例談應(yīng)用構(gòu)建主義思想解決數(shù)學(xué)問題

1、例談應(yīng)用構(gòu)建主義思想解決數(shù)學(xué)問題 中山市實驗高級中學(xué) 楊德才2007-4-12數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個對新知識構(gòu)建和原認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重新整合的過程，是建立在構(gòu)建新知識和重新整合原有知識的基礎(chǔ)之上的。它包括構(gòu)建和整合兩個方面，既要理解新的知識，將新知識與已有的知識建立起恰當(dāng)?shù)穆?lián)系，又要將新舊知識結(jié)構(gòu)相互結(jié)合，通過重新構(gòu)建、整合形成新的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)；數(shù)學(xué)有“訓(xùn)練思維之體操”之說，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的主要方法是解題，而構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型又是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法之一。以建立數(shù)學(xué)模型來解決數(shù)學(xué)問題，是以理論原理與問題的實際為基礎(chǔ)，從實際問題的具體特征出發(fā)，將所要研究的問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)學(xué)模型的研究。數(shù)學(xué)模型的建立是構(gòu)建主義思想的

2、具體應(yīng)用，是在直覺思維的基礎(chǔ)上的再創(chuàng)造過程。在這里我以高中數(shù)學(xué)為例談?wù)剶?shù)學(xué)模型的構(gòu)建途徑。一、 分析相似結(jié)構(gòu)，構(gòu)建函數(shù)模型數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的諸多知識是相通的，互相關(guān)聯(lián)的，往往一道數(shù)學(xué)題可以從不同的角度來解決。充分發(fā)揮創(chuàng)造思維的能動作用，采用多層次，多角度，靈活地分析問題，科學(xué)聯(lián)想多種思維情景，從一個全新的角度去思考分析問題，一定會構(gòu)想出科學(xué)的數(shù)學(xué)模型。通過構(gòu)建函數(shù)模型把一個等式或不等式問題轉(zhuǎn)化成對函問題的研究就是比較常見的解題方法之一。例1、 已知 a,b, c滿足條件：a+b+c=+， 求證:a:(1-a)分析：從待證式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)，我們不妨構(gòu)建函數(shù)f(x)=x(1-x),把待證式子和所構(gòu)建的函數(shù)

3、進(jìn)行比較，很容易發(fā)現(xiàn):如果要證明:a(1-a) 成立，就只要證明f(a)=f(b)=f(c)即可。證明：由題設(shè)可知ab+ac+bc=,因為（x-a）(y-b)(z-c)=x=所以f(x)=x(1-x)= （x-a）(y-b)(z-c)+abc分別令x=a,b,c,可得f(a)=f(b)=f(c)=abc。即有a(1-a)成立。二、將代數(shù)式賦予幾何意義，構(gòu)建幾何模型。某些問題的結(jié)構(gòu)特征與已學(xué)過的幾何知識相關(guān)，我們可以將問題中的條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)關(guān)系賦予幾何意義，然后構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用我們比較熟悉的幾何知識去解決待求問題。例2、 sin20的值。 分析：待求式子可變?yōu)閟in20，在解此題時我們

4、回避常規(guī)的三角變形法，我們從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)去構(gòu)建模型。不妨構(gòu)建三角形 ABC,令，如圖所示： A由正弦定理可知又由余弦定理可知： B C （ 圖一）所以 所以 sin20= 例3、試證對于任意的正實數(shù)a,b,c,不等式都成立，并且 時，等號成立。分析：觀察待證式子中的三個根式，容易發(fā)現(xiàn)： 可以表示為以a，b為邊，夾角為60的三角形的第三邊長；可以表示為以b，c為邊，夾角為60的三角形的第三邊長；可以表示為以a，c為邊，夾角為120的三角形的第三邊長； 根據(jù)上述分析我們構(gòu)建這樣的（圖二）幾何圖形 ，其中AB=c , AC=a , AD=b, <CAD=<BAD=60 A a b

5、c D C B（ 圖 二 ） 顯然，由余弦定理可知CD= AB=CB=在中，CD+DB>CB是恒成立的。所以成立。當(dāng)B、C、D三點共線時，一定有成立，且，即，所以有。例2、例3分別把一個純?nèi)呛瘮?shù)問題、不等式問題轉(zhuǎn)化成了對一個三角形的邊和角的分析。這兩道題的解法都是通過科學(xué)構(gòu)建幾何模型來解決代數(shù)問題，從一個全新的角度去審視原題，突破了問題原來的涵義界限，展現(xiàn)出了獨特新穎的解題方法與技巧。這種解題方法的實質(zhì)是通過分析問題的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想與之相似的有著明顯幾何意義的式子，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型到達(dá)解決問題的目的。中學(xué)數(shù)學(xué)中比較常見有著明顯幾何意義的式子還有：（1）表示數(shù)軸上任意點x與a的距離。（2）表

6、示平面上任意點P（x,y）與 A(a,b)的距離的平方。（3）表示平面上任意點P（x,y）與A (a,b) 連線的斜率。（4）表示平面上任意點P（x,y）到直線ax+by+c=0的距離。（5）常見的圓、橢圓、雙曲線、拋物線、直線等二次曲線方程或直線方程等。三 、將代數(shù)式賦予新的代數(shù)意義構(gòu)建模型某些問題的結(jié)構(gòu)特征與已學(xué)過的“程”或“式”相關(guān)，我們就可以將問題中的條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)關(guān)系重新賦予“程”或“式”意義，然后再構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型。例4、實數(shù)x,y,z滿足arctgx+argy+arctgz=, 求證(1)xy+yz-zx=1,(2)x+y+z<xyz分析：我們把a(bǔ)rctgx，argy，a

7、rctgz重新定義成三個復(fù)數(shù)1+xi, 1+yi, 1+zi的輻角主值，則（1+xi）（ 1+yi）（1+zi）=（1-xy-yz-zx）+(x+y+z-xyz)i , 考慮到 arctgx+argy+arctgz=，顯然有xy+yz+zx=1和x+y+z<xyz成立。在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時，要克服思維定勢的干擾，當(dāng)用常法解決問題比較困難時，要及時調(diào)整思維角度，敢于構(gòu)想新的問題意境，尋求新的解題契機(jī)。四、從問題的反面出發(fā)構(gòu)建模型從問題的反面出發(fā)，構(gòu)想與問題完全相反的模型，然后通過推理，達(dá)到否定假設(shè)肯定結(jié)論的效果。其過程是：先假設(shè)“結(jié)論”不成立，然后把“結(jié)論”的反面當(dāng)作已知條件，進(jìn)而運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行正確的邏輯推理，得出與題設(shè)或已知的公理、定義、定理相矛盾的結(jié)論，從而說明假設(shè)不成立，即原“結(jié)論”成立。這種方法的實質(zhì)是：先駁倒“結(jié)論”反面，爾后肯定“結(jié)論”。例5：已知：四邊形ABCD中，對角線AC=BD=m。 A B求證：四邊形中至少有一條邊 D不小于m。 證明：假設(shè)四邊形的邊都小于m， C （圖三 ）由于四邊形中至少有一個角小于或等于，不妨設(shè)，由余弦定理，得，即。這已知BD=m相矛盾。所以，”四邊形中至少有一條邊不小于m”成立。五、構(gòu)造事例證明數(shù)學(xué)結(jié)論例6、“如果一個二面角的兩個半平面分別和另外一個二面角的兩個半平面垂直，則這