工程振動(dòng) 第一章(2)ch1b

1、2021年11月20日2單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)2021年11月20日3單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)2021年11月20日4 線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)設(shè)tieFtF0)(0F外力幅值外力幅值外力的激勵(lì)頻率外力的激勵(lì)頻率tieFkxxcxm0 振動(dòng)微分方程：振動(dòng)微分方程：tFcos0 x 為復(fù)數(shù)變量，分別與為復(fù)數(shù)變量，分別與 和和 相對(duì)應(yīng)相對(duì)應(yīng) tFsin0實(shí)部和虛部分別與實(shí)部和虛部分別與 和和 相對(duì)應(yīng)相對(duì)應(yīng) tFsin0tFcos0 mxcxm kx)(tF單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系

2、統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)受力分析受力分析kcx0m)(tF2021年11月20日5tFkxxcxmsin0 振動(dòng)微分方程：振動(dòng)微分方程：顯含時(shí)間顯含時(shí)間 t非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程通解通解齊次微分方程齊次微分方程通解通解非齊次微分方程非齊次微分方程特解特解阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)逐漸衰減逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)等幅振動(dòng)持續(xù)等幅振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)2021年11月20日6tFkxxcxmsin0 振動(dòng)微分方程：振動(dòng)微分方程：設(shè)：

3、設(shè)：txxsin(代入一般形式，通過系數(shù)對(duì)比有：代入一般形式，通過系數(shù)對(duì)比有：tfxxxsin20200 其一般形式為：mk0kmc2kFB0引入：引入：0s222)2()1 (1)(sss2112)(sstgs振幅放大因子振幅放大因子相位差相位差則：則： ：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅 x靜變形靜變形單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)222204)(nfx0212ntg) sBx)tsBxsin()2021年11月20日7222)2()1 (1)(sss)sin()sin( 0tAtkFx穩(wěn)態(tài)解2112)(sstgs2220)2()1

4、 (1 sskFA振幅結(jié)論：結(jié)論：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)tFkxxcxmsin0 振動(dòng)微分方程：振動(dòng)微分方程：2021年11月20日8單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)2021年11月20日9 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性以以s為橫坐標(biāo)畫出為橫坐標(biāo)畫出 曲線曲線 )(s222)2()1 (1)(sss幅頻特性曲線幅頻特性曲線 簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性：簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性： （1）當(dāng)）當(dāng)s1（ ） 01激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很低激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很低 結(jié)論：響應(yīng)的振幅結(jié)論：響應(yīng)的振幅 A 與靜位移與靜位移

5、 B 相當(dāng)相當(dāng) 0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性)sin()sin( 0tAtkFx穩(wěn)態(tài)解2021年11月20日10 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性222)2()1 (1)(sss（2）當(dāng)）當(dāng)s1（ ） 00激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很高激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很高 結(jié)論：響應(yīng)的振幅結(jié)論：響應(yīng)的振幅 很小很小0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性)sin()sin( 0tAt

6、kFx穩(wěn)態(tài)解2021年11月20日11 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性（3）在以上兩個(gè)領(lǐng)域）在以上兩個(gè)領(lǐng)域 s1，s1結(jié)論：系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的結(jié)論：系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的 對(duì)應(yīng)于不同對(duì)應(yīng)于不同 值值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著 222)2()1 (1)(sss0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性2021年11月20日12 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性結(jié)論：共振結(jié)論：共振 振幅無窮大振幅無窮大222)2()1 (1)(sss（

7、4）當(dāng)）當(dāng)1s0對(duì)應(yīng)于較小對(duì)應(yīng)于較小 值，值， 迅速增大迅速增大 )(s當(dāng)當(dāng)0)(s但共振對(duì)于來自阻尼的影響很敏感，在但共振對(duì)于來自阻尼的影響很敏感，在 s=1 附近的區(qū)域內(nèi)，附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降增加阻尼使振幅明顯下降 0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性2021年11月20日13 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性222)2()1 (1)(sss（5）對(duì)于有阻尼系統(tǒng)，）對(duì)于有阻尼系統(tǒng)， 并不并不出現(xiàn)在出現(xiàn)在s=1處，而且稍偏左處，而且稍偏左 max0dsd2max121221

