(完整版)《勾股定理》PPT課件

1、c cb ba a學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.探究揭示直角三角形三邊關(guān)系的勾股定理。探究揭示直角三角形三邊關(guān)系的勾股定理。 2.證明勾股定理的正確性。證明勾股定理的正確性。 3.會運用勾股定理解決一些簡單的實際問題。會運用勾股定理解決一些簡單的實際問題。pqrp的面積的面積 q的面積的面積 r的面積的面積等腰直角三角形等腰直角三角形abc中，中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方兩直角邊的平方和等于斜邊的平方探究活動一、等腰直角三角形三邊的關(guān)系呢？探究活動一、等腰直角三角形三邊的關(guān)系呢？(單位面積單位面積)(單位面積單位面積)(單位面積單位面積)acb112p的面積的面積的面積的面積r的面積的面積

2、ac2 + bc2 = ab2p pqqr ra ac cb bs sp p+s+sqq=s=sr r猜想猜想:兩直角邊兩直角邊a、b與斜邊與斜邊c 之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2探究活動二探究活動二: 對于一般直角三角形三邊關(guān)系的探索：對于一般直角三角形三邊關(guān)系的探索：p pqqc c r r如圖，小方格的邊長為如圖，小方格的邊長為1. 1.(1)(1)你能求出正方形你能求出正方形r的面積嗎？的面積嗎？用了用了“補補”的方法的方法p pqqc c r r用了用了“割割”的方法的方法qq如圖：已知四個全等的直角三角形的兩直角邊長分別為a和b，斜邊長為c。利用這

3、些直角三角形拼成一個大的正方形，來說明：222cba=+babababacccccabcabcabcab c2=b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 ；也可以表示為也可以表示為c2 該圖2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)示意圖，取材于我國古代數(shù)學(xué)著作勾股圓方圖。abab214)(2證明證明1：abab214)(2cabcabcabcab (a+b)2 = a2+2ab+b2 = 2ab +c2a2+b2=c2大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 ；也可以表示為也可以表示為(a+b)224abc2證明證

4、明2：24abc2勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)（gougu theorem） 如果直角三角形兩直角如果直角三角形兩直角邊分別為邊分別為a， b，斜邊為，斜邊為c，那么那么 即直角三角形兩直角邊的平方和等于即直角三角形兩直角邊的平方和等于 斜邊的平方斜邊的平方.222cbaac勾勾弦弦b股股 兩千多年前，古希臘有個哥拉兩千多年前，古希臘有個哥拉 斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)

5、派，1955國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前國家之一。早在三千多年前 兩千多年前，古希臘有個畢達(dá)哥拉斯兩千多年前，古希臘有個畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定國

6、外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。 我國是最早了解勾股定理的我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周國家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被記，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中。中。練習(xí)練習(xí)1、求出下列直角三角形中未知

7、邊的長度、求出下列直角三角形中未知邊的長度22243 x2243 x34x5x勾股定理勾股定理1y22212 y3比比一一比比看看看看誰誰算算得得快！快！2.2.求下列直角三角形中未知邊的長求下列直角三角形中未知邊的長: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小結(jié)方法小結(jié):8 8x x171716162020 x x1234x =13c、如圖、如圖, ,一個高一個高3 3 米米, ,寬寬4 4 米的大門米的大門, ,需在相需在相對角的頂點間加一個加固木條對角的頂點間加一個加固木條, ,則木條的長則木條的長為為( )( )a.3a.3米米 b.4b.4米米 c.5c.5米米 d.6d.

8、6米米c2.直角三角形的兩邊長分別為3、4，例例1 如圖所示，為了求出湖兩岸的如圖所示，為了求出湖兩岸的a、b兩點間兩點間的距離，一個觀測者在點的距離，一個觀測者在點c設(shè)樁，使三角形設(shè)樁，使三角形abc恰恰好為直角三角形通過測量，得到好為直角三角形通過測量，得到ac的長為的長為160米，米，bc長為長為128米問從點米問從點a穿過湖到點穿過湖到點b有多遠(yuǎn)？有多遠(yuǎn)？ 答答： 從點a穿過湖到點b有96米。解： 在直角三角形abc中， ac=160米，bc=128米，根據(jù)勾股定理可得 22bc-acab 22128160 米米96 9 9米米 在臺風(fēng)在臺風(fēng)“麥莎麥莎”的襲擊中，一棵大的襲擊中，一棵大

9、樹在離地面樹在離地面9 9米處米處斷裂，樹的頂部落斷裂，樹的頂部落在離樹根底部在離樹根底部1212米米處。這棵樹折斷之處。這棵樹折斷之前有多高？前有多高？1212米米15米米美國第二十任美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)巧證勾股定理總統(tǒng)巧證勾股定理 12s梯形梯形= (a+b)(a+b) = (a2+b2)+ ab12s梯形梯形 = c2 +2 ab = c2+ab 121212即：在即：在rtabc中，中，c=90 c2 = a2 + b211美麗的勾股樹美麗的勾股樹練習(xí)練習(xí)2、求出下列直角三角形中未知邊的長度、求出下列直角三角形中未知邊的長度222135 x22513 x2212 y

