E的接觸點(diǎn)課件

1、第二章第二章 點(diǎn)集點(diǎn)集lP0為為 E的接觸點(diǎn)：的接觸點(diǎn)：lP0為為 E的聚點(diǎn)：的聚點(diǎn)：lP0為為 E的內(nèi)點(diǎn)：的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有EEEEEEEEE等價(jià)于故的孤立點(diǎn)全體由于說明：要證說明：要證E是開集，只要證是開集，只要證 要證要證E是閉集，只要證是閉集，只要證)(顯然因?yàn)镋EEE)(顯然因?yàn)榛駿EEEEEEE 若若E = E , 則稱則稱E為開集（為開集（E中每個(gè)點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)中每個(gè)點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)) 若若 ,則稱則稱E為閉集（與為閉集（與E緊挨的點(diǎn)不跑到緊挨的點(diǎn)不跑到E外）外）說明：要證說明：要證E是開集，只要證是開集，只要證 )(顯然因

2、為EEEEabx),(),(baOx 證明：任取證明：任取x(a,b),取取=min|x-a|,|x-b|, 則則 ,從而從而x是（是（a,b）的內(nèi)點(diǎn)，）的內(nèi)點(diǎn)，故故(a,b)是開集。是開集。說明：說明： 要證要證E是閉集，只要證是閉集，只要證()( ) ()ccccEEEEEEEEEE或或或因?yàn)轱@然a b xcxbaO,),( 證明：任取證明：任取xa,bc,取取=min|x-a|,|x-b|, 則則 ,從而x不是a,b的接觸點(diǎn)，從而從而a,b的接觸點(diǎn)都在的接觸點(diǎn)都在a,b內(nèi)，內(nèi)，從而從而a,b是閉集。是閉集。為為E的的接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)的充要條件為存在的充要條件為存在E中點(diǎn)列中點(diǎn)列pn, 使得使

3、得或或p p0 0是是E的的聚點(diǎn)聚點(diǎn)的的充要條件為充要條件為存在存在E中的中的互異互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列的點(diǎn)所成的點(diǎn)列pn, 使使得得0limppnn0limppnn若若 （或（或 ）,則稱則稱E為閉集。為閉集。 （與（與E接近的點(diǎn)不跑到接近的點(diǎn)不跑到E外）外）EE EE 為開集，即從而EEE)(EOOxy),() ,(則) ,(yOEEOx),()(ExE)(EE ),(xOEOx),(, 0使得Ex),(xOy),(yxd)(,0),(xEOx有),(xO( , )( , )( , )0,( )(min( , ), ( , )xxxOExd x xd x xOO 知有當(dāng)時(shí),有x）) , (xO

4、E( , )( )xxOExxE取，由)(EE)(Ex E( ,)( ,)( , )0,( )(min( ,),( ,)xxxOExd x xd x xOO 知有當(dāng)時(shí),有x）為閉集可得利用EEEEEEEEEE)()()() , (xO),(xOE)(),(xEOx) (EElP0為為 E的接觸點(diǎn)：的接觸點(diǎn)：lP0為為 E的聚點(diǎn)：的聚點(diǎn)：lP0為為 E的內(nèi)點(diǎn)：的內(nèi)點(diǎn)：lP0為為 E的外點(diǎn)：的外點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00, 0即使得b.若E為開集，則Ec為閉集; 若E為閉集，則Ec為開集。ccccEEEE)()()

