)題。這些理論內(nèi)容在信號(hào)傳輸和濾波器設(shè)計(jì)等實(shí)際問(wèn)題中具有十分重要的指導(dǎo)意義。3傳輸函數(shù)H(jw)可實(shí)現(xiàn)的條件（1） 在時(shí)域中必須滿足當(dāng)t < 0時(shí)，h( t ) = 0，即系統(tǒng)必須是因果系統(tǒng)。（2） 在頻域中，其必要條件是½ H(jw)½¹ 0，即必須滿足佩利維納準(zhǔn)則： 見書P2805.2 信號(hào)的無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用是多種多

4、樣的，如放大、濾波、時(shí)延、移相等。其中，使信號(hào)盡可能不失真地傳輸則是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要問(wèn)題。線性系統(tǒng)引起的信號(hào)失真由兩方面因素造成：一是系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減，使響應(yīng)各頻率分量的相對(duì)幅度產(chǎn)生變化，引起幅度失真；二是系統(tǒng)各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時(shí)間軸上的相對(duì)位置產(chǎn)生變化，引起相位失真。 線性系統(tǒng)的幅度失真與頻率失真都不產(chǎn)生新的頻率分量，而對(duì)于非線性系統(tǒng)則由于其非線性特性對(duì)于所傳輸?shù)男盘?hào)產(chǎn)生非線性失真，非線性失真可能產(chǎn)生新的頻率分量。 e ( t ) 無(wú)失真?zhèn)鬏?r ( t ) 系統(tǒng)H( w ) = Ke( t -t0) 圖5-3 系統(tǒng)的無(wú)失真?zhèn)鬏?/p>

5、框圖 信號(hào)的無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵篙斎胄盘?hào)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度大小與出現(xiàn)時(shí)間先后的不同，而波形形狀不變。如圖5-3所示，若輸入信號(hào)為e( t )，經(jīng)系統(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏敽螅漭敵鲂盘?hào)應(yīng)為： r( t ) = K×e( t -t0) 式中K為一常數(shù)，t0為信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)所產(chǎn)生的延時(shí)。對(duì)上式取付氏變換，由時(shí)移特性得： 由此得無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（頻率特性）為： e( t ) r( t ) 0 t 0 t0 t ( a ) 輸入輸出波形 ½H(w)½ j(w) K 0 w 0 j(w) w = -wt0 圖5-4 ( b ) r ( t ) 的幅度譜及相位譜

6、 上式表明：系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行無(wú)失真?zhèn)鬏敃r(shí)應(yīng)滿足兩個(gè)條件：一是系統(tǒng)的幅頻特性在整個(gè)頻率范圍（-¥<w<+¥）內(nèi)應(yīng)為常量；二是系統(tǒng)的相頻特性是一通過(guò)原點(diǎn)的直線。 實(shí)際的線性系統(tǒng)，其幅頻特性和相頻特性都不可能完全滿足不失真?zhèn)鬏敆l件。當(dāng)系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量產(chǎn)生不同程度的衰減，使信號(hào)的幅度頻譜改變時(shí)，就會(huì)造成幅度失真；當(dāng)系統(tǒng)對(duì)信號(hào)中各頻率分量產(chǎn)生的相移與頻率不成正比時(shí)，就會(huì)使信號(hào)的相位頻譜改變，造成相位失真。工程上，只要在信號(hào)占有的頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻與相頻特性二者基本上滿足不失真?zhèn)鬏敆l件時(shí)，就可以認(rèn)為是無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)了。作業(yè)：書P309習(xí)題5-1，5-25.3 理想低

7、通濾波器一 理想低通的頻域特性及其沖激響應(yīng)若系統(tǒng)能讓某些頻率的信號(hào)通過(guò)，而使其他頻率的信號(hào)受到抑制，這樣的系統(tǒng)就稱為濾波器。若系統(tǒng)的幅頻特性½H(jw)½在某一頻帶內(nèi)保持為常數(shù)而在該頻帶外為零，相頻特性j(w)始終為過(guò)原點(diǎn)的一條直線，則這樣的系統(tǒng)就稱為理想濾波器。理想低通濾波器的定義：若系統(tǒng)函數(shù)H(jw)滿足 則稱此系統(tǒng)為理想低通濾波器。其中t0為實(shí)常數(shù)；wc為截止頻率，稱為理想低通濾波器的通頻帶，簡(jiǎn)稱頻帶。 ½H(jw)½ j(w) -wc 0 wc w 0 j(w) w = -wt0圖5-5 具有矩形幅度特性和線性相移特性的理想低通濾波器網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的表

