高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_難點(diǎn)22__軌跡方程的求法

1、難點(diǎn) 22 軌跡方程的求法求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問(wèn)題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問(wèn)題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn) . 難點(diǎn)磁場(chǎng)( )已知 a、b 為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)m 到 a 與到 b 的距離比為常數(shù),求點(diǎn) m 的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線. 案例探究例 1如圖所示，已知p(4， 0)是圓 x2+y2=36 內(nèi)的一點(diǎn)， a、 b 是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足apb=90，求

2、矩形apbq 的頂點(diǎn) q 的軌跡方程 . 命題意圖：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程，屬級(jí)題目. 知識(shí)依托：利用平面幾何的基本知識(shí)和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段ab 中點(diǎn)的軌跡方程. 錯(cuò)解分析：欲求q 的軌跡方程，應(yīng)先求r 的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題. 技巧與方法：對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程. 解：設(shè) ab 的中點(diǎn)為r，坐標(biāo)為 (x,y)，則在 rtabp 中， |ar|=|pr|. 又因?yàn)?r 是弦 ab 的中點(diǎn)，依垂徑定理：在rtoar 中

3、， |ar|2=|ao|2|or|2=36(x2+y2) 又|ar|=|pr|=22)4(yx所以有 (x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此點(diǎn) r 在一個(gè)圓上，而當(dāng)r 在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q 點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng). 設(shè) q(x,y)，r(x1,y1)，因?yàn)?r 是 pq 的中點(diǎn)，所以x1=20,241yyx, 代入方程x2+y24x10=0,得244)2()24(22xyx10=0 整理得： x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程. 例 2設(shè)點(diǎn) a 和 b 為拋物線y2=4px(p0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知oaob， omab，求點(diǎn) m 的軌跡方程，并說(shuō)明它表

4、示什么曲線.(2000 年北京、安徽春招) 命題意圖：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程，屬級(jí)題目. 知識(shí)依托：直線與拋物線的位置關(guān)系. 錯(cuò)解分析：當(dāng)設(shè)a、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)時(shí)，注意對(duì)“ x1=x2”的討論 . 技巧與方法：將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、 y 用其他相關(guān)的量表示出來(lái)，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y 的關(guān)系 . 解法一：設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),m(x,y)依題意，有112121212122112221211144xxyyxxyyxxyyxyxyxypxypxy得 (y1y2)(y1+y2)=4p(x1x2) 若 x1x2,則有2121

5、214yypxxyy3 ,得 y122 y22=16p2x1x2代入上式有y1y2=16p2代入，得yxyyp214代入，得pyxyyxxyyyyp442111121所以211214)(44ypxyypyyp即 4pxy12=y(y1+y2)y12y1y2、代入上式，得x2+y24px=0(x0) 當(dāng) x1=x2時(shí)， abx 軸，易得m(4p,0)仍滿足方程 . 故點(diǎn) m 的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)它表示以 (2p,0)為圓心，以2p 為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn). 解法二：設(shè)m(x,y)，直線 ab 的方程為y=kx+b由 omab，得 k=yx由 y2=4px 及 y=kx+b，

6、消去y,得 k2x2+(2kb4p)x+b2=0 所以 x1x2=22kb,消 x,得 ky24py+4pb=0 所以 y1y2=kpb4，由 oaob，得 y1y2=x1x2所以kpk4=22kb,b=4kp故 y=kx+b=k(x4p),用 k=yx代入，得x2+y24px=0(x0) 故動(dòng)點(diǎn) m 的軌跡方程為x2+y24px=0(x 0)，它表示以 (2p,0)為圓心，以2p 為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn). 例 3某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm 和一個(gè)直徑為1 cm 的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直徑為3 cm 的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問(wèn)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？

7、命題意圖：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，屬級(jí)題目. 知識(shí)依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點(diǎn). 錯(cuò)解分析：正確理解題意及正確地將此實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是順利解答此題的關(guān)鍵. 技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到動(dòng)圓圓心的軌跡方程. 解：設(shè)直徑為3,2,1 的三圓圓心分別為o、a、b，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩等圓p、 q,使它們與 o 相內(nèi)切，與 a、 b 相外切 . 建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)p 的半徑為r,則|pa|+|po|=1+r+1.5r=2.5 點(diǎn) p 在以 a、 o 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2.5 的橢圓上，其方程為3225)41(1622y

8、x=1 同理 p 也在以 o、b 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 的橢圓上，其方程為(x21)2+34y2=1 由、可解得)1412,149(),1412,149(qp， r=73)1412()149(2322故所求圓柱的直徑為76cm. 錦囊妙計(jì)求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法. (1)直接法直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程. (2)定義法若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求. (3)相關(guān)點(diǎn)法根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程. (4)參數(shù)法若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,

9、y)中的 x,y 分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程 . 求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.( )已知橢圓的焦點(diǎn)是f1、f2，p 是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)f1p 到 q，使得 |pq|=|pf2|，那么動(dòng)點(diǎn) q的軌跡是 ( ) a.圓b.橢圓c.雙曲線的一支d.拋物線2.( )設(shè) a1、a2是橢圓4922yx=1 的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，p1、p2是垂直于 a1a2的弦的端點(diǎn)， 則直線 a1p1與 a2p2交點(diǎn)的軌跡方程為( ) a.14922yxb.14922xyc.14