8、s0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性2021年11月20日14 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性222)2()1 (1)(sss（6）當(dāng)）當(dāng)2/11振幅無極值振幅無極值 0123012345)(ss01 . 025. 0375. 05 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性2021年11月20日15 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性222)2()1 (1)(sss211sQ記：記：品質(zhì)因子品質(zhì)因子 在共振峰的兩側(cè)取與在共振峰的兩側(cè)取與 對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的兩

9、點(diǎn) ， 2/Q1212帶寬帶寬Q與與 有關(guān)系有關(guān)系 ：0Q阻尼越弱，阻尼越弱，Q越大，帶越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭寬越窄，共振峰越陡峭 s2Q2/Q01021單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性2021年11月20日16 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性相頻特性曲線相頻特性曲線 （1）當(dāng)）當(dāng)s1（ ） 0位移與激振力反相位移與激振力反相 （3）當(dāng)）當(dāng)1s0共振時(shí)的相位差為共振時(shí)的相位差為 ，與阻尼無關(guān)，與阻尼無關(guān) 2)(s0123090180s單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性2021年11月20日17有阻尼單自由度系統(tǒng)有

10、阻尼單自由度系統(tǒng)外部作用力規(guī)律：外部作用力規(guī)律：tFtFcos)(0假設(shè)系統(tǒng)固有頻率：假設(shè)系統(tǒng)固有頻率：10從左到右：從左到右：6 . 1,01. 1, 4 . 0單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性0 0 0 2021年11月20日18單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)2021年11月20日19 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段在系統(tǒng)受到激勵(lì)開始振動(dòng)的初始階段，其自由振動(dòng)伴隨受迫在系統(tǒng)受到激勵(lì)開始振動(dòng)的初始階段，其自由振動(dòng)伴隨受迫振動(dòng)同時(shí)發(fā)生。系統(tǒng)的響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊加振動(dòng)同時(shí)發(fā)生。系統(tǒng)的響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊加 t)Fkxxc

11、xmsin(0 顯含顯含 t，非齊次微分方程，非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程通解通解齊次微分方程齊次微分方程通解通解非齊次微分方程非齊次微分方程特解特解阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)逐漸衰減逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)等幅振動(dòng)持續(xù)等幅振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)回顧：回顧：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日20 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段考慮無阻尼的情況考慮無阻尼的情況 tFkxxmsin0 正弦激勵(lì)正弦激勵(lì)0)0(xx0)0(xxtBxxsin2020 kFB0tsBtctctxsin1sincos)(20201通

12、解：通解：齊次通解齊次通解非齊次特解非齊次特解0s21cc、初始條件決定初始條件決定 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日21tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xxtsBtctctxsin1sincos)(202010)0(xx01xc 0)0(xx2021)0(sBcx 20021sBsxc tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 初始條件響應(yīng)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)特點(diǎn)：以系統(tǒng)特點(diǎn)：以系統(tǒng)固有頻率為振固有頻率為振動(dòng)頻率動(dòng)頻率單自由度

13、系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日22tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 初始條件響應(yīng)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)如果是零初始條件如果是零初始條件tsBtsBstxtxtxsin1sin1)()()(20221自由伴隨振動(dòng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日23零初始條件零初始條件tsBtsBstxtxtxsin1sin1)()()(20221(2) s

14、1)(0)(0TT (1) s 1)(0)(0TT 穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)進(jìn)行一個(gè)循環(huán)時(shí)間內(nèi)，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)進(jìn)行一個(gè)循環(huán)時(shí)間內(nèi)，自由伴隨振動(dòng)完成多個(gè)循環(huán)自由伴隨振動(dòng)完成多個(gè)循環(huán)自由伴隨振動(dòng)進(jìn)行一個(gè)循環(huán)時(shí)間自由伴隨振動(dòng)進(jìn)行一個(gè)循環(huán)時(shí)間內(nèi)，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)完成多個(gè)循環(huán)內(nèi)，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)完成多個(gè)循環(huán)受迫振動(dòng)響應(yīng)成為自由振動(dòng)響應(yīng)受迫振動(dòng)響應(yīng)成為自由振動(dòng)響應(yīng)曲線上迭加的一個(gè)振蕩運(yùn)動(dòng)曲線上迭加的一個(gè)振蕩運(yùn)動(dòng)受迫振動(dòng)響應(yīng)成為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線受迫振動(dòng)響應(yīng)成為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線上迭加的一個(gè)振蕩運(yùn)動(dòng)上迭加的一個(gè)振蕩運(yùn)動(dòng)0/2/20t)(tx0/2/20t)(tx穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)全響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振

