初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題

1、學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點二次函數(shù)學(xué)問點總結(jié)一. 二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc （ a ，b ，c 是常數(shù)， a0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)全體實數(shù)a0 ，而 b ，c 可以為零二次函數(shù)的定義域是2.二次函數(shù)yax2bxc 的結(jié)構(gòu)特點： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式，x 的最高次數(shù)是2a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項系數(shù)，b 是一次項系數(shù)，c 是常數(shù)項二. 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)表達(dá)式a 0a 值圖像開口對稱軸方向頂 點 坐增減性最值標(biāo)2 y=axa 0向上y 軸（ 0，0）當(dāng) x 0 時，y 隨 x的增大而

2、增大當(dāng) x 0 時，y 隨 x的增大而減小當(dāng) x 0 時，y 隨 x當(dāng) x=0 時， y有最小值，即y最小值 =0a 0向下y 軸（ 0，0）a 0 y=ax 2+k向上y 軸（ 0，k ）a 0向下y 軸（ 0，k ）的增大而減小當(dāng) x 0 時，y 隨 x的增大而增大當(dāng) x 0 時，y 隨 x的增大而增大當(dāng) x 0 時，y 隨 x的增大而減小當(dāng) x=0 時， y有最大值，即y最大值 =0當(dāng) x=0 時， y有最小值，即y最小值 =k當(dāng) x 0 時，y 隨 x的增大而減小當(dāng) x 0 時，y 隨 x的增大而增大當(dāng) x=0 時， y有最大值，即y最大值 =k當(dāng) x h 時，y 隨 xa 0向上直線

3、x=h（ h，0）2a 0向下直線x=h（ h，0）的增大而增大當(dāng) x 0 時，y 隨 x當(dāng) x=h 時， y有最小值，即y=ax-h的增大而減小當(dāng) x h 時，y 隨 xy最小值 =0的增大而減小當(dāng) x 0 時，y 隨 x的增大而增大當(dāng) x=h 時， y有最大值，即y最大值 =0y=ax-h 2+ ka 0向上直線 x=h（ h，k ）a 0向下直線 x=h（ h，k ）當(dāng) x h 時，y 隨 x的增大而增大當(dāng) x h 時，y 隨 x的增大而減小當(dāng) x h 時，y 隨 x的增大而減小當(dāng) x h 時，y 隨 x當(dāng) x=h 時， y有最小值，即y最小值 =k當(dāng) x=h 時， y有最大值，即的增大

4、而增大y最大值 =k學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點直線（ -b ，當(dāng) x -b 時， y2a當(dāng) x=-b 時，2 aa 0向上x=-b2a2 a隨 x 的增大而增大2by 有最小值，y最小值 =y=ax 2+bx+c可化為：4ac b ）4a當(dāng) x - 2a 時， y4ac b 22ay=ax+b隨 x 的增大而減小4ay當(dāng) x=-b 時，2+直線當(dāng) x -b 時，2 a2aa 0向下（ -b ，2 ab隨 x 的增大而減小yy 有最大值，x=- 2a4ac4ab2 ）當(dāng) x -b 時，2a即隨 x 的增大而增大y 最大值 =4 ac b2 4a三. 二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化

5、成頂點式2ya xhk ，確定其頂點坐標(biāo)h ，k； 保持拋物線yax2 的外形不變，將其頂點平移到h ，k處，詳細(xì)平移方法如下：y=ax 2向上 k >0【或向下 k<0】平移 |k|個單位y=ax 2+ k向右 h>0【或左 h<0】平移 |k| 個單位y=a x-h2向右 h>0【或左 h<0】平移 |k| 個單位向上 k >0【或下 k<0 】平移 |k|個單位向上 k>0 【或下 k<0 】平移 |k|個單位向右 h>0 【或左 h<0】平移 |k| 個單位y=a x-h 2+k2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h

6、 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個字“左加右減（自變量），上加下減（常數(shù)項）”溫馨提示二次函數(shù)圖像間的平移可看作是頂點間的平移，因此只要把握了頂點是如何平移的，就把握了二次函數(shù)圖像間的平移.四. 二次函數(shù)2ya xhk 與 yax2bxc 的比較從解析式上看，2yaxhk 與 yax2bxc 是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即yax22b4acb2a4a，其中 hb ，k 2a24acb4a五二次函數(shù)解析式的三種表示方法名稱解析式使用范疇學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點一般式頂點式交點式y(tǒng)ax 2ya x ya xbx2hx1 xca0k a0 x2 a0已知任意三個點已知

