高考熱點(diǎn)問題和解題策略之探索性問題

1、二、探索性問題近年來，隨著社會主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)的迅速發(fā)展，要求學(xué)校由“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)全面發(fā)展的開拓型、創(chuàng)造型人才。在這種要求下，數(shù)學(xué)教學(xué)中開放型問題隨之產(chǎn)生。于是，探索性問題成了近幾年來高考命題中的熱點(diǎn)問題，它既是高等學(xué)校選拔高素質(zhì)人材的需要，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生具有創(chuàng)造能力、開拓能力的任務(wù)所要求的。實(shí)際上，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，知識的形成過程也是觀察、分析、歸納、類比、猜想、概括、推證的探索過程，其探索方法是學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)和掌握的，是今后數(shù)學(xué)教育的重要方向。一般地，對于雖給出了明確條件，但沒有明確的結(jié)論，或者結(jié)論不穩(wěn)定，需要探索者通過觀察、分析、歸納出結(jié)論或判斷結(jié)論的問題（

2、探索結(jié)論）；或者雖給出了問題的明確結(jié)論，但條件不足或未知，需要解題者尋找充分條件并加以證明的問題（探索條件），稱為探索性問題。此外，有些探索性問題也可以改變條件，探討結(jié)論相應(yīng)發(fā)生的變化；或者改變結(jié)論，探討條件相應(yīng)發(fā)生的變化；或者給出一些實(shí)際中的數(shù)據(jù)，通過分析、探討解決問題。探索性問題一般有以下幾種類型：猜想歸納型、存在型問題、分類討論型。猜想歸納型問題是指在問題沒有給出結(jié)論時，需要從特殊情況入手，進(jìn)行猜想后證明其猜想的一般性結(jié)論。它的思路是：從所給的條件出發(fā)，通過觀察、試驗(yàn)、不完全歸納、猜想，探討出結(jié)論，然后再利用完全歸納理論和要求對結(jié)論進(jìn)行證明。其主要體現(xiàn)是解答數(shù)列中等與n 有關(guān)數(shù)學(xué)問題。存

3、在型問題是指結(jié)論不確定的問題，即在數(shù)學(xué)命題中，結(jié)論常以“是否存在”的形式出現(xiàn)，其結(jié)果可能存在，需要找出來，可能不存在，則需要說明理由。解答這一類問題時，我們可以先假設(shè)結(jié)論不存在，若推論無矛盾，則結(jié)論確定存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在。代數(shù)、三角、幾何中，都可以出現(xiàn)此種探討“是否存在”類型的問題。分類討論型問題是指條件或者結(jié)論不確定時，把所有的情況進(jìn)行分類討論后，找出滿足條件的條件或結(jié)論。此種題型常見于含有參數(shù)的問題，或者情況多種的問題。探索性問題，是從高層次上考查學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的新題型，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是解決這類問題的橋梁和向?qū)?，通常需要綜合運(yùn)用歸納與猜想、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類

4、討論、等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法才能得到解決，我們在學(xué)習(xí)中要重視對這一問題的訓(xùn)練，以提高我們的思維能力和開拓能力。、再現(xiàn)性題組：1. 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式122232 n(n1)2n n()112(an2 bnc) 對一切自然數(shù)n 都成立？并證明你的結(jié)論。（89 年全國理）2. 已知數(shù)列811322，823522，8212122nnn()()，。 sn為其前n 項(xiàng)和，求s1、s2、s3、s4，推測 sn公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。（93 年全國理）【簡解】 1 題：令n1、2、3 代入已知等式列出方程組，解得a3、b11、c10，猜測 a、b、 c的值對所有的n n 都成立，

5、再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。（屬于是否存在型問題，也可屬于猜想歸納型問題）2 題：計算得到s189、s22425、s34849、s48081，觀察后猜測sn()()2112122nn，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。、示范性題組：【例 1】已知方程kx2y24，其中k 為實(shí)數(shù)，對于不同范圍的k 值，分別指出方程所代表圖形的類型，并畫出曲線簡圖。（78 年全國高考題）【分析】 由圓、橢圓、雙曲線等方程的具體形式，結(jié)合方程kx2y24 的特點(diǎn)，對參數(shù)k 分 k1、 k1、0k1、k0、k1、k1、0k1、k0、 k1 時，表示橢圓，其中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y 軸上， a2，b2k; 當(dāng) k1 時，表示圓，圓心