15、動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日24零初始條件零初始條件tsBtsBstxtxtxsin1sin1)()()(202210/2/20t)(tx單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日25由于系統(tǒng)是線性的，也可利用疊加定理求解由于系統(tǒng)是線性的，也可利用疊加定理求解 000)0()0(sinxxxxtFkxxm ， 0020)0()0(0 xxxxxx ， 0)0(0)0(sin2020 xxtBxx ，txtxtx000001sincos)(tsBtsBstxsin1sin1)(2022 )()()(21txtx

16、tx通解：通解：tsBtsBstxtxsin1sin1sincos20200000初始條件響應(yīng)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日26tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 )sin(sin1sincos 0200000tstsBtxtx tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xx實(shí)際中總是存在著阻尼的影響，因而上式右端的暫態(tài)運(yùn)動(dòng)會(huì)實(shí)際中總是存在著阻尼的影響，因而上式右端的暫態(tài)運(yùn)動(dòng)會(huì)逐漸衰減，進(jìn)而消失，最終系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)

17、響應(yīng)逐漸衰減，進(jìn)而消失，最終系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日2700 x例：例：計(jì)算初始條件，以使計(jì)算初始條件，以使tFkxxmsin0 的響應(yīng)只以頻率的響應(yīng)只以頻率 振動(dòng)振動(dòng)解：解：tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 的全解：的全解：tFkxxmsin0 如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以 為頻率振動(dòng)為頻率振動(dòng)必須成立：必須成立：2001sBsx初始條件：初始條件：00 x2001sBsxkFB00s單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)

18、 / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日28例：例：計(jì)算初始條件，以使計(jì)算初始條件，以使tFkxxmcos0 的響應(yīng)只以頻率的響應(yīng)只以頻率 振動(dòng)振動(dòng)解：解：tsBtctctxcos1sincos)(20201的全解：的全解：tFkxxmcos0 tsBtsBstxtxtxtxtxcos1sin1sincos)()()(2020000021正確？正確？tsin全解：全解：由由0)0(xx2011sBxctsBtctctxcos1cossin)(2002001求一階導(dǎo)數(shù)：求一階導(dǎo)數(shù)：由由0)0(xx020cx 002/xc單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振

19、動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日29tsBtctctxcos1sincos)(20201全解：全解：2011sBxc002xc因此：因此：tsBtxtsBxtxcos1sincos)1()(2000020tsBtsBtxtxcos1cos1sincos20200000的全解：的全解：tFkxxmsin0 tsBtsBstxtxtxsin1sin1sincos)(20200000相同相同不同不同單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日30例：例：計(jì)算初始條件，以使計(jì)算初始條件，以使tFkxxmcos0 的響應(yīng)只以

20、頻率的響應(yīng)只以頻率 振動(dòng)振動(dòng)全解：全解：tsBtsBtxtxtxcos1cos1sincos)(20200000如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以如果要使系統(tǒng)響應(yīng)只以 為頻率振動(dòng)為頻率振動(dòng)初始條件：初始條件：00 x 201sBx 0單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日31若激勵(lì)頻率與固有頻率十分接近若激勵(lì)頻率與固有頻率十分接近 0s令：令：21s 小量小量 )sin(sin1)(02tstsBtx tsBtsBstxtxtxtxtxsin1sin1sincos)()()(2020000021 )sin(sin1sincos 0200000

21、tstsBtxtx 考慮零初始條件，有：考慮零初始條件，有：tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xx1單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日32)sin(sin1)(02tstsBtx 代入：代入：21s )sin(sin) 144(102tstB ttB00cossin2 )sin(sin40tstB sin)21sin(400ttB )sin2sincos2cos(sin400000tttttB ttB002sincos4 tttB000cossin2cos4 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過

22、渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日33ttBtx00cossin2)( 可看作頻率為可看作頻率為 但振幅按但振幅按 規(guī)律緩慢變化的振動(dòng)規(guī)律緩慢變化的振動(dòng) 0tB0sin2這種在接近共振時(shí)發(fā)生的特殊振動(dòng)現(xiàn)象稱為這種在接近共振時(shí)發(fā)生的特殊振動(dòng)現(xiàn)象稱為”拍拍”02BtB0sin202tB0sin20t)(tx0拍的周期：拍的周期：tB0sin2 圖形包絡(luò)線：圖形包絡(luò)線： 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日340當(dāng)當(dāng)ttBtx00cossin2)(隨隨 t 增大，振幅無限增大，無阻尼系統(tǒng)共振的情形增大，振幅無限增大，無阻