7、頂點（ h， k）及另一點已知與 x 軸的兩個交點及另一個點溫馨提示任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非全部的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x 軸有交點，即b24ac0 時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化，將頂點式、交點式去括號、合并同類項就可轉(zhuǎn)化為一般式，把一般式配方、因式分解就可轉(zhuǎn)化為頂點式、交點式.六二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項系數(shù)a 【a 打算拋物線的開口方向，|a|打算拋物線開口的大小】 當(dāng) a 當(dāng) a0 時，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越小，a 的值越小，開口越大；0 時，拋物線開口向下，a 的值越

8、大，開口越大，a 的值越大，開口越大注： |a|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線開口越大 拋物線的外形相同，即|a|相同 .2. 一次項系數(shù)b 【由 a 和對稱軸共同打算】對稱軸在y 軸的左側(cè)， a， b 同號；對稱軸在y 軸的右側(cè)， a， b 異號 .（ 左同右異b 為 0 時，對稱軸為y 軸）3. 常數(shù)項 c 當(dāng) c 當(dāng) c 當(dāng) c0 時，拋物線與y 軸的交點在x 軸上方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標(biāo)為正；0 時，拋物線與y 軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與y 軸交點的縱坐標(biāo)為0 ；0 時，拋物線與y 軸的交點在x 軸下方，即拋物線與y 軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來，c 打算了拋物線

9、與y 軸交點的位置七二次函數(shù)圖象（拋物線）與x 軸交點情形的判定：2y ax +bx+c（ a0， a、b、c 都是常數(shù)）1. =b2-4ac 0拋物線與x 軸有兩個交點2. =b2-4ac=0拋物線與x 軸有一個交點3. =b2-4ac 0拋物線與x 軸沒有交點 當(dāng) a0 時，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任何實數(shù)，都有y0 ；當(dāng) a0 時，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實數(shù)，都有y0 八. 二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的解之間的關(guān)系：221. 二次函數(shù)y ax +bx+c 的圖象與x 軸交點的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax +bx+c=0 的解 . 因此利用2二次函數(shù)圖象可求以

10、x 為未知數(shù)的一元二次方程ax +bx+c 0 的解（從圖象上進(jìn)行判定）.22. 二次函數(shù)y ax2+bx+c 在 x 軸上方的圖象上的點的橫坐標(biāo)是一元二次不等式ax2+bx+c 0 的解；在 x 軸下方的圖象上的點的橫坐標(biāo)是一元二次不等式ax +bx+c 0 的解 .九.二次函數(shù)的應(yīng)用剎車距離二次函數(shù)應(yīng)用何時獲得最大利潤最大面積是多少二次函數(shù)拋物線簡潔的圖形變換（ 1）頂點式【ya xh 2k （ a 0） 】學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點名稱a頂點（ h， k ）平移ah ，k左加右減上加下減對關(guān)于 x 軸對稱-ah ， -k稱關(guān)于 y 軸對稱a-h ， k關(guān)于原點對稱-a-h ， -k旋轉(zhuǎn)（繞頂點旋

11、轉(zhuǎn)180°）-ah ， k（ 2）一般式【yax2bxc （ a 0） 】平移 ：如將二次函數(shù)yax2bxc 向右平移mm 0個單位，再向下平移n（n 0）個單位，得到 ya xm 2b xmcnax22amb xam2bmcn對稱名稱a、 b、c 的變化解析式變化關(guān)于 x 軸對稱 a -a; b -b; c -cy=ax 2+bx+c y=-ax 2-bx-c關(guān)于 y 軸對稱 a 不變； b -b ；c 不變 y=ax 2+bx+c y=ax 2-bx+c 關(guān)于原點對稱 a -a ； b 不變； c -c y=ax 2+bx+c y=-ax 2+bx-c注： 無論是平移、軸對稱仍是

12、旋轉(zhuǎn)，最好先把二次函數(shù)化成頂點式，然后再依據(jù)需要進(jìn)行求解.一. 挑選題1. 二次函數(shù)yx24 x二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題7 的頂點坐標(biāo)是a.2, 11b.（ 2， 7）c.（ 2， 11）d.（ 2， 3）2. 把拋物線y2x2 向上平移1 個單位，得到的拋物線是（）a. y2 x12b.y2 x12c.y2 x21d.y2 x21學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點3. 函數(shù)2ykxkk 和 yk x0 在同始終角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的4. 已知二次函數(shù)2yaxbxc a0 的圖象如下列圖, 就以下結(jié)論 : a,b 同號 ; 當(dāng) x1 和 x3時, 函數(shù)值相等 ; 4ab0 當(dāng) y2 時,x 的值只能取0. 其