8、示式為：對(duì)H(jw)進(jìn)行傅里葉逆變換，即可求得網(wǎng)絡(luò)的沖激響應(yīng)： 由圖5-6可以看出：理想低通濾波器是非因果系統(tǒng)，激勵(lì)信號(hào)d( t )在 t = 0時(shí)刻加入，而響應(yīng)在t為負(fù)值時(shí)卻已出現(xiàn)，這在工程實(shí)際中不可能實(shí)現(xiàn)，但仍具有理論價(jià)值。 d( t )0 t h( t ) 0 t0 t p/w0 圖5-6 輸入輸出波形二 理想低通的階躍響應(yīng) 法一：理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為： 則理想低通濾波器的階躍響應(yīng)為： 法二：已知理想低通濾波器的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為 階躍信號(hào)的傅里葉變換為： 取R(jw)的傅里葉逆變換得： 作業(yè)：書P310習(xí)題5-4、5-9 P311習(xí)題5-10（選做）5.4 調(diào)制與解調(diào) 信息源 調(diào)制器 信

9、道 解調(diào)器 受信者 噪聲源圖5-7 模擬通信系統(tǒng)模型如圖5-7所示的模擬通信系統(tǒng)需要包含兩種重要變換。首先，發(fā)送端的連續(xù)消息要變換成原始電信號(hào)，接收端恢復(fù)的原始電信號(hào)要變換成連續(xù)消息。這里所說(shuō)的原始電信號(hào)，由于它具有頻率較低的頻譜分量，一般不能直接作為傳輸信號(hào)。因此，模擬通信系統(tǒng)里常有第二種變換：將原始電信號(hào)轉(zhuǎn)換成其頻帶適合信道傳輸?shù)男盘?hào)，并在接收端進(jìn)行相反變換。這個(gè)變換在通信術(shù)語(yǔ)中稱為調(diào)制與解調(diào)。經(jīng)過(guò)調(diào)制后的信號(hào)稱為已調(diào)信號(hào)，它具有兩個(gè)基本特性：一是攜帶有消息，二是適應(yīng)在信道中傳輸。我們將發(fā)送端調(diào)制前和接收端解調(diào)后的信號(hào)稱為基帶信號(hào)。所以，原始電信號(hào)就是一種基帶信號(hào)，而已調(diào)信號(hào)就不能算是基帶

10、信號(hào)了。調(diào)制與解調(diào)的作用在于通過(guò)某種方式將信號(hào)頻譜由一個(gè)頻率位置搬移到另一個(gè)頻率位置上。然而，調(diào)制與解調(diào)技術(shù)雖是一種頻譜搬移技術(shù)，但是，一般的頻譜搬移技術(shù)并不就是調(diào)制與解調(diào)。這是因?yàn)檎{(diào)制與解調(diào)的使命是要傳送消息。而一般的頻譜搬移技術(shù)卻不受這個(gè)限制。所謂調(diào)制，就是按調(diào)制信號(hào)的變化規(guī)律去改變載波某些參數(shù)的過(guò)程。調(diào)制方法：（1） 用正弦型高頻信號(hào)作為載波的正弦波調(diào)制。正弦波調(diào)制又分為模擬調(diào)制方式和數(shù)字調(diào)制方式。所謂模擬調(diào)制就是調(diào)制信號(hào)為連續(xù)型的正弦波調(diào)制；而數(shù)字調(diào)制則是調(diào)制信號(hào)為數(shù)字型的正弦波調(diào)制。（2） 用脈沖串或一組數(shù)字信號(hào)作為載波的脈沖調(diào)制。對(duì)于脈沖調(diào)制，通常也可分為兩種方式：用連續(xù)的調(diào)制信號(hào)

11、去改變脈沖載波參數(shù)的脈沖無(wú)編碼調(diào)制（簡(jiǎn)稱脈沖調(diào)制）；用連續(xù)的調(diào)制信號(hào)的數(shù)字化形式（通過(guò)模數(shù)變換）去形成一系列脈沖組的脈沖編碼調(diào)制。下面應(yīng)用傅里葉變換的某些性質(zhì)說(shuō)明搬移信號(hào)頻譜的原理。1. 調(diào)制設(shè)：載波信號(hào)為Cos(w0t)，它的傅里葉變換為： FCos(w0t) = pd(w + w0) + d(w - w0)若調(diào)制信號(hào)g( t )的頻譜為G(w)，占據(jù)的有限帶寬為-wm，wm，如圖5-8（b）所示，將g( t )與Cos(w0t)進(jìn)行時(shí)域相乘，如圖5-8（a），即可得到已調(diào)信號(hào)f( t )，根據(jù)卷積定理可以求得已調(diào)信號(hào)的頻譜F(w)。 g( t ) g( t )Cos(w0t) 相乘 Cos

12、(w0t) 圖5-8（a） 調(diào)制原理方框圖 G(w) 1 -wm 0 wm w 1 -w0 0 w0 w F(w) 1/2 -w0 w0-(w0+wm) -(w0-wm) 0 (w0-wm) (w0+wm) w 圖5-8( b ) 調(diào)制頻譜圖2. 解調(diào)由已調(diào)信號(hào)f( t )恢復(fù)原始信號(hào)g( t )的過(guò)程稱為解調(diào)，如圖5-9( a )所示為實(shí)現(xiàn)解調(diào)的一種原理方框圖。g( t )Cos(w0t) g0( t ) g( t ) 相乘 低通 Cos(w0t) 圖5-9( a ) 同步解調(diào)原理方框圖圖5-9( a )中的Cos(w0t)信號(hào)是接收端的本地載波信號(hào)，它與發(fā)送端的載波同頻同相。f( t )

13、= g( t )Cos(w0t)與Cos(w0t)相乘，所得頻譜為G0(w)，接著再用一個(gè)帶寬大于wm，小于2w0-wm的低通濾波器濾除在頻率2w0附近的分量，即可取出g( t )，完成解調(diào)任務(wù)。 F(w) 1/2 -w0 w0 w 1 -w0 0 w0 w G0(w) 1/2 1/4 -2w0 -wm 0 wm 2w0 w 1/2G(w) 1/2 -wm 0 wm w 圖5-9( b ) 解調(diào)頻譜圖5.5 脈沖編碼調(diào)制（PCM） PCM通信概念：1 脈沖幅度調(diào)制信號(hào)：利用脈沖序列對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行抽樣產(chǎn)生的信號(hào)。這一過(guò)程的實(shí)質(zhì)是把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為脈沖序列，而每個(gè)脈沖的幅度與各抽樣點(diǎn)信號(hào)的幅度成正比

14、。2 PCM通信：將模擬信號(hào)變換成數(shù)字信號(hào)進(jìn)行傳送的一種通信方式。脈碼調(diào)制的過(guò)程如下圖所示。 x(t) x(n) 模擬信源 預(yù)濾波器 抽樣器 波形編碼器 發(fā)送端 量化 編碼 數(shù)字通道 接收端 模擬終端 重建濾波器 波形解碼器 抽樣保持、x/sinx低通圖5-10 PCM原理圖3 實(shí)現(xiàn)PCM通信的三個(gè)最為基本的過(guò)程：抽樣、量化和編碼。4 抽樣：以固定的時(shí)間間隔T，分別抽出模擬信號(hào)的瞬時(shí)幅度值（簡(jiǎn)稱樣值）；即將連續(xù)時(shí)間模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間連續(xù)幅度的抽樣信號(hào)。若抽樣頻率不小于模擬信號(hào)最高頻率的兩倍，則抽樣后的樣值波形只需通過(guò)低通濾波器即可恢復(fù)出原始的模擬信號(hào)波形。5 量化：將離散時(shí)間連續(xù)幅度的抽樣