23、尼系統(tǒng)共振的情形 0)(txttB021tB021 ttB00cos21 響應(yīng)曲線響應(yīng)曲線21sttB00cos2單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日35討論有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)討論有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng) 000)0(,)0(sinxxxxtFkxxcxm )sin(sin)cossin(cossin )sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddtmk0kmc2201d0skFB0222)2()1 (1ss2112sstg初始條件響應(yīng)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)自由伴

24、隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)利用前述相同的方法，有：利用前述相同的方法，有：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日36)sin(sin)cossin(cossin )sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始條件響應(yīng)初始條件響應(yīng)經(jīng)過充分長(zhǎng)時(shí)間后，作為瞬態(tài)響應(yīng)的前兩種振動(dòng)都將消失，經(jīng)過充分長(zhǎng)時(shí)間后，作為瞬態(tài)響應(yīng)的前兩種振動(dòng)都將消失，只剩穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)只剩穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng) 自由伴隨振動(dòng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)0)(txt0 x強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)全響應(yīng)全響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受

25、迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日37)sin(sin)cossin(cossin )sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始條件響應(yīng)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng))sin(sin)cossin(cossin)(00tBtsteBtxdddt0)0(x0)0(x 對(duì)于零初始條件：對(duì)于零初始條件：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 受迫振動(dòng)的過渡階段受迫振動(dòng)的過渡階段2021年11月20日38單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)2021年11月20日39 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受

26、迫振動(dòng)背景：地基振動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)背景：地基振動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)特點(diǎn)：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例特點(diǎn)：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例 xfkc1xmx0mkxxfc1x單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)mxc2k2kte2021年11月20日40 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)背景：地基振動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)背景：地基振動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)特點(diǎn)：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例特點(diǎn)：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例 tifDetx)(坐標(biāo)：坐標(biāo)：動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)

27、方程： 0)(111kxxcxxmf 基座位移規(guī)律基座位移規(guī)律 ：x1 相對(duì)基座位移相對(duì)基座位移)(1fxxm 1kx1xcmm)(1fxxm 1xc1kx受力分析受力分析xfkc1xmx0mkxxfc1xD：基座位移振幅：基座位移振幅單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)tiemDkxxcxm2111 2021年11月20日41tiemDkxxcxm2111 tieFkxxcxm0 )(tiBexkFB0222)2()1 (1ss2112)(sstgs回顧：回顧：令：令：02FmD)(11tiBex)(01tiekF )(21tiekm

28、D)(22221)2()1 ( tiDesss)(11tiDe有：有：22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs其中：其中：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)xfkc1xmx0mk200s2021年11月20日42tiemDkxxcxm2111 )(111tiDex22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs0s0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 )(1ss1 0 0190180s)(1s幅頻曲線幅頻曲線相頻曲線相頻曲線單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫

29、振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2021年11月20日43系統(tǒng)固有頻率從左到右：系統(tǒng)固有頻率從左到右：63. 0, 0 . 1, 6 . 1000單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 )(1ss1 0 0190180s)(1s支撐運(yùn)動(dòng)：支撐運(yùn)動(dòng)：tDtxfsin)(001. 1D)(111tiDex22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgsD如何分析如何分析s1，s1，s=1?2021年11月20日44若以絕對(duì)位移若以絕對(duì)位移 x 為坐標(biāo)為坐標(biāo)fxxx1titiDeDex)

30、(11)(111tiDextifDetx)(其中：其中：則有：則有：)(111)(tiiDee22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs0sxfkc1xmx0mkxxfc1x單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2021年11月20日45)sin(cos)2()1 (11222211isssei22222)2()1 ()2(1sss)2(12stg)(111)(tiiDeex22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs22222222222)2()1 (2)2()1 (1)2()1 (sssissssss

31、222)2()1 (21sssi22222)2()1 ()2(1iesss22ie22222)2(1)2()1 (1iesss單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2021年11月20日46)(111)(tiiDeex2121iiee22222)2()1 ()2(1sss)2(12stg)(2)(221titiDeDex21代入：代入：tiesDx211無阻尼情況：無阻尼情況：22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgsxfkc1xmx0mkxxfc1x單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)