13、中正確的個數(shù)是 a.1個b.2個c. 3個d. 4個5. 已知二次函數(shù)yax 2bxc a0 的頂點坐標(biāo)（ -1 ，-3.2 ）及部分圖象 如圖 , 由圖象可知關(guān)于x 的一元二次方程ax 2bxc0 的兩個根分別是 x11.3和x2（ ） a.-1.3b.-2.3c.-0.3d.-3.36. 已知二次函數(shù)yax2bxc 的圖象如下列圖，就點ac, bc 在（）a. 第一象限b. 其次象限c.第三象限d.第四象限7. 方程2xx22 的正根的個數(shù)為（）xa.0 個b.1個c.2個.3個8. 已知拋物線過點a2,0,b-1,0,與y 軸交于點c, 且oc=2.就這條拋物線的解析式為22a.yxxc

14、.yxx2b.22 或 yxx2d.2yxx2yxx222 或 yxx2二填空題9二次函數(shù)yx2bx3 的對稱軸是x2 ，就 b .10已知拋物線y=-2 （ x+3）2+5，假如 y 隨 x 的增大而減小，那么x 的取值范疇是 .11一個函數(shù)具有以下性質(zhì)：圖象過點（1，2），當(dāng) x0 時，函數(shù)值y 隨自變量x 的增大而增大；滿意上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個即可）.12拋物線y2 x2 26 的頂點為 c，已知直線ykx3 過點 c，就這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為.13.二次函數(shù)y2 x24 x1的圖象是由y2 x2bxc 的圖象向左平移1 個單位 , 再向下平移2 個單位

15、得到的 , 就 b=,c=.14如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16 米，跨度是40 米，在線段ab上離中心m 處 5 米的地方，橋的高度是 取 3.14.三解答題：15. 已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是(1) 求這個二次函數(shù)的解析式;x30 , 圖象經(jīng)過 1,-6,且與 y 軸的交點為 0,5 .2(2) 當(dāng) x 為何值時 , 這個函數(shù)的函數(shù)值為0.(3) 當(dāng) x 在什么范疇內(nèi)變化時, 這個函數(shù)的函數(shù)值y 隨 x 的增大而增大.0第1 15 題圖16. 某種爆竹點燃后，其上上升度h（米）和時間t （秒）符合關(guān)系式hv tgt 2（ 0<t 2），其中重力加速度g 以 10 米/ 秒2

16、2運算這種爆竹點燃后以v 0=20 米/ 秒的初速度上升，（ 1）這種爆竹在地面上點燃后，經(jīng)過多少時間離地15 米？（ 2）在爆竹點燃后的1.5 秒至 1.8 秒這段時間內(nèi)，判定爆竹是上升，或是下降，并說明理由.學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點17. 如圖，拋物線yx2bxc 經(jīng)過直線yx3 與坐標(biāo)軸的兩個交點 a、b，此拋物線與x 軸的另一個交點為c，拋物線頂點為d.（ 1）求此拋物線的解析式；（ 2）點 p 為拋物線上的一個動點，求使的坐標(biāo)；s apc ： sacd5 ：4 的點 p3點 m 為 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 上 一 點 ， 寫 出 使 點 m、 a、 b、 d 為 平行 四 邊 形 的

17、點 m 的 坐 標(biāo) 18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費供應(yīng)貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）當(dāng)每噸售價為260 元時，月銷售量為45 噸該建材店為提高經(jīng)營利潤， 預(yù)備實行降價的方式進(jìn)行促銷經(jīng)市場調(diào)查發(fā)覺：當(dāng)每噸售價每下降10 元時， 月銷售量就會增加 7.5 噸綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100 元設(shè)每噸材料售價為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）（ 1）當(dāng)每噸售價是240 元時，運算此時的月銷售量；（ 2）求出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x 的取值范疇）；（ 3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定