6、在原點(diǎn)，r 2； 當(dāng) 0k1 時，表示橢圓，其中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上， a2k，b2； 當(dāng) k0 時，表示兩條平行直線 y 2； 當(dāng) k0 時，表示雙曲線，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y 軸上。所有五種情況的簡圖依次如下所示：【注】分類討論型問題，把所有情況分類討論后，找出滿足條件的條件或結(jié)論?！纠?2】給定雙曲線x2y221， 過點(diǎn) a(2,0) 的直線l 與所給雙曲線交于p1及 p2，求線段p1p2的中點(diǎn) p的軌跡方程； 過點(diǎn) b(1,1) 能否作直線m，使 m與所給雙曲線交于兩點(diǎn)q1、q2，且點(diǎn)b 是線段 q1、q2的中點(diǎn)？這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由。（81 年全

7、國高考題）【分析】 兩問都可以設(shè)直線l 的點(diǎn)斜式方程，與雙曲線方程聯(lián)立成方程組，其解就是直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用韋達(dá)定理求解中點(diǎn)坐標(biāo)等?！窘狻吭O(shè)直線 l：yk(x 2) yk xxy()22122消 y 得(2 k2)x2 4k2x(2 4k2) 0 x1x24222kkxp2222kk代入直線l 得： yp422kky y y y y x x x x x xkkykk2242222消 k 得 2x24xy20 即()x1122y221 線段 p1p2的中點(diǎn) p的軌跡方程是：()x1122y221 設(shè)所求直線m的方程為： yk(x 1) 1 yk xxy() 112122消 y 得(2 k

8、2)x2(2k22k)x 2kk230 x1x222222kkk2 2 k2 代入消 y 后的方程計算得到：0，解得 ak 124k4(k 1) 2，所以 nk 1 時，結(jié)論也成立。綜上所述，上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n 都成立。 設(shè) cnbn112（aann1aann 1） 112（4242nn4242nn2）12 （2121nn1） (2121nn1) 121n121nb1b2 bn n c1 c2 cn（ 113）+（1315） (121n121n) 1121nlimn(b1b2 bnn) limn(1 121n)1 【注】本題求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于猜想歸納型問題，其一般思路是：從最簡單、最

9、特殊的情況出發(fā)，推測出結(jié)論，再進(jìn)行嚴(yán)格證明。第問對極限的求解，使用了“裂項(xiàng)相消法”，設(shè)立新的數(shù)列cn具有一定的技巧性。此外，本題第問數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，屬于給出數(shù)列中sn與 an的函數(shù)關(guān)系式求an，對此類問題我們還可以直接求解，解答思路是由an 1sn 1 sn的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，再發(fā)現(xiàn)數(shù)列的特征或者通過構(gòu)造新的數(shù)列求解。具體的解答過程是：由題意有an222sn，整理得到sn18(an2)2，所以 sn 118(an 12)2， an 1sn 1sn18(an 12)2(an2)2 整理得到 (an 1an)( an 1an4) 0 由題意 an0 可以得到： an 1an40

10、, 即 an 1an4 數(shù)列 an 為等差數(shù)列，其中a12，公差 d4，即通項(xiàng)公式為an4n2?！纠?4】 已知 x10，x1 1，且 xn 1xxxnnn()22331 (nn)，比較 xn與 xn 1的大小。 (86 年全國理 ) 【分析】比較xn與 xn 1的大小，采用“作差法”，判別差式的符號式，分情況討論?！窘狻?xn 1xnxxxnnn()22331xn213122xxxnnn()由 x10 及數(shù)列 xn 的定義可知，xn0，所以 xn 1xn與 1xn2的符號相同。假定 x10；假設(shè) n k 時 1xk20，那么當(dāng) nk 1 時，1 xk 12 1 xxxkkk()223312(

11、)()1312322xxkk0，因此對一切自然數(shù)n 都有1 xn20, 即xn1，當(dāng) n1 時， 1x120；假設(shè) n k 時 1xk20，那么當(dāng) nk 1 時，1 xk 12 1 xxxkkk()223312()()1312322xxkk0，因此對一切自然數(shù)n 都有1 xn20, 即xnxn 1。所以，對一切自然數(shù)n 都有 xnxn 1?！咀ⅰ勘绢}對1xn2的符號的探討，由于其與自然數(shù)n 有關(guān)，考慮使用數(shù)學(xué)歸納法解決。一般地，探索性問題與自然數(shù)n 有關(guān)時，我們可以用歸納猜想證明的方法解出。、鞏固性題組：1. 設(shè) an 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，sn是前n 項(xiàng)和。 . 證明：lglgssnn 220，使得lg()lg()scscnn220)，an2111aann (n 2，nn)。 用 a 表示 a2、 a3、a4； 猜想 an的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論。6. 在 abc中， a、 b、 c 的對邊分別是a、b、c，且b、 a、c 成等差數(shù)列，bc。已知 b(-1,0)、c(1,0) 。 求頂點(diǎn) a的軌跡 l； 是否存在直線m ，使 m過點(diǎn) b并與曲線l交于不同的兩點(diǎn)p、 q且 |pq| 恰好等于原點(diǎn)o到直線 m