32、簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2021年11月20日4722222)2()1 ()2(1sss)(2)(221titiDeDex幅頻曲線幅頻曲線01010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 )(2ss2可看出：可看出：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2s12振幅恒為支撐運(yùn)動(dòng)振幅振幅恒為支撐運(yùn)動(dòng)振幅D當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2s12振幅恒小于振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大增加阻尼反而使振幅增大xfkc1xmx0mkxxfc1x單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2021年11月20日48例：例：汽車的拖車在波形道汽車的拖車在波形道路上行駛路上行駛已知拖車的質(zhì)

33、量滿載已知拖車的質(zhì)量滿載時(shí)為時(shí)為 m1=1000 kg空載時(shí)為空載時(shí)為 m2=250 kg懸掛彈簧的剛度為懸掛彈簧的剛度為 k =350 kN/m阻尼比在滿載時(shí)為阻尼比在滿載時(shí)為5 . 01車速為車速為 v =100 km/h路面呈正弦波形，可表示為路面呈正弦波形，可表示為lzaxf2sin求：求： 拖車在滿載和空載時(shí)的振幅比拖車在滿載和空載時(shí)的振幅比l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2021年11月20日49解：解：汽車行駛的路程可表示為：汽車行駛的路程可表示為：路面的激勵(lì)頻

34、率：路面的激勵(lì)頻率：tlvaxf2sinvtz srad /9 .34kmccr202mc得：得：kmcccr2c、k 為常數(shù)，因此為常數(shù)，因此 與與 成反比成反比m因此得到空載時(shí)的阻尼比為：因此得到空載時(shí)的阻尼比為：2112mm滿載和空載時(shí)的頻率比：滿載和空載時(shí)的頻率比：011s93. 02022kms因?yàn)橛校阂驗(yàn)橛校簡(jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)l =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz滿載滿載: m1=1000 kg空載空載: m2=250 kg5 . 01車速車速 : v =100 km/hlzaxf2sinlv20

35、. 1k =350 kN/mkm187. 12021年11月20日50滿載時(shí)頻率比滿載時(shí)頻率比記：滿載時(shí)振幅記：滿載時(shí)振幅 B1，空載時(shí)振幅，空載時(shí)振幅 B2有：有：滿載時(shí)阻尼比滿載時(shí)阻尼比空載時(shí)阻尼比空載時(shí)阻尼比0 . 1287. 11s空載時(shí)頻率比空載時(shí)頻率比93. 02s68. 0)2()1 ()2(12112212111sssaB13. 1)2()1 ()2(12222222222sssaB因此滿載和空載時(shí)的振幅比：因此滿載和空載時(shí)的振幅比：60. 021BB5 . 01單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)l =5 ml =5

36、mmk/2cx0k/2xfalxfz2021年11月20日51例：例： 已知梁截面慣性矩已知梁截面慣性矩I，彈性模量，彈性模量E，梁質(zhì)量不計(jì)梁質(zhì)量不計(jì)支座支座B不動(dòng)不動(dòng)求：質(zhì)量求：質(zhì)量m的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)振幅的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)振幅單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問題工程中的受迫振動(dòng)問題 / 振動(dòng)的隔離振動(dòng)的隔離支座支座A產(chǎn)生微小豎直振動(dòng)產(chǎn)生微小豎直振動(dòng)tdyAsinambABAy解：解：固有頻率：固有頻率：/0g簡(jiǎn)化圖簡(jiǎn)化圖在質(zhì)量在質(zhì)量m作用下，由材料力學(xué)可求出靜撓度作用下，由材料力學(xué)可求出靜撓度mkfxfx：因：因yA的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的質(zhì)量m處的運(yùn)動(dòng)處的運(yùn)動(dòng)tab

37、dyabxAfsin)/()/(動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：0)(fxxkxm takbdkxxmsin)/( 振幅：振幅：211/skakbdx0s211sabd桿做剛性處理，其柔性由彈簧表示桿做剛性處理，其柔性由彈簧表示2021年11月20日52 支承運(yùn)動(dòng)小結(jié)支承運(yùn)動(dòng)小結(jié)22222)2()1 ()2(1sss)2(12stg21相對(duì)位移相對(duì)位移tifDetx)(基座位移規(guī)律基座位移規(guī)律 ：tiemDkxxcxm21111 )(111tiDex22221)2()1 ()(ssss21112)(sstgs絕對(duì)位移絕對(duì)位移)(21tifDexxxxfkc1xmx0mkxxfc1x單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)

