微積分必考題

1、 微積分(B)上冊(cè)必考題微積分的必考可能難題是：求極限，求積分，微分方程，證明等式和不等式，應(yīng)用題（相關(guān)變化率，微分方程，元素法求平面圖形體積面積弧長(zhǎng)和一些物理問題，此處難點(diǎn)在積分和微分方程的求解）一、極限求極限的幾個(gè)原則:a. 能先求的先求，能化簡(jiǎn)的化簡(jiǎn)，能等價(jià)無窮小替換就替換b. 洛必達(dá)法則c. 泰勒公式無敵后面兩種方法要把式子變?yōu)榉质剑刹捎玫勾鷵Q）1.用四則運(yùn)算求極限對(duì)于非未定式，考試有可能表達(dá)式看起來很難，但實(shí)際上直接帶入求極限，別犯傻！2. 用兩個(gè)重要極限，這里只講冪指函數(shù)極限 冪指函數(shù)，且里面極限是1，就可以湊一個(gè)“1+”，在用兩個(gè)重要極限求極限時(shí)，若底數(shù)化成e指數(shù)出現(xiàn)了帶有極限

2、變量的乘積項(xiàng)，則可用倒代換化成分式。ó此時(shí)，令,就ó,用泰勒公式展開即可。3. 等價(jià)無窮小的替換，實(shí)際上是泰勒公式的特殊情況，只不過就展開了一項(xiàng)。4. 能求出的極限先求出來（其實(shí)也是泰勒公式的展開，只不過就展開了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)而已）óó上面兩個(gè)等價(jià)無窮小替換，下面有一項(xiàng)能先求出來。*先求出來的向在極限過程中與等價(jià)無窮小替換一樣，必須是一個(gè)乘積項(xiàng)5.洛必達(dá)法則*用之前，判斷未定式！上下項(xiàng)數(shù)不多，導(dǎo)數(shù)好求。缺點(diǎn)：比如sinx等等永遠(yuǎn)無法用多項(xiàng)式表示，若遇到上下冪次很高，求導(dǎo)將變得十分復(fù)雜。如：三種類型對(duì)于，直接就能看出來6.泰勒公式把非多項(xiàng)式函數(shù)近似成多項(xiàng)式函數(shù)

3、,用泰勒公式之前，先想想是否可以等價(jià)無窮小替換。缺點(diǎn)：展開式可能復(fù)雜，需要記憶如：下面顯然可以用等價(jià)無窮小替換，而上面只需要第一項(xiàng)的局部麥克勞林公式即可，需要記住這些：,有關(guān)泰勒公式的幾個(gè)問題：1. o() ó o() ?2. o(x+1)óo(x)?3.o(2x)óo(x)4.?5. ?6. 小心：要在時(shí)才=0！想時(shí)的分式函數(shù)能用泰勒公式展開嗎？二、求積分求某函數(shù)的原函數(shù)后，原函數(shù)必須在與這個(gè)函數(shù)的同定義區(qū)間內(nèi)可微。如f(x)=sgn(x)沒有原函數(shù)（假設(shè)有，在x=0不可微），因此有：每一個(gè)有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒有原函數(shù)。求積分的幾個(gè)原則：1.基本類型 2.

4、照方抓藥型(相差一個(gè)線性函數(shù))3. dx型有sin找cos，沒有現(xiàn) 成的cos用半角公式，如：,用半角公式：=4. 第二類換元法，一般換：根號(hào)下的，角頻率中的，重復(fù)項(xiàng)，換元后回帶第二類換元法開方出來小心絕對(duì)值根式代換：，倒代換（分母階數(shù)較高），最小公倍數(shù)根式代換 角頻率代換： x=nt5. 分?jǐn)?shù)乘積化為部分分式代數(shù)和 二次質(zhì)因式配方 首先，假分式可以化為真分式6.使用分部積分三個(gè)典型的分部積分若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為u。若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u 與出現(xiàn)循環(huán)序（每次要把相同的東西往

5、微分符號(hào)中湊）除典型分部積分以外，還有這些要分部： 如果換元變成(),變?yōu)榱说湫偷姆植糠e分 有一大部分都可以往微分符號(hào)中放，如此題中的,別無選擇，只能分部 7.觀察直接湊微分 8.積化和差公式定積分：幾個(gè)常用定積分公式*觀察積分區(qū)間和函數(shù)奇偶如，可以分出一個(gè)偶函數(shù)，剩一個(gè)奇函數(shù)*直接利用圖形面積:,半個(gè)單位圓 *把極限式化為積分式：如果插入分點(diǎn)平均：*最常用：當(dāng)a=0: 再特殊的，b=1，就有它表示曲邊梯形面積的代數(shù)和，如果求曲邊梯形的面積，那么要討論f(x)與0的關(guān)系！以后看到類似的題，可以先把上面的通式寫下來，對(duì)號(hào)入座找f。例：，乘法變代數(shù)和？架在e肩膀上！弄出.廣義積分：極限符號(hào)一定要標(biāo)