5、()(a.CECE 從而x不是Ec的接觸點(diǎn)， 也即Ec的接觸點(diǎn)一定在Ec內(nèi)， 從而 ，即Ec為閉集。 EOExx),(, 0,使得證明：設(shè)證明：設(shè)E為開集，即為開集，即( , )cxOE 從而EE 證明：設(shè)E為閉集，即cxE 任取 ，假如x不是Ec的內(nèi)點(diǎn)， 則x的任一鄰域內(nèi)至少有一個(gè)屬于E的點(diǎn)，cxE 從而x為E的接觸點(diǎn)，由為閉集可知x在E內(nèi)， 這與 矛盾，所以Ec中的點(diǎn)都為Ec的內(nèi)點(diǎn)，即Ec為開集。注：無限多個(gè)開集的交不一定為開集，如：注：無限多個(gè)開集的交不一定為開集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和中只有空集和Rn既開又閉，既開又閉，存在大量既不開又不閉的集合，如：存在大量既

6、不開又不閉的集合，如：E=0,1)A B注：無限多個(gè)閉集的并不一定為閉集，如：注：無限多個(gè)閉集的并不一定為閉集，如：En=0,1-1/nccAA)(若若E為開為開集，則集，則Ec為閉為閉集集;若若E為閉為閉集，則集，則Ec為開為開集集ccAA)(2,1FFnR21G,G2211FG,FG注：隔離性定理中注：隔離性定理中“閉集閉集”的條件不能少，的條件不能少， 如如2，3）和（）和（3，5,: ),(inf),(: ),(inf),(ByAxyxdBAdByyxdBxdBA b.若若 ,則則 d(A,B)=0; 反之則不一定成立，反之則不一定成立，如如A=n - 1/n,B=n+1/n（都是閉集

7、）（都是閉集）Bxc.d(x,B)=0當(dāng)且僅當(dāng) 注：注：a.若若x B,則則d(x,B)=0;反之則不一定成反之則不一定成立，如立，如x=0,B=(0,1)證明：利用d(x,E) d(x,z) d(x,y) +d(y,z) z E定理定理 設(shè)設(shè)E為為中非空點(diǎn)集中非空點(diǎn)集 ，則，則d(x,E)是是的的一致連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)函數(shù)所以d(x,E)是的一致連續(xù)函數(shù)?？傻胐(x,E) d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y)11,( , )( ,)( , )nnnnyAd x Ad x yd x A使得閉集：與E緊挨

8、的點(diǎn)不跑到E外，也即E外的點(diǎn)與E不可能緊挨limiinnnniyyyyy由于為有界點(diǎn)列，故的子列，使1( , )( ,)( , )iinnd x Ad x yd x A又為閉集，故yA,對(duì)兩邊關(guān)于i取極限即得d(x,y)=d(x,A)( , )inf ( , ):d x Ad x yyA證明：由 可得nnnnnnBAdyxdBAdByAx11),(),(),(,使得可知xxxxiininnlim，使的子列由于A有界，故,: ),(inf),(ByAxyxdBAd證明：由ABA有界不可少，有界不可少，如如A=n - 1/n,B=n+1/nyyyyjijiinjnnlim，使的子列從而jijiji

9、nnnBAdyxdBAd1),(),(),(又又B為閉集，故為閉集，故yB,另外對(duì)另外對(duì)兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于j取極限得取極限得d(x,y)=d(A,B)又又A為閉集，從而為閉集，從而xA ，并可得，并可得yni有界有界因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)ni充分大時(shí)，充分大時(shí)， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ）注：可推廣到一般的拓?fù)淇臻g（參見：拓?fù)鋵W(xué) 教材）， 即Urysohn引理.是連續(xù)函數(shù)可得關(guān)于及證明：由xFxdFxdFxdFxdFxdxf),(),(),(),(),()(21211F2F12, 1FF0Fq,Fp: )q, p(inf