38、單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2021年11月20日53高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵(lì)來源。旋轉(zhuǎn)高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力是主要的激勵(lì)來源。旋轉(zhuǎn)機(jī)械總質(zhì)量為機(jī)械總質(zhì)量為M，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為，轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量為m，偏心距為，偏心距為e，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 x：機(jī)器離開平衡位置的：機(jī)器離開平衡位置的垂直位移垂直位移 則偏心質(zhì)量的垂直位移：則偏心質(zhì)量的垂直位移： texsin由達(dá)朗伯原理，系統(tǒng)在垂直方由達(dá)朗伯原理，系統(tǒng)在垂直方向的動(dòng)力學(xué)方程：向的動(dòng)力學(xué)方程：0)sin()(22kxxctexdtdmxmM tm

39、ekxxcxMsin2 簡(jiǎn)化圖形簡(jiǎn)化圖形mxc2k2kte單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)Mkctmesin2xMkcxtem激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例 2021年11月20日54tmekxxcxMsin2 me ：不平衡量：不平衡量 ：不平衡量引起的離心慣性力：不平衡量引起的離心慣性力 2me20meF 設(shè)：設(shè)：)sin()(tBtx222)2()1 (1sskmekFB202112sstg0sMK0得：得：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性

40、力激勵(lì)的受迫振動(dòng)Mkctmesin2x2021年11月20日55)sin()(tBtx222)2()1 (1sskmekFB202112sstgB 又寫為又寫為 ：MmekmeB2022)sin()2()1 ()(2222 tMmessstx22221)2()1 (sssMmeB 12sMme )sin(11 tB單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)2021年11月20日56例：偏心質(zhì)量系統(tǒng)例：偏心質(zhì)量系統(tǒng)共振時(shí)測(cè)得最大振幅共振時(shí)測(cè)得最大振幅為為0.1 m由自由衰減振動(dòng)測(cè)得由自由衰減振動(dòng)測(cè)得阻尼系數(shù)為阻尼系數(shù)為05. 0假定假定%10M

41、m求：求： （1）偏心距）偏心距 e，（2）若要使系統(tǒng)共振時(shí)振幅為）若要使系統(tǒng)共振時(shí)振幅為0.01 m，系統(tǒng)的總質(zhì)量需要增加多少？系統(tǒng)的總質(zhì)量需要增加多少？mxc2k2kte單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)Mkctmesin2x2021年11月20日57解解:（1）共振時(shí)測(cè)得最大振幅共振時(shí)測(cè)得最大振幅為為0.1 m由自由衰減振動(dòng)測(cè)得由自由衰減振動(dòng)測(cè)得阻尼系數(shù)為阻尼系數(shù)為05. 0%10Mm共振時(shí)最大振幅共振時(shí)最大振幅)sin()2()1 ()(2222tMmessstx)(1 . 021mMme)(1 . 0me （2）若要使系統(tǒng)共

42、振時(shí)振幅為）若要使系統(tǒng)共振時(shí)振幅為0.01 m)(01. 021mMMme)(01. 01 . 005. 021mMMm9MMMM9mxc2k2kte單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)Mkctmesin2x2021年11月20日58單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)tmekxxcxMsin2 mxc2k2kteMkctmesin2xMkcxtem)sin()(tBtx222)2()1 (1ss kmeB2 2112sstg 0sMk 0 偏心質(zhì)量小結(jié)偏心質(zhì)量小結(jié))sin()(

43、11tBtx22221)2()1 (sss 解解1：解解2：MmeB 12021年11月20日59單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)2021年11月20日60 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納機(jī)械阻抗與導(dǎo)納工程中常用機(jī)械阻抗來分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性工程中常用機(jī)械阻抗來分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性 機(jī)械阻抗定義為簡(jiǎn)諧激振時(shí)復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比機(jī)械阻抗定義為簡(jiǎn)諧激振時(shí)復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比 tieFkxxcxm0 tieF0tiexx 0)(FHx icmkH21)(titixexeFZ0)( 動(dòng)力學(xué)方程：動(dòng)力學(xué)方程：輸入：輸入：輸出：輸出tiexx 代入，得：代入，得：復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)根據(jù)定義，位移阻抗：根據(jù)定義，位移阻抗：icmk2xF0 )(1H單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 機(jī)械阻抗和導(dǎo)納機(jī)械阻抗和導(dǎo)納2021年11月20日61icmkHxFex