高等數(shù)學：2(5)函數(shù)的微分

1、1微分的定義微分的定義微分的幾何意義微分的幾何意義微分公式與運算法則微分公式與運算法則小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分第二章第二章 導數(shù)與微分導數(shù)與微分(differential)微分在近似計算中的應用微分在近似計算中的應用2函數(shù)的微分函數(shù)的微分導數(shù)導數(shù)微分微分導數(shù)與微分導數(shù)與微分表示函數(shù)在一點處由自變量所引起表示函數(shù)在一點處由自變量所引起的函數(shù)變化的快慢程度的函數(shù)變化的快慢程度.是函數(shù)在一點處由于自變量微小變化是函數(shù)在一點處由于自變量微小變化所引起的函數(shù)的改變量的近似值所引起的函數(shù)的改變量的近似值.有著密切的聯(lián)系有著密切的聯(lián)系.3正方形金屬薄片受熱后面積的改

2、變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;的主要部分的主要部分且為且為 A x )1()2(x x 2)( x 1.問題的引出問題的引出函數(shù)的微分函數(shù)的微分實例實例x 線性函數(shù)線性函數(shù)(linear function)xx 0 xx 0一、微分的定義一、微分的定義的線性的線性(一次一次)函數(shù)函數(shù),x 當當,的次要部分的次要部分且為且為 A 很小時可忽略很小時可忽略.2,0 xxAx 很小時很小時當當?shù)母唠A無窮小的高階無窮小,4再如再如,03時時

3、處的改變量為處的改變量為在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxy 3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小時很小時當當 x y ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值. y 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量函數(shù)的微分函數(shù)的微分.320 xx 5),(xfy 對一般函數(shù)對一般函數(shù),的常數(shù)的常數(shù)是不依賴于是不依賴于其中其中xA xAy , 0 A當當yxA 滿足滿足如果如果)(xfy y 一定條件一定條件,的的是是因此因此xxA 之差之差且它與且它與 y 線性函數(shù)線性函數(shù), 對一般函數(shù)對一般函數(shù)則無論在理論分析上還

4、是在實際則無論在理論分析上還是在實際).( xo 函數(shù)的微分函數(shù)的微分則函數(shù)的增量則函數(shù)的增量可以表示為可以表示為 如果存在這樣的如果存在這樣的近似公式近似公式,應用中都是十分重要的應用中都是十分重要的.,很很小小時時且且 x yA xox ( )yf x6定義定義,)(在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfy 2. 微分的定義微分的定義,00在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及xxx 00()()()yf xxf xAxox 如果如果),(無關(guān)的常數(shù)無關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立xA 0)(xxfy在點在點 則稱函數(shù)則稱函數(shù)xA 0dxxy 相相應應于于自自變變量量在在點點0)(xxfy

5、.d0 xAyxx 即即可微可微(differentiable),A為微分系數(shù)為微分系數(shù)函數(shù)的微分函數(shù)的微分),(d0 xf或或記作記作微分微分(differential),并稱并稱為函數(shù)為函數(shù)的的增量增量 x 7可微可微在點在點函數(shù)函數(shù)0)(xxf定理定理證證 (1) 必要性必要性,)(0可微可微在點在點xxf),( xoxAy .A ,)(0可可導導在在點點即即函函數(shù)數(shù)xxf3. 可微的充分必要條件可微的充分必要條件)(xf函函數(shù)數(shù)00d().x xyfxx即有即有).(0 xfA 且且,0處可導處可導在點在點x函數(shù)的微分函數(shù)的微分),(0 xfA 且且 滿足什么條件的函數(shù)是可微的呢？滿足

6、什么條件的函數(shù)是可微的呢？ 微分的系數(shù)微分的系數(shù)A如何確定呢如何確定呢? 微分與導數(shù)有何關(guān)系呢微分與導數(shù)有何關(guān)系呢?下面的定理回答了這些問題下面的定理回答了這些問題. xyxxoA )(0lim x 0lim x8(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy ,)(0 xfxy即即,)(0可可導導在在點點函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),()(0 xoxxf ,)(0可可微微在在點點函函數(shù)數(shù)xxf.可微可微可導可導 求導法又叫微分法求導法又叫微分法函數(shù)的微分函數(shù)的微分00d().x xyfxx從而從而.)(0Axf 且且其微分一定是其微分一定是可微可微在點在點函數(shù)函數(shù)0)(xxf

7、定理定理)(xf函函數(shù)數(shù)即有即有,0處可導處可導在點在點x),(0 xfA 且且.)(d0 xxfy (0,0)x 9注注 yyxdlim0 )(10 xf 有有時時當當,0)()1(0 xf )(10 xf,0,時時當當從從而而 x的的是是即即yy d).0( x當當 微分的實質(zhì)微分的實質(zhì)yx 0lim)(0 xf . 1 ).d(dyoyy 第一章第七節(jié)定理第一章第七節(jié)定理1 (58頁頁)的的是是又又由由于于xxxfy )(d0 0)(0 xf.d yy 函數(shù)的微分函數(shù)的微分 線性函數(shù)線性函數(shù), 線性主部線性主部. .xxf )(0 xyx 0lim 主部主部, ,的的是是稱稱yy d 所

