第二講向量的距離與夾角余弦

1、3/381. 向量的數(shù)量積，矢量積向量的數(shù)量積，矢量積),.,();,.,(2121nnyyyxxx 設(shè)設(shè)例如：例如：a=1,2,3, b=-1,5,6,c=1,0,1則則 matlab 中數(shù)量積中數(shù)量積:dot(a,b);矢量積矢量積:cross(a,b)dot(a,b)=27, cross(a,c)=(2,2,- -2)解：解： a,b,c 的混合積為：的混合積為：dot(a,cross(b,c)練習(xí)：計(jì)算練習(xí)：計(jì)算a,b,c 的混合積的混合積)(cba 4/381）matlab 中向量中向量 a 的范數(shù)為：的范數(shù)為：norm(a) niinxanormxxxa1221)(),.,(則則若

2、若例例1 a=1,2,3, b=-1,5,6,c=1,0,1, 求求a,b的范數(shù)的范數(shù) 解：解：norm(a)= 3.7417 , norm(b)=7.8740 練習(xí)：練習(xí)：對(duì)例對(duì)例1計(jì)算：計(jì)算：a,b夾角的余弦夾角的余弦dot(a/norm(a),b/norm(b)解法二：解法二： dot(a,b)/norm(a)/norm(b)解法一：解法一：=0.9164思考：思考：a,b,c三個(gè)向量那兩個(gè)更接近？三個(gè)向量那兩個(gè)更接近？ 事實(shí)上，范數(shù)的平方事實(shí)上，范數(shù)的平方=向量向量 a自身的數(shù)量積自身的數(shù)量積2.2.矩陣的范數(shù)與向量的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣的范數(shù)與向量的標(biāo)準(zhǔn)化5/38如例如例1 a=1,2,3,

3、b=-1,5,6,c=1,0,1, 求求a,b ,c之之間的夾角余弦間的夾角余弦解：輸入解：輸入:a=a;b;c;b=1-pdist(a, cosine)輸出結(jié)果為輸出結(jié)果為:b = 0.9164 0.7559 0.4490 計(jì)算向量之間夾角的余弦還可以用命令計(jì)算向量之間夾角的余弦還可以用命令:b=1-pdist(a,cosine)計(jì)算矩陣計(jì)算矩陣a a的行向量之間的夾角余弦的行向量之間的夾角余弦 6/382) 矩陣的范數(shù)有以下幾種：矩陣的范數(shù)有以下幾種：(1) n = norm(a) 矩陣矩陣a的普范數(shù)的普范數(shù)(2范數(shù)范數(shù)), = aa的最大特征值的算術(shù)根的最大特征值的算術(shù)根 . (2) n

4、 = norm(a,1) 矩陣矩陣a的列范數(shù)（的列范數(shù)（1-范數(shù)）范數(shù)） 等等 于于a的最大列之和的最大列之和. (3)n = norm(a,inf) 矩陣矩陣a的行范數(shù)的行范數(shù)(無窮大范數(shù)無窮大范數(shù)) 等于等于a的最大行之和的最大行之和. (4)n = norm(a, fro ) 矩陣矩陣a的的frobenius范數(shù)范數(shù).()2iji,j=1n aa 記為：記為：7/38 3) 方陣的譜半徑：方陣的譜半徑：方陣方陣a的特征值的絕對(duì)值之最大值稱為的特征值的絕對(duì)值之最大值稱為a的的譜半徑譜半徑 記為：記為：()max|ia 163053064a例例3.求矩陣求矩陣 的譜半徑的譜半徑 (a)2 由

5、由eig(a)知矩陣知矩陣a的特征值分別為的特征值分別為1,-2,1。8/38例例3. 將矩陣將矩陣 的行向量與列向量標(biāo)準(zhǔn)化的行向量與列向量標(biāo)準(zhǔn)化 087654321a解：解：a=1,2,3;4,5,6;7,8,0;b=normr(a)，c=normc(a)也可以輸入命令：也可以輸入命令：b(1)=norm(a(1,:); b(2)=norm(a(2,:); b(3)=norm(a(3,:); c=b*ones(1,3); b=a./c4）矩陣的行向量、列向量標(biāo)準(zhǔn)化的命令：）矩陣的行向量、列向量標(biāo)準(zhǔn)化的命令：normr(a)，normc(a)（normr(a)表示將矩陣每一行除以該行的范數(shù)）表

6、示將矩陣每一行除以該行的范數(shù)）什么意思什么意思?求出求出a矩陣個(gè)各行的矩陣個(gè)各行的范數(shù)范數(shù),轉(zhuǎn)置后變?yōu)檗D(zhuǎn)置后變?yōu)?*1階矩陣階矩陣,9/38nr n維歐氏空間維歐氏空間:設(shè)設(shè) 表示表示n維向量維向量的全體所組成的集合，稱為的全體所組成的集合，稱為n維歐氏空間維歐氏空間12(,.,)nxxx1212(,.,);(,.,)nnxxxyyy 稱為稱為 與與 的的歐氏距離歐氏距離 1( ,)|niiidxy 稱為稱為 與與 的的絕對(duì)距離絕對(duì)距離 21( ,)()niiidxy 如果如果2.常見的向量距離常見的向量距離10/38閔可夫斯基距離閔可夫斯基距離：rniriiyxd/11|),( 當(dāng)當(dāng) r=1

7、,2 時(shí)分別為絕對(duì)距離和歐氏距離時(shí)分別為絕對(duì)距離和歐氏距離馬氏距離馬氏距離： tvd)()(),(1 其中其中 v是一個(gè)實(shí)對(duì)稱正定矩陣，通常取樣是一個(gè)實(shí)對(duì)稱正定矩陣，通常取樣本的協(xié)方差矩陣，當(dāng)本的協(xié)方差矩陣，當(dāng)v=e時(shí)即為歐氏距離時(shí)即為歐氏距離.以上距離，在以上距離，在matlab (6.)中有命令中有命令: pdist具體如下：具體如下：11/38(1)歐氏距離歐氏距離：如果如果a是是am階矩陣階矩陣,b是是m b 階矩陣階矩陣.即即a的行向量維數(shù)等于的行向量維數(shù)等于b的列向量維數(shù)的列向量維數(shù)dist(a,b)結(jié)果是一個(gè)結(jié)果是一個(gè)a b 階上三角形矩陣階上三角形矩陣d(i, j)表示表示a的

8、第的第i個(gè)行向量與個(gè)行向量與b的第的第j個(gè)列向量個(gè)列向量之間歐氏距離之間歐氏距離matlab中命令：中命令：dist(a,b)計(jì)算計(jì)算a中中每個(gè)行向每個(gè)行向量量與與b中中每個(gè)列向量每個(gè)列向量之間歐氏距離之間歐氏距離12/38例例4. a=1,2,3,b=-1,5,6,c=1,0,1求求a,b,c歐氏距離歐氏距離解解:輸入輸入:a1=dist(a,b),a2=dist(a,c),a3=dist(c,b)或者輸入或者輸入:a=a;b;c;pdist(a)pdist(x) 樣本樣本x中各中各n維向量的歐氏距離維向量的歐氏距離如果如果x是是m個(gè)個(gè)n維行向量所組成的矩陣，則有：維行向量所組成的矩陣，則有

9、：注意：注意： 而而pdist(x)是個(gè)一行是個(gè)一行 列列矩陣。各列分別表示矩陣。各列分別表示x中各行向量按如下順序中各行向量按如下順序的距離的距離 (1,2),(1,3),(1,m),(2,3),(2,4),(2,m),(m-1,m)矩陣矩陣是是nmx 2mc13/38(2)絕對(duì)距離：絕對(duì)距離： matlab中命令：中命令：mandist(a,b)計(jì)算計(jì)算a中每中每個(gè)行向量與個(gè)行向量與b中每個(gè)列向量之間絕對(duì)距離，中每個(gè)列向量之間絕對(duì)距離，a的行向量維數(shù)必須等于的行向量維數(shù)必須等于b的列向量維數(shù)的列向量維數(shù).設(shè)樣本設(shè)樣本x是是m個(gè)個(gè)n維行向量所組成的矩陣，則有：維行向量所組成的矩陣，則有： p

10、dist(x, cityblock) 各各n維向量的絕對(duì)距離維向量的絕對(duì)距離注意：注意： 而而pdist(x)是個(gè)一行是個(gè)一行 列列矩陣。各列分別表示矩陣。各列分別表示x中各行向量按如下順序中各行向量按如下順序的距離的距離 (1,2),(1,3),(1,m),(2,3),(2,4),(2,m),(m-1,m)矩陣矩陣是是nmx 2mc14/38例例5. 求例求例2中向量之間的絕對(duì)距離中向量之間的絕對(duì)距離.mandist(a,b)=8；mandist(a,c)=4；mandist(c,b)=12解解：dist(a,b)=4.6904,dist(a,c)= 2.8284dist(c,b)= 7.3