6、出左右才不會(huì)出錯(cuò)！看清瑕點(diǎn)（鄰域內(nèi)無界的點(diǎn)），是否為廣義積分？一些代數(shù)恒等變形：積化和差：角頻率不同的函數(shù)的積倍角化為平方，一般湊(sec x)2，及d(tanx)如：三、微分方程這里主要看微分方程的類型判斷：a.一階微分方程先可化為,通過上下同除，或湊微分，看看是不是齊次方程齊次方程把放到左邊去，再找y的一次項(xiàng)?？词欠袷且浑A線性齊次或非其次方程，或伯努利方程。如果不行，把自變量與函數(shù)，重復(fù)以上方法試試。如果需要換元，前面積分的換元方法是一種思想。記住，換元是一種工具，不是求解特定題（積分）的套路。例：ó (步驟)ó (步驟第一句話)變成伯努利方程，判型成功利用角頻率代換，

7、令xy=u.那么對(duì)于ln等利用湊微分解微分方程，把x+y放到左邊分子的微分符號(hào)中，因?yàn)椋海杂辛耍?然后把(x+y)當(dāng)做整體b.可降階的高階微分方程,觀察即可判型：不顯含x，就別添x，令不顯含y，就別添y，令c.高階常系數(shù)微分方程（齊次，非齊次）齊次，求特征方程的根，一項(xiàng)一項(xiàng)寫：有一個(gè)單實(shí)根r：有一個(gè)k重實(shí)根r：有一對(duì)k重共軛復(fù)根： 非齊次，一般，我們只會(huì)求二階的特解：類型一： ,則k取決于是特征方程的幾重根類型二：，則k取決于是否為特征方程的根四、相關(guān)變化率應(yīng)用題如何列方程？找所求，找已知，用微分形式表達(dá)，再找微分變量之間的關(guān)系。例題：分析，求,已知，而,這樣，有了：,發(fā)現(xiàn)h與dV/dt都

8、已知了。五、等式與不等式的證明幾大方法：中值定理，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的凸凹性羅爾定理三條件，閉區(qū)間連續(xù)，開區(qū)間可導(dǎo)羅爾定理：兩端函數(shù)值相等，則必有一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值為0拉格朗日中值定理：兩點(diǎn)割線斜率等于某一點(diǎn)切線斜率柯西中值定理：函數(shù)值的增量比等于某位置導(dǎo)數(shù)的比（兩個(gè)函數(shù)）函數(shù)的單調(diào)性證明不等式：高中方法，較為簡(jiǎn)單函數(shù)的凸凹性證明不等式：注重凸凹性的定義與的關(guān)系在不等式中，可以采用如下放縮，估計(jì)積分大致范圍：,m是區(qū)間上的最小值，M最大值*如果證明函數(shù)是具體的，如：左右直接相減，用拉格朗日定理后放縮再與0比即可積分中值定理證明設(shè)可導(dǎo)，且 求。解法：令.直接用積分中值定理六、圖形應(yīng)用題弧微分曲率 曲率半

9、徑1.求平面圖形面積：直角坐標(biāo)，參數(shù)方程：以小矩形近似代替，積分變量x,y都可以極坐標(biāo)方程：以圓扇形近似代替常見的直角坐標(biāo)方程： 星型線幾個(gè)常見的極坐標(biāo)方程： 雙紐線，啞鈴型 心臟線常見的參數(shù)方程：擺線 星型線2.求體積*星型線與其他已經(jīng)有對(duì)稱性的線求旋轉(zhuǎn)體時(shí)只用求半個(gè)部分。如：星型線繞x軸，體積元素為柱殼法：擺線繞y軸，原方法積分限比較易錯(cuò)，此時(shí)用柱殼法即可，柱殼法小心絕對(duì)值。柱殼法避免了相減的問題，最后與原方法表達(dá)式等價(jià)。（相當(dāng)于底面積為ydx或xdy，高為的薄的柱殼）3.弧長(zhǎng)直角坐標(biāo)：參數(shù)方程：極坐標(biāo)方程：七、元素法對(duì)物理的應(yīng)用怎么建系好？一般地，下述規(guī)律適用：對(duì)于運(yùn)動(dòng)，順著運(yùn)動(dòng)方向建系

10、，選擇開始有力的地方作為原點(diǎn)。如：抽水做功，水從上往下走。對(duì)于壓力，順著壓力增大的地方建系，選擇開始有力的地方做為原點(diǎn)。其他幾章的常用方法：一、導(dǎo)數(shù)與微分1. 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義，包括單側(cè)導(dǎo)數(shù)，二階甚至k階導(dǎo)數(shù)2. 萊布尼茨公式，求u*v的n階導(dǎo)把二項(xiàng)式展開的幾次方改為幾階導(dǎo)，因?yàn)閡v在乘法中可互換，所以此處u，v也可互換。3.一些高階導(dǎo)數(shù)的公式有些高階導(dǎo)數(shù)求之前要變形為這幾個(gè)基本導(dǎo)數(shù)化為代數(shù)和不停地拆平方和變?yōu)?，最終用倍角表示4.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（適用于多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函數(shù)）二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用（繪制函數(shù)圖像）導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)繪制函數(shù)圖像的幾個(gè)步驟：1.定義域，奇偶性，周期性，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)2.單調(diào)性，凸凹性，求極值點(diǎn)，極值，拐點(diǎn)（列表）極值點(diǎn)：第一、第二充分條件（使用第