10、922yxd.14922xy二、填空題3.( )abc 中， a 為動(dòng)點(diǎn)， b、 c 為定點(diǎn)， b(2a,0),c(2a,0)，且滿足條件sincsinb=21sina,則動(dòng)點(diǎn) a 的軌跡方程為 _. 4.( )高為 5 m 和 3 m 的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距 10 m， 如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為a(5，0)、b(5，0)，則地面觀測(cè)兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_. 三、解答題5.( )已知 a、b、c 是直線 l 上的三點(diǎn)，且 |ab|=|bc|=6， o切直線l 于點(diǎn) a，又過(guò) b、c 作 o異于 l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)p，求點(diǎn) p 的軌跡方程 . 6.( )

11、雙曲線2222byax=1 的實(shí)軸為a1a2，點(diǎn) p 是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引a1qa1p，a2qa2p，a1q 與a2q 的交點(diǎn)為 q，求 q 點(diǎn)的軌跡方程 . 7.( )已知雙曲線2222nymx=1(m0,n0)的頂點(diǎn)為 a1、a2，與 y 軸平行的直線l 交雙曲線于點(diǎn)p、q. (1)求直線 a1p 與 a2q 交點(diǎn) m 的軌跡方程；(2)當(dāng) mn 時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率. 8.( )已知橢圓2222byax=1(ab 0),點(diǎn) p 為其上一點(diǎn)， f1、f2為橢圓的焦點(diǎn)，f1pf2的外角平分線為l，點(diǎn) f2關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn)為q，f2q 交 l 于點(diǎn) r. (1)

12、當(dāng) p 點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求r 形成的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn) r 形成的曲線為c，直線 l：y=k(x+2a)與曲線 c相交于 a、b 兩點(diǎn)，當(dāng) aob 的面積取得最大值時(shí)，求k 的值 . 參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|ab|=2a,則 a(a,0）,b(a,0). 設(shè) m(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn). 則由題設(shè)， 得|mbma= ,坐標(biāo)代入， 得2222)()(yaxyax=,化簡(jiǎn)得(12)x2+(1 2)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0 (1)當(dāng) =1 時(shí)，即 |ma|=|mb|時(shí)，點(diǎn) m 的軌跡方程是x=0，點(diǎn) m 的軌跡是直線 (y 軸 ). (2)當(dāng) 1 時(shí)，點(diǎn) m

13、 的軌跡方程是x2+y2+221)1(2ax+a2=0.點(diǎn) m 的軌跡是以(221)1(a，0）為圓心，|1|22a為半徑的圓 . 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、 1.解析： |pf1|+|pf2|=2a,|pq|=|pf2|, |pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a, 即|f1q|=2a,動(dòng)點(diǎn) q 到定點(diǎn) f1的距離等于定長(zhǎng)2a,故動(dòng)點(diǎn) q 的軌跡是圓 . 答案： a 2.解析：設(shè)交點(diǎn)p(x,y） ,a1(3,0),a2(3,0),p1(x0,y0),p2(x0,y0) a1、p1、 p 共線，300 xyxxyya2、p2、 p 共線，300 xyxxyy解得 x0=149,149,3,92

14、220200yxyxxyyx即代入得答案： c 二、 3.解析：由 sincsinb=21sina,得 c b=21a, 應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長(zhǎng)為2a,故方程為)4(1316162222axayax. 答案：)4(1316162222axayax4.解析：設(shè)p(x,y） ，依題意有2222)5(3)5(5yxyx,化簡(jiǎn)得 p 點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y285x+100=0. 答案： 4x2+4y285x+100=0 三、 5.解： 設(shè)過(guò) b、c 異于 l 的兩切線分別切o于 d、 e兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)p.由切線的性質(zhì)知： |ba|=|bd|， |pd|=|pe|，|ca|=|ce|，故 |pb

15、|+|pc|=|bd|+|pd|+|pc|=|ba|+|pe|+|pc| =|ba|+|ce|=|ab|+|ca|=6+12=18 6=|bc|，故由橢圓定義知，點(diǎn)p 的軌跡是以b、c 為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l 所在的直線為x 軸，以 bc 的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)p 的軌跡方程為728122yx=1(y 0) 6.解：設(shè) p(x0,y0）(x a),q(x,y). a1(a,0),a2(a,0). 由條件yaxyaxxxaxyaxyaxyaxy220000000)(11得而點(diǎn) p(x0,y0)在雙曲線上，b2x02 a2y02=a2b2. 即 b2(x2)a2(yax22)2=a2b

16、2化簡(jiǎn)得 q 點(diǎn)的軌跡方程為：a2x2b2y2=a4(x a). 7.解： (1)設(shè) p 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x1,y1)，則 q 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x1,y1),又有 a1(m,0),a2(m,0), 則 a1p 的方程為： y=)(11mxmxya2q 的方程為： y=)(11mxmxy3得：y2=)(2222121mxmxy又因點(diǎn) p 在雙曲線上，故).(, 12212221221221mxmnynymx即代入并整理得2222nymx=1.此即為 m 的軌跡方程 . (2)當(dāng) mn 時(shí)， m 的軌跡方程是橢圓. ()當(dāng) mn 時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(22nm,0)，準(zhǔn)線方程為x=222nmm,離心率 e=mnm22；()當(dāng) mn 時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,22nm),準(zhǔn)線方程為y=222mnn,離心率 e=nmn22. 8.解： (1)點(diǎn) f2關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn)為q，連接 pq， f2pr= qpr，|f2r|=|qr|，|pq|=|pf2| 又因?yàn)?l 為 f1pf2外角的平分線，故點(diǎn)f1、 p、q 在同一直線上，設(shè)存在r(x0,y0） ,q(x1,y1),f1(c,0),f2(c,0). |f1q|=|f2p|