11、485還可以用什么命令還可以用什么命令?你發(fā)現(xiàn)了什么？你發(fā)現(xiàn)了什么？與絕對(duì)距離比較與絕對(duì)距離比較15/38設(shè)樣本設(shè)樣本x是是m個(gè)個(gè)n維行向量所組成的矩陣，則有：維行向量所組成的矩陣，則有：pdist(x, minkowski，r) 閔可夫斯基距離閔可夫斯基距離pdist(x, mahal) 各各n維向量的馬氏距離維向量的馬氏距離注意：注意： 而而pdist(x)是個(gè)一行是個(gè)一行 列列矩陣。各列分別表示矩陣。各列分別表示x中各行向量按如下順序中各行向量按如下順序的距離的距離 (1,2),(1,3),(1,m),(2,3),(2,4),(2,m),(m-1,m)矩陣矩陣是是nmx 2mc(3)閔可

12、夫斯基距離與馬氏距離閔可夫斯基距離與馬氏距離16/38例例6. 現(xiàn)測(cè)得現(xiàn)測(cè)得6只只apf和和9只只af蠓蟲的觸長蠓蟲的觸長,翅長數(shù)據(jù)如下：翅長數(shù)據(jù)如下：apf：(1.14,1.78), (1.18,1.96), (1.20,1.86), (1.26,2.00), (1.28,2.00), (1.30,1.96) af：(1.24,1.72), (1.36,1.74), (1.38,1.64), (1.38,1.82), (1.38,1.90), (1.40,1.70), (1.48,1.82),(1.54,1.82), (1.56,2.08)計(jì)算兩類蠓蟲的各自之間的歐氏、絕對(duì)、馬氏距離計(jì)算兩類

13、蠓蟲的各自之間的歐氏、絕對(duì)、馬氏距離解解:輸入輸入af=1.24,1.72;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82; 1.38,1.90 ; 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08；apf=1.14,1.78;1.18,1.96;1.2,1.86;1.26,2.;1.28,2; 1.30,1.96 ; 17/38d1=(pdist(apf);d2=(pdist(apf,cityblock);d3=pdist(apf,mahal);d=d1,d2,d3輸出結(jié)果為輸出結(jié)果為apf蠓蟲之間的各類距離為含有蠓蟲之間的各類距離為含有15個(gè)個(gè)元素

14、的列向量元素的列向量將輸出結(jié)果變化為將輸出結(jié)果變化為15行行3列的矩陣列的矩陣結(jié)果見表結(jié)果見表1同理可以求得同理可以求得af蠓蟲之間的各類距離。結(jié)果見表蠓蟲之間的各類距離。結(jié)果見表218/38apf蠓蟲蠓蟲歐氏距離歐氏距離絕對(duì)距離絕對(duì)距離馬氏距離馬氏距離d120.18440.22002.5626d130.10000.14000.9883d140.25060.34002.4942d150.26080.36002.5318d160.24080.34002.5478d230.10200.12002.2507d240.08940.12001.5470d250.10770.14002.0430d260.

15、12000.12003.0777d340.15230.20001.6534d350.16120.22001.5873d360.14140.20001.6025d450.02000.02000.5129d460.05660.08001.6616d560.04470.06001.176419/38af蠓蠓歐氏距歐氏距絕對(duì)距絕對(duì)距馬氏距馬氏距af蠓蠓歐氏距歐氏距絕對(duì)距絕對(duì)距馬氏距馬氏距d120.12170.14001.4423d370.20590.28001.3971d130.16120.22002.3963d380.24080.34001.6847d140.17200.24001.4225d390

16、.47540.62003.4103d150.22800.32001.5517d450.08000.08000.7917d160.16120.18002.2078d460.12170.14001.3659d170.26000.34002.6110d470.10000.10001.2987d180.31620.40003.3635d480.16000.16002.0780d190.48170.68003.3694d490.31620.44002.1271d230.10200.12001.1705d560.20100.22002.1520d240.08250.10000.6601d570.12810

17、.18001.8990d250.16120.18001.4345d580.17890.24002.6482d260.05660.08000.8277d590.25460.36001.8449d270.14420.20001.2266d670.14420.20000.9689d280.19700.26001.9404d680.18440.26001.4149d290.39450.54002.6612d690.41230.54002.9389d340.18000.18001.7814d780.06000.06000.7792d350.26000.26002.5731d790.27200.34002