10、)F,F(2121ddl注：對(duì)注：對(duì)無限維空間無限維空間不一定成立。不一定成立。:IiUiiIiUF:IiUi注：比較下面幾種不同的證法注：比較下面幾種不同的證法周民強(qiáng)，實(shí)變函數(shù)周民強(qiáng)，實(shí)變函數(shù) p-36尤承業(yè)，基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)尤承業(yè)，基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué) p-52熊金城，點(diǎn)集拓?fù)渲v義熊金城，點(diǎn)集拓?fù)渲v義 p-2021.教材教材 p-42注：注： 逆命題也成立逆命題也成立:IiUi結(jié)論：結(jié)論： 中緊集與有界中緊集與有界閉集等價(jià)等價(jià)nRl舉例說明有界閉集未必是緊集（教材舉例說明有界閉集未必是緊集（教材P306例例2）:IiUiiIiUF:IiUi提示：利用空間中以提示：利用空間中以有理點(diǎn)有理點(diǎn)為為中心中心，正有

11、理數(shù)正有理數(shù)為為半徑半徑的圓全體為可數(shù)集，開集中的點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)，以及有理的圓全體為可數(shù)集，開集中的點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)，以及有理點(diǎn)全體在點(diǎn)全體在Rn中中稠密稠密和有理數(shù)全體是和有理數(shù)全體是R的的稠密稠密集集nRE EE nRE EE 第二章第二章 點(diǎn)集點(diǎn)集G) , ( ,) , ()d, c ()b, a (A( ) ( ( ) ) a b c c d d (a,b),(c,d)為構(gòu)成區(qū)間（c,d）不是( ) ( )( ) ( ) (直線上的直線上的閉集閉集或是全直線，或是從直線上或是全直線，或是從直線上挖去挖去有限個(gè)或有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間開區(qū)間所得之集所得之集.開開 集集 構(gòu)構(gòu)

12、 造造 性性 定定 理理直線上的閉集的孤立點(diǎn)必是其余區(qū)間的某兩個(gè)相鄰開區(qū)直線上的閉集的孤立點(diǎn)必是其余區(qū)間的某兩個(gè)相鄰開區(qū)間的公共端點(diǎn)間的公共端點(diǎn);（4）Rn中的中的開集開集一般不能表示成至一般不能表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間之并，多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間之并，但總可表示成至多可數(shù)個(gè)互不相但總可表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的交的半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間之并，且不唯一之并，且不唯一.( ) ( )( ) ( ) (1)1(iIi2 , 1)1(iIi2)2(2, 2 , 1iIi2 , 1)2(iIi1( )1,2,2innIinniiI2, 2 , 1)(ininIG)(,定義：令稱P=0,1-

13、 G=0,1Gc 為Cantor集ininIG)(,a .分割點(diǎn)一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc為閉集注：第n次共去掉2n-1個(gè)長(zhǎng)為1/3n的開區(qū)間11231323111nnnb. P的“長(zhǎng)度”為0，去掉的區(qū)間長(zhǎng)度和( )x- x x+第 n+1次等分去掉的區(qū)間第n次等分留下的區(qū)間()130,nniIO（ x, ）當(dāng)時(shí) ， 有但由Cantor集的作法知，我們要對(duì)繼續(xù)三等分去掉中間一個(gè)開區(qū)間，從而 內(nèi)至少有一點(diǎn)不屬于P，所以x不可能是P的內(nèi)點(diǎn)。O（x, ）( )niI證明：對(duì)任意x P, x必含在“去掉手續(xù)進(jìn)行到第n次”時(shí)留下的2n個(gè)長(zhǎng)為1/3n的互不相交的某個(gè)閉區(qū)間中)(),(xPOx從而從而x為P的聚點(diǎn)，當(dāng)然不為孤立點(diǎn)。)(, 0),(xPOx有 證明：對(duì)任意x P ， 只要證：( )1( , )3,nnxiniOI及某個(gè)，使)(niI 由Cantor集的作法知 而 的兩個(gè)端點(diǎn)定在P中，第n次等分留下的區(qū)間( )x- x x+nniI31|)(說明：對(duì)應(yīng)0,1十等分的端點(diǎn)有兩種表示，如0.20000000.1999999 （十進(jìn)制小數(shù)）第一次十等分確定第一位小數(shù)第二次十等分確定第二位