10、51312xy12222513 x251693144勾股定理勾股定理課堂練習(xí)1、求下列直角三角形中未知邊x的長158x =17x2524=768x =10412x =1353如圖，要登上如圖，要登上8米米高的建筑物高的建筑物bc，為了安，為了安全需要，需使梯子底端離建筑物距離全需要，需使梯子底端離建筑物距離ab為為6米米，問至少需要多長的梯子？，問至少需要多長的梯子？8mbca6m解：解：在在rtabc中中abc=90, bc=8，ab=6ac2= 62 + 82 =36+64 =100ac=10答：梯子至少長答：梯子至少長10米米。p pqqc c圖乙圖乙2.2.觀察圖乙，小方格觀察圖乙，小

11、方格的邊長為的邊長為1.1.9 916162525s sp p+s+sqq=s=sr r1 11 12 2圖甲圖甲 圖乙圖乙p p的面積的面積qq的面積的面積r r的面積的面積r rqqp pr rs sp p+s+sq q=s=sr r圖甲圖甲“割割”“補補”qqp pr r圖甲圖甲 圖乙圖乙p p的面積的面積qq的面積的面積r r的面積的面積1 11 12 2s sp p+s+sq q=s=sr rc c圖甲圖甲1.1.觀察圖甲，小方格觀察圖甲，小方格的邊長為的邊長為1.1.正方形正方形a a、b b、c c的的面積各為多少？面積各為多少？正方形正方形p p、q q、r r的的 面積有什么

12、關(guān)系？面積有什么關(guān)系？p pqq圖乙圖乙2.2.觀察圖乙，小方格觀察圖乙，小方格的邊長為的邊長為1.1.9 916162525s sp p+s+sqq=s=sr r4 44 48 8p pqqr rs sp p+s+sq q=s=sr r圖甲圖甲圖甲圖甲 圖乙圖乙p p的面積的面積qq的面積的面積r r的面積的面積a ac ca ab bc cr rb b3.3.猜想猜想a a、b b、c c 之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？a2 +b2 =c2. .在在rtrtabcabc中，中，=90=90 已知：已知：a=40a=40，c=41c=41，求，求b b(1)(1)已知已知: a:b=3:4, c=

13、15,: a:b=3:4, c=15,求求a a、b.b.(1)在直角三角形中在直角三角形中,已知兩邊已知兩邊,可求第三邊可求第三邊;(2)可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法方法小結(jié)小結(jié)abccab例題例題2 : 如圖，將長為如圖，將長為5米的梯子米的梯子ac斜靠斜靠在墻上，在墻上，bc長為長為2米，求梯子上端米，求梯子上端a到到墻的底端墻的底端b的距離的距離ab. 解解:在在rtabc中中abc=90,bc=2,ca=5,根據(jù)勾股定理得根據(jù)勾股定理得 = = （米）（米） 222225 bcacab21如圖，一根電線桿在離地面如圖，一根電線桿在離地面5 5米處斷裂，米處斷裂，電線

14、桿頂部落在離電線桿底部電線桿頂部落在離電線桿底部1212米處，電米處，電線桿折斷之前有多高？線桿折斷之前有多高？ 電線桿折斷之前的高度電線桿折斷之前的高度 =bc+ab=5=bc+ab=5米米+ +米米米米5米米bac12米米解：解：c c， 在在t t中，中， ，, , 根據(jù)勾股定理，根據(jù)勾股定理，22222212516913abacbcabab即、湖的兩端有、湖的兩端有a a、兩點，從與、兩點，從與a a方向成直方向成直角的角的bcbc方向上的點方向上的點c c測得測得ca=130ca=130米米,cb=120,cb=120米米, ,則則abab為為( )( )abca.50a.50米米

15、b.120b.120米米 c.100c.100米米 d.130d.130米米130120?a（1）本節(jié)課你學(xué)到了什么新知識）本節(jié)課你學(xué)到了什么新知識?（2）勾股定理只能用在什么形中？）勾股定理只能用在什么形中？它可以用來解決什么問題？它可以用來解決什么問題？（3）請說出勾股定理得表達(dá)式？）請說出勾股定理得表達(dá)式？課堂小結(jié)課堂小結(jié)勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理 1. 已知中，已知中，b90， ac13cm， 5 cm,求的長求的長2. 已知等腰直角三角形斜邊的長為已知等腰直角三角形斜邊的長為2cm，求這個三角形的直角邊求這個三角形的直角邊 兩千多年前，古希臘有個哥拉兩千多年前，古希臘有個哥拉

16、斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多

17、年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前國家之一。早在三千多年前 兩千多年前，古希臘有個畢達(dá)哥拉斯兩千多年前，古希臘有個畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定國外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。 我國是最早了解勾股定理的我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周國家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等

18、于三，尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被記，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)中。中。這是這是19551955年希臘曾經(jīng)發(fā)行的年希臘曾經(jīng)發(fā)行的紀(jì)念一位數(shù)學(xué)家的郵票。紀(jì)念一位數(shù)學(xué)家的郵票。20022002年世界數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)年世界數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)1. 1.求下列圖中表示邊的未知數(shù)求下列圖中表示邊的未知數(shù)x x、y y、z z的值的值. .8181144144625625576576144144169169xyz勾股定理的證明方法證法一證法二證法三（鄒元治證明）（鄒元

19、治證明）（趙爽證明）（趙爽證明） 趙爽趙爽:我國古代數(shù)學(xué)家我國古代數(shù)學(xué)家走進(jìn)數(shù)學(xué)史延伸閱讀勾股定理的證明方法證法四證法五證法六（加菲爾德證明）（加菲爾德證明） 加菲爾德加菲爾德:第二十任總統(tǒng)第二十任總統(tǒng)（梅文鼎證明）（梅文鼎證明） 梅文鼎梅文鼎:清代天文、數(shù)學(xué)家清代天文、數(shù)學(xué)家（項明達(dá)證明）（項明達(dá)證明） 項明達(dá)項明達(dá):清代數(shù)學(xué)家清代數(shù)學(xué)家走進(jìn)數(shù)學(xué)史勾股定理的證明勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也

20、有尊貴的政要權(quán)貴，業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容甚至有國家總統(tǒng)。也許是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500500余種，僅我國余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。 在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因為證明者身份的

21、特殊而非常著名。有的因為證明者身份的特殊而非常著名。 現(xiàn)在在網(wǎng)絡(luò)上看到較多的是現(xiàn)在在網(wǎng)絡(luò)上看到較多的是1616種種, ,包括前面的包括前面的6 6種種, ,還有還有: : 歐幾里得證明歐幾里得證明、 利用相似三角形性質(zhì)證明利用相似三角形性質(zhì)證明、 楊作玫證明楊作玫證明、 李銳證明李銳證明、 利用切割線定理證明利用切割線定理證明、 利用多列米定理證明利用多列米定理證明、 作直角三角形的內(nèi)切圓證明作直角三角形的內(nèi)切圓證明、利用反證法證明利用反證法證明、 辛卜松證明辛卜松證明、 陳杰證明陳杰證明。走進(jìn)數(shù)學(xué)史美國第二十任美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)巧證勾股定理總統(tǒng)巧證勾股定理aabbcca

22、dcbe返回如圖，一根電線桿在離地面如圖，一根電線桿在離地面5 5米處斷裂，米處斷裂，電線桿頂部落在離電線桿底部電線桿頂部落在離電線桿底部1212米處，電米處，電線桿折斷之前有多高？線桿折斷之前有多高？5米米bac12米米一、情景引入一、情景引入電線桿折斷之前的高度電線桿折斷之前的高度=bc+ab=5=bc+ab=5米米+ab+ab的長的長1、求出下列直角三角形中未知邊的長度。6x25248x試一試試一試:2、在在abcabc中中, ,c=90c=90， a a 、 b b 、 c c 的對邊分的對邊分別為別為a a 、 b b 、 c, c,若若a=3a=3，b=4b=4，則，則c=c=；若

23、若a=5,c=13,a=5,c=13,則則b=b=；若若b=8b=8，c=17c=17，則，則a=a=；若若a=7,b=24,a=7,b=24,則則c=c=. .5121525abccba 分別以分別以5cm、12cm為直角三角形的直角邊作為直角三角形的直角邊作出一個直角三角形出一個直角三角形abc，測量斜邊的長度，然后，測量斜邊的長度，然后驗證上述關(guān)系對這個直角三角形是否成立。驗證上述關(guān)系對這個直角三角形是否成立。.如圖，小方格都是邊長為如圖，小方格都是邊長為1的正方形，的正方形，求四邊形求四邊形abcd的面積與周長的面積與周長. 53 2132 5efgh現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用：現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用：假期中，王強和

24、同學(xué)到某海島上去玩探寶游戲，按假期中，王強和同學(xué)到某海島上去玩探寶游戲，按照探寶圖，他們登陸后先往東走照探寶圖，他們登陸后先往東走8千米，又往北走千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走千米，遇到障礙后又往西走3千米，在折向北走到千米，在折向北走到6千米處往東一拐，僅走千米處往東一拐，僅走1千米就找到寶藏，問登陸千米就找到寶藏，問登陸點點a 到寶藏埋藏點到寶藏埋藏點b的距離是多少千米？的距離是多少千米？ab82361圖甲圖甲 圖乙圖乙a a的面積的面積b b的面積的面積c c的面積的面積4 44 48 8a ab bc cs sa a+s+sb b=s=sc cc c圖甲圖甲1.1.觀察圖甲，小方格觀察圖甲，小方格的邊長為的邊長為1.1.正方形正方形a a、b b、c c的的面積各為多少？面積各為多少？正方形正方形a a、b b、c c的的 面積有什么關(guān)系？面積有什么關(guān)系？a ab bc c c c圖乙圖乙2.2.觀察圖乙，小方格觀察圖乙，小方格的邊長為的邊長為1.1.正方形正方形a a、b b、c c的的面積各為多少？面積各為多少？9 916162525s sa a+s+sb b=s=sc c正方形正方形a a、b b、c c的的 面積有什么關(guān)系？面積有什