15、信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間離散幅度的數(shù)字信號(hào)。6 編碼：用一組組合方式不同的二進(jìn)制碼來(lái)代替量化后的樣值信號(hào)的處理過(guò)程。國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化的PCM碼組（電話語(yǔ)音）是八位碼組代表一個(gè)抽樣值。從通信中的調(diào)制概念來(lái)看，可以認(rèn)為PCM編碼過(guò)程是模擬信號(hào)調(diào)制一個(gè)二進(jìn)制脈沖序列，載波是脈沖序列，調(diào)制改變脈沖序列的有無(wú)或“1”、“0”，所以PCM稱為脈沖編碼調(diào)制。編碼后的PCM碼組，經(jīng)數(shù)字信道傳輸，可以是直接的基帶傳輸或者是微波、光波載頻調(diào)制和的通帶傳輸。在接收端，二進(jìn)制碼組反變換成重建的模擬信號(hào)。在解調(diào)過(guò)程中，一般采用抽樣保持電路，所以低通濾波器均采用型頻率響應(yīng)以補(bǔ)償抽樣保持電路引入的頻率失真。預(yù)濾波是為了把原始語(yǔ)音信號(hào)的

16、頻帶限制在300 3400Hz標(biāo)準(zhǔn)的長(zhǎng)途模擬電話的頻帶內(nèi)。由于原始語(yǔ)音頻帶是40 10000Hz左右，所以預(yù)濾波會(huì)引入一定的頻帶失真。整個(gè)PCM系統(tǒng)中，重建信號(hào)的失真主要來(lái)源于量化以及信道傳輸誤碼。通常，用信號(hào)與量化噪聲的功率比，即信噪比S/N來(lái)表示。國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化的PCM符合長(zhǎng)途電話質(zhì)量。PCM的優(yōu)點(diǎn)：（1） 噪聲不會(huì)積累，可以將噪聲影響壓低到相當(dāng)滿意的水平。（2） 當(dāng)組合信源傳輸時(shí)具有很好的靈活性。無(wú)論是語(yǔ)音信號(hào)、圖像信號(hào)、數(shù)據(jù)信號(hào)經(jīng)脈沖編碼調(diào)制之后都可成為統(tǒng)一形式的二進(jìn)制數(shù)碼流，它們可以靈活地交織在一起通過(guò)同一系統(tǒng)進(jìn)行傳輸。例5-3：若采用8位二進(jìn)制碼來(lái)形成PCM信號(hào)，問(wèn)傳輸一路電話（話音）

17、信號(hào)，所需傳輸速率為多少？解：話音信號(hào)的頻帶為300 3400Hz，為留余量，取上限頻率為4000Hz，則抽樣頻率至少為其2倍，即8000Hz（T=125ms），在125ms 時(shí)間間隔內(nèi)要容納8個(gè)二進(jìn)制碼，每個(gè)二進(jìn)制碼所占時(shí)間須為125/8ms ，也就是說(shuō)，傳輸速率為其倒數(shù)，等于64Kb/s。所以，以后一提到64Kb/s信息，就應(yīng)反應(yīng)出這是一路電話信號(hào)。5.6 頻分復(fù)用與時(shí)分復(fù)用多路復(fù)用：將若干路信號(hào)以某種方式匯合，統(tǒng)一在同一信道中傳輸。兩種多路復(fù)用形式：頻分復(fù)用與時(shí)分復(fù)用。按頻率分割信號(hào)的方法叫頻分復(fù)用（FDM）；按時(shí)間分割信號(hào)的方法叫時(shí)分復(fù)用（TDM）。l 在頻分復(fù)用中，信道的可用頻帶被分成若干互不交疊的頻段，每路信號(hào)占據(jù)其中一個(gè)頻段，因而可以用適當(dāng)?shù)臑V波器將它們分割開來(lái)，分別解調(diào)接收。頻分復(fù)用的原理方框圖見書P303圖5-31。頻分復(fù)用實(shí)例：載波電話系統(tǒng)、廣播電視及立體聲廣播。l 時(shí)分復(fù)用的主要特點(diǎn)是利用不同時(shí)隙來(lái)傳送各路不同信號(hào)。見書P304圖5-32。TDM的方法的優(yōu)點(diǎn)：（1） 多路信號(hào)的匯合與分路都是數(shù)字電路，比FDM的模擬濾波器分路簡(jiǎn)單、可靠。（2） 信道的非線性會(huì)在FDM系統(tǒng)中產(chǎn)生交調(diào)失