8、以在所以在 條件下條件下, 的條件下的條件下,xxfy )(d0 以以,)()(00時時xfxxfy 近似代替增量近似代替增量 其誤差為其誤差為).d( yo因此因此,很小時很小時在在 x 有精確度有精確度.dyy 較好的近似等式較好的近似等式 結(jié)論結(jié)論 在在0()0fx10有關(guān)有關(guān)和和與與xx xx 的增量的增量通常把自變量通常把自變量)3(xxfyd)(d )(ddxfxy 導數(shù)稱為微商導數(shù)稱為微商函數(shù)的微分函數(shù)的微分),(ddxfy或或 稱為函數(shù)稱為函數(shù)的微分的微分, 記作記作.)(dxxfy 即即稱為自變量的稱為自變量的微分微分,記作記作,dx.dxx 即即注注(2)( ),yf xx

9、函數(shù)在任意點 的微分11例例解解,d)2(,d)1(,23 xyyxy求求23xy 02. 02d)3( xxy .24. 0 02. 02202. 023d)3( xxxxxxy xxy )(d)1(3 xx 23 xxyxx 2223d)2(函數(shù)的微分函數(shù)的微分x 1212幾何意義幾何意義y 當當,很小時很小時當當 x ( (如圖如圖) )ydxxfyd)(d0 二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義函數(shù)的微分函數(shù)的微分對應的增量對應的增量,.MNMP可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段增量時增量時;是曲線的縱坐標是曲線的縱坐標,的附近的附近在點在點M就是就是切線切線縱坐標縱坐標x

10、tanPQ yd xyO)(xfy T0 xM xx 0N PQy yd)( xo x 13xxfyd)(d 求法求法1. 基本微分公式基本微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221 三、微分公式與運算法則三、微分公式與運算法則函數(shù)的微分函數(shù)的微分計算函數(shù)的導數(shù)計算函數(shù)的導數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.14xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd1

11、1)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d2222 2. 運算法則運算法則2ddddd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu 函數(shù)的微分函數(shù)的微分),),(),(Rxvvxuu 15例例解解.d),ln(2yexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .d21d22xexxeyxx 例例解解.d,cos31yxeyx求求設(shè)設(shè) )(dcosd31xexy,3)(3131xxee xxexexyxxd)sin(d)3(cosd3131 .d)sincos3(31xxxex 函數(shù)的微分函數(shù)的微分.sin)(cosxx )(cosd3

12、1xex vuuvuvdd)(d 16;d)(d,)1(xxfyx 是自變量時是自變量時若若的可微的可微即另一變量即另一變量是中間變量時是中間變量時若若tx,)2(),()(xfxfy 有導數(shù)有導數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ydxd.d)(dxxfy 結(jié)論結(jié)論)(xfy 微分形式的不變性微分形式的不變性xxfyd)(d 3. 復合函數(shù)的微分法復合函數(shù)的微分法此結(jié)論用于求復合此結(jié)論用于求復合函數(shù)的導數(shù)函數(shù)的導數(shù),有時有時能簡化運算能簡化運算.函數(shù)的微分函數(shù)的微分無論無論x 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, 函數(shù)函數(shù)的微分形式總是的微分形式總是則則函數(shù)函數(shù)),(tx )(xf )(t td17例例.

13、d,2yeybxax求求設(shè)設(shè) 解解 法一法一 用復合函數(shù)求導公式用復合函數(shù)求導公式 xeybxaxd)(d22bxaxe 法二法二 用微分形式不變性用微分形式不變性,uey ueyud)(d ueud2bxaxe 2bxaxe .2bxaxu 在計算中也可以不寫中間變量在計算中也可以不寫中間變量,直接利用直接利用微分形式不變性微分形式不變性.d)(2bxax xbxad)2( xbxad)2( 函數(shù)的微分函數(shù)的微分18例例)2arctan(dxx例例解解.d,lnyxy求求設(shè)設(shè) )(lndx xxxdln1 x1ln d)(ln xx2arctan )2(arctandx xxd2arctan

14、)2(d)2(112xxx xxxxd)2(122arctan2 xd x函數(shù)的微分函數(shù)的微分19例例解解在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號中填入適當?shù)暮瘮?shù),使等式成立使等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt ,dcos)(sind)1(ttt ttdcos .dcos)sin1(dttCt );sin1(dt )(d)(sind)2(2xx,cos42xxx )(sind2x)(sind1t xxxdcos22).(d)cos4(2xxxx函數(shù)的微分函數(shù)的微分xxd2120函數(shù)的微分函數(shù)的微分例例解解)2(dd642xxx 求求法一法一

15、 把把 作為一個整體作為一個整體,2x關(guān)于關(guān)于2x有有 )2(dd642xxx222)(32)(2xx 4262xx 求導求導,法二法二)(2)(dd32222xxx 把導數(shù)看作微分之商把導數(shù)看作微分之商,分子分子,分母分別求微分分母分別求微分,有有 )2(dd642xxx264d)2(dxxx xxxxxd2)d62(453 4262xx 用了用了微分形式不變性微分形式不變性.21例例解解.d122yxyyx求求設(shè)設(shè) yx d20)(d22 xyyx.d22d22xxