多元函數(shù)微分學(xué)的課件

1、多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線三、小結(jié)三、小結(jié)第七節(jié)第七節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的多元函數(shù)微分學(xué)的 幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo).一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的切線與法平面M.),(0000tttzzyyxxM 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于;),(0000ttzyxM 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于設(shè)設(shè)M 多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzz

2、yyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割線割線 的方程為的方程為MM ,000zzzyyyxxx 多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件,0,時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) tMM曲線在曲線在M處的切線方程處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：過法平面：過M點(diǎn)且與切線垂直的平面點(diǎn)且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件例例1 1 求求曲曲線線: tuuduex0cos，tysin2 tco

3、s ,tez31 在在0 t處處的的切切線線和和法法平平面面方方程程.解解當(dāng)當(dāng)0 t時(shí)，時(shí)，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件1.空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為特殊地：特殊地：多元函

4、數(shù)微分學(xué)的PPT課件2.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF切線方程為切線方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzyzyxzyxGGGFFFkjiT 注：切向量注：切向量多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件例例 2 2 求求曲曲線線6222 zyx，0 zyx在在點(diǎn)點(diǎn))1, 2, 1( 處處的的切切線線及及法法平平面面方方程程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 將所給方程的兩邊對(duì)將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)

5、并移項(xiàng)，得求導(dǎo)并移項(xiàng)，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件由此得切向量由此得切向量),1, 0, 1( T所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲線在曲線在M處的切向量處的切向量在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點(diǎn)過點(diǎn)M的曲線的曲線,)()()(: tztytx 二、曲面的切平

6、面與法線二、曲面的切平面與法線nTM多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令則則,Tn 由由于于曲曲線線是是曲曲面面上上通通過過M的的任任意意一一條條曲曲線線，它它們們?cè)谠贛的的切切線線都都與與同同一一向向量量n垂垂直直，故故曲曲面面上上通通過過M的的一一切切曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)M的的切切線線都都在在同同一一平平面面上上，這這個(gè)個(gè)平平面面稱稱為為曲曲面面在在點(diǎn)點(diǎn)M的的切切平平面面.切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件 通通過過點(diǎn)點(diǎn))

7、,(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直線線稱稱為為曲曲面面在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法線線.法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M處的法向量即處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件特殊地：特殊地：1.空間曲面方程形為空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲

8、面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件2.空間曲面方程形為空間曲面方程形為 ),(),(),(vuzzvuyyvuxx曲面在曲面在M處的切平面的法向量為處的切平面的法向量為:),(00vuvvvuuuzyxzyxkjin 多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件例例 3 3 求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面122 yxz在在點(diǎn)點(diǎn))4 , 1 , 2(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2()1,2,2( yxn),1, 2,

9、 4( 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件例例 4 4 求求曲曲面面32 xyezz在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 2 , 1(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件例例

10、 5 5 求求曲曲面面2132222 zyx平平行行于于平平面面064 zyx的的各各切切平平面面方方程程.解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn),),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件因?yàn)橐驗(yàn)?是曲面上的切點(diǎn)，是曲面上的切點(diǎn)，),(000zyx, 10 x所求切點(diǎn)為所求切點(diǎn)為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(

11、12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線（當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí)，求切向（當(dāng)空間曲線方程為一般式時(shí)，求切向量注意采用量注意采用推導(dǎo)法推導(dǎo)法）三、小結(jié)三、小結(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件思考題思考題 如如果果平平面面01633 zyx 與與橢橢球球面面163222 zyx相相切切，求求 .多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件思考題解答思考題解答),2,2,6(000zyxn 設(shè)切點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)),(000zyx依題意知法向量為依題意知法向量為)3, 3

12、( 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切點(diǎn)滿足曲面和平面方程切點(diǎn)滿足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件一一、 填填空空題題: :1 1、 曲曲線線2,1,1tzttyttx 再再對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于1 t的的點(diǎn)點(diǎn)處處切切線線方方程程為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 法法平平面面方方程程為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 曲曲面面3 xyzez在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 1 , 2(處處的的切切平平面面方方程程為為_ _ _ _

13、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 法法線線方方程程為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 求求出出曲曲線線32,tztytx 上上的的點(diǎn)點(diǎn), ,使使在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線平平行行于于平平面面42 zyx. .三三、 求求球球面面6222 zyx與與拋拋物物面面22yxz 的的交交線線在在)2 , 1 , 1(處處的的切切線線方方程程 . .練練 習(xí)習(xí) 題題多元函數(shù)微分學(xué)的PPT課件四、求橢球面四、求橢球面12222 zyx上平行于平面上平行于平面 02 zyx的切平面方程的切平面方程. .五、試證曲面五、試證曲面)0( aazy