18、為每噸多少元？（ 4）小靜說：“當(dāng)月利潤最大時，月銷售額也最大”你認(rèn)為對嗎？請說明理由19. 某商場試銷一種成本為60 元/ 件的 t 恤，規(guī)定試銷期間單價不低于成本單價，又獲利不得高于 40%，經(jīng)試銷發(fā)覺，銷售量y（件）與銷售單價x（元 / 件）符合一次函數(shù)y=kx+b ，且 x=70 時， y=50； x=80 時， y=40 ；（ 1）求出一次函數(shù)y=kx+b 的解析式（ 2）如該商場獲得利潤為w 元，試寫出利潤w 與銷售單價x 之間的關(guān)系式，銷售單價定為多少時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少？二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練1. 心理學(xué)家發(fā)覺，同學(xué)對概念的接受才能y 與提出概念所用的時間x（分）

19、之間滿意函數(shù)關(guān)系： y = -0.1x2 +2.6 x + 43 0 x30.（ 1）當(dāng) x 在什么范疇內(nèi)時，同學(xué)的接受才能逐步增強？當(dāng)x 在什么范疇內(nèi)時，同學(xué)的接受才能逐步減弱？（ 2）第 10 分鐘時，同學(xué)的接受才能是多少？（ 3）第幾分鐘時，同學(xué)的接受才能最強？2. 如圖 , 已知 abc是一等腰三角形鐵板余料, 其中 ab=ac=20cm,bc=24cm如. 在 abc上截出一矩形零件defg,使 ef 在 bc上, 點 d、 g分別在邊ab、 ac上. 問矩形 defg的最大面積是多少.學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點adgbefc3. 已知銳角 abc中，邊 bc長為 12，高 ad長為 8(1

20、) 如圖，矩形efgh的邊 gh在 bc邊上，其余兩個頂點e、f 分別在 ab、ac邊上， ef交 ad于點 k 求 ef 的 值ak 設(shè) eh x，矩形 efgh的面積為s，求 s 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求s 的最大值(2) 如 abac，正方形 pqmn的兩個頂點在abc一邊上，另兩個頂點分別在abc的另兩邊上，直接寫出正方形pqmn的邊長4. 如圖 , abc中, b=90°,ab=6cm,bc=12cm.點 p 從點 a 開頭 , 沿 ab邊向點 b 以每秒 1cm的速度移動 ; 點 q從點 b 開頭 , 沿著 bc邊向點 c 以每秒 2cm的速度移動 . 假如 p,q 同

21、時動身 , 問經(jīng)過幾秒鐘 pbq的面積最大 .最大面積是多少 .cqapb5. 如圖 , 隧道的截面由拋物線aed和矩形 abcd構(gòu)成 , 矩形的長 bc為 8m,寬 ab為 2m,以 bc所在的直線為x 軸, 線段 bc的中垂線為y 軸 , 建立平面直角坐標(biāo)系.y 軸是拋物線的對稱軸, 頂點 e 到坐標(biāo)原點o的距離為 6m.(1) 求拋物線的解析式;(2) 一輛貨運卡車高4.5m, 寬 2.4m, 它能通過該隧道嗎.(3) 假如該隧道內(nèi)設(shè)雙行道, 為了安全起見, 在隧道正中間設(shè)有0.4m 的隔離帶 , 就該輛貨運卡車仍能通過隧道嗎 .學(xué)習(xí)必備精品學(xué)問點【舉一反三 】如圖 , 隧道的截面由圓弧

22、aed和矩形 abcd構(gòu)成 , 矩形的長bc為 12m,寬 ab 為 3m,隧道的頂端 e圓弧 aed的中點 高出道路 bc7m.求圓弧 aed所在圓的半徑 ;假如該隧道內(nèi)設(shè)雙行道, 現(xiàn)有一輛超高貨運卡車高6.5m, 寬 2.3m, 問這輛貨運卡車能否通過該隧道.6. 如圖，一位運動員在距籃下4 米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當(dāng)球運行的水平距離為2.5米時，達(dá)到最大高度3.5 米，然后精確落入籃圈. 已知籃圈中心到地面的距離為3.05 米 .(1) 建立如下列圖的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式;(2) 該運動員身高1.8 米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25 米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少.y0,3.53.05 mox4m7. 如圖，要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，假如用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設(shè)它的長度為x m.(1) 要使雞場面積最大，雞場的長度應(yīng)為多少m？(2) 假如中間有n n 是大于 1 的整數(shù) 道籬笆隔墻， 要使雞場面積最大， 雞場的長應(yīng)為多少m？比較 12的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？x8. 某商場以每件20 元的價格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)覺， 這種商品每天的銷售量m件 與每件的銷售價 x 元 滿意關(guān)系： m=140 2x.(1) 寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y 與每件的銷售價