18、.0832表二表二.af.af蠓蟲之間的距離蠓蟲之間的距離20/38在在matlab中經(jīng)常遇到下列運(yùn)算：中經(jīng)常遇到下列運(yùn)算：a=1,2 ; 3,4,若將若將a中每個(gè)元素都減去中每個(gè)元素都減去2，如何運(yùn)算？如何運(yùn)算？a=1,2;3,4,若將若將a的每一行都減去的每一行都減去向量向量(1,2)如何運(yùn)算？如何運(yùn)算？前者可以進(jìn)行，后者不行，如何實(shí)現(xiàn)前者可以進(jìn)行，后者不行，如何實(shí)現(xiàn) ?通過特殊矩陣將加減運(yùn)算變?yōu)榭梢赃M(jìn)行通過特殊矩陣將加減運(yùn)算變?yōu)榭梢赃M(jìn)行的運(yùn)算的運(yùn)算.3.特殊矩陣特殊矩陣及其應(yīng)用及其應(yīng)用a-2可否？可否？a-(1,2)可否？可否？21/381. e = eye(n):nm 例如：例如：ey

19、e(3)=;100010001 001001)2 , 3(eye2. a = ones(n,m)：表示元素全為：表示元素全為1的的nm矩陣矩陣4. a = rand(n,m):產(chǎn)生產(chǎn)生nm維隨機(jī)矩陣（元素維隨機(jī)矩陣（元素在在01之間）之間）特殊矩陣有：特殊矩陣有：3. a = zeros(n,m)：產(chǎn)生：產(chǎn)生nm維零矩陣維零矩陣 表示表示n維單位矩陣維單位矩陣, e = eye(m,n): 表示主對(duì)角元素為表示主對(duì)角元素為1,其余元素為零的其余元素為零的 矩陣矩陣.22/38a=1,2,3;4,5,6;7,8,0,如何實(shí)現(xiàn)各列元如何實(shí)現(xiàn)各列元素分別減去該列的均值？素分別減去該列的均值？解：輸入

20、解：輸入 a=1,2,3;4,5,6;7,8,0;b=ones(3,1)*mean(a)例如：例如：c=a -b23/38例例7. 下表是全國下表是全國5個(gè)主要湖泊的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)個(gè)主要湖泊的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù) 指標(biāo)湖泊總磷（mg/l）耗氧量(mg/l)透明度(m)總氮(mg/l)杭州西湖13010.300.352.76武漢東湖10510.700.402.0青海湖201.44.50.22巢湖306.260.251.67滇池2010.130.500.231. 試用矩陣試用矩陣a表示上表所示的矩陣，表示上表所示的矩陣，2.計(jì)算每個(gè)指標(biāo)與該指標(biāo)平均值之差的絕對(duì)值計(jì)算每個(gè)指標(biāo)與該指標(biāo)平均值之差的絕對(duì)值.24/38 解

21、解:輸入輸入a=130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23;mean(a) %a%a矩陣列向量矩陣列向量( (各指標(biāo)各指標(biāo))的平均值的平均值生成一個(gè)生成一個(gè)54階的矩陣階的矩陣b，各行都是，各行都是mean(a): b=ones(5,1)*mean(a),為什么？怎樣生成為什么？怎樣生成?然后得到所求矩陣然后得到所求矩陣c= abs(a-b)(a a矩陣是一個(gè)矩陣是一個(gè)1 14階的矩陣階的矩陣.).)25/38mean(a)=61.0000 7.7580 1.2000

22、 1.3760輸出結(jié)果為：輸出結(jié)果為：c= 69.0000 2.5420 0.8500 1.3840 44.0000 2.9420 0.8000 0.6240 41.0000 6.3580 3.3000 1.1560 31.0000 1.4980 0.9500 0.2940 41.0000 2.3720 0.7000 1.146026/38生成一個(gè)生成一個(gè)54的矩陣的矩陣b，各行都是，各行都是mean(a)還還有如下方法有如下方法 ：b=a(ones(5,1),:)，其中，其中 a=mean(a)練習(xí)：練習(xí)：將各指標(biāo)與該指標(biāo)的最大值相減，然將各指標(biāo)與該指標(biāo)的最大值相減，然后再比上該指標(biāo)的極差后

23、再比上該指標(biāo)的極差.提示：提示：max(a):表示矩陣表示矩陣a中各列向量的最大值；中各列向量的最大值； min(a):表示矩陣表示矩陣a中各列向量的最小值；中各列向量的最小值； range(a)= max(a)- min(a):表示各列極差表示各列極差.27/38a=130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5, 0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23;b=ones(5,1)*max(a),c=max(a)-min(a)d=c(ones(5,1),:) (a-b)./dans =0 -0.0430 -0.9

24、765 0 -0.2273 0 -0.9647 -0.2992 -1.0000 -1.0000 0 -1.0000 -0.9091 -0.4774 -1.0000 -0.4291 -1.0000 -0.0613 -0.9412 -0.996128/38matlab中中z =null(a,r)就是求就是求ax=0的基礎(chǔ)的基礎(chǔ)解系，其中解系，其中 z的列向量即為所求基礎(chǔ)解系的列向量即為所求基礎(chǔ)解系例例8. 求方程組的通解：求方程組的通解：xxxxxxxxxxxx1234123412342202220430 format rat %指定有理式格式輸出指定有理式格式輸出 z=null(a,r) %求解

25、空間的有理基求解空間的有理基 解：輸入解：輸入a=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3;1. 求齊次線性方程組求齊次線性方程組ax=0的非零解的非零解29/38即原方程的基礎(chǔ)解系為（即原方程的基礎(chǔ)解系為（2，-2，1，0）和）和（5/3，-4/3，0，1）z =2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 輸出結(jié)果為：輸出結(jié)果為：故所求通解為：故所求通解為：1225241003xkk30/381).若矩陣若矩陣a可逆，則可逆，則 x=ab 例例9. 解線性方程組解線性方程組 1231231232x + 3x + 5x = 123x + 6x + 8x = 346x + 5x

26、+ 4x = 43 解：解：a=2,3,5;3,6,8;6,5,4; b=12;34;43; det(a)=-29, 矩陣矩陣a可逆，于是可逆，于是 x=ab也可以輸入也可以輸入 x=inv(a)*b結(jié)果為結(jié)果為 x = 0.2759 12.3793 -5.13792. 求非齊次線性方程組求非齊次線性方程組ax= b的非零解的非零解31/382)化成行簡化階梯形求化成行簡化階梯形求ax=b的解的解matlab中的命令為：中的命令為： c=a,b %增廣矩陣增廣矩陣c. d=rref(c) %將將c化成行最簡化階梯形化成行最簡化階梯形 則則d 的最后一列元素就是所求的解的最后一列元素就是所求的解

27、. 例例10 . 求例求例9中線性方程組中線性方程組ax=b的解的解解解:輸入輸入: c=a,b ； d=rref(c) ；輸出結(jié)果為輸出結(jié)果為d =1 0 0 0.2759 0 1 0 12.3793 0 0 1 -5.1379 32/38命令功能v,d = eig(x) 求矩陣x的特征值與特征向量normr(a)將矩陣a的行向量標(biāo)準(zhǔn)化normc(a)將矩陣a的列向量標(biāo)準(zhǔn)化z =null(a,r)求ax=0的基礎(chǔ)解系(z的列向量)rref(c)將c化成行最簡化階梯形矩陣norm(a)矩陣a的普范數(shù)(2范數(shù))norm(a,1)矩陣a的列范數(shù)（1-范數(shù)）norm(a,inf)矩陣a的行范數(shù)(無窮

28、大范數(shù))33/38命令功能norm(a, fro )矩陣a的frobenius范數(shù)ones(n,m)表示元素全為1的nm矩陣zeros(n,m)產(chǎn)生nm維零矩陣max(a)計(jì)算矩陣a的各列元素的最大值min(a)計(jì)算矩陣a的各列元素的最小值range(a)計(jì)算矩陣a的各列元素的極差sum(a)計(jì)算矩陣a的各列元素的和abs(a)將矩陣a中各元素取絕對(duì)值eye(n)產(chǎn)生n階單位矩陣34/38作業(yè)：作業(yè)： 087654321a1.求矩陣求矩陣a的各種范數(shù)、譜的各種范數(shù)、譜半徑半徑2.a中各行向量夾角余弦、及各種距離，判別那兩中各行向量夾角余弦、及各種距離，判別那兩行最接近行最接近3.將將a的各元素減去各行的均值再比上各列的方差的各元素減去各行的均值再比上各列的方差4. 7014692358324741c計(jì)算矩陣計(jì)算矩陣c的各行向量的相的各行向量的相關(guān)系數(shù)矩陣關(guān)系數(shù)矩陣r，再將，再將r的列的列向量單位化，求向量單位化，求cx=0的基的基礎(chǔ)解系礎(chǔ)解系35/381.a=1,2,3;4,5,6;7,8,0;v,b=eig(a) % %特征值特征值n2=norm(a,2) % % 2范數(shù)范數(shù)n1=norm(a,1) % % 1范數(shù)范數(shù)n3=norm(a,inf) % % 無窮范數(shù)無窮范數(shù)n4=norm(a,fro) % % f 范數(shù)范數(shù)v = -0.2998 -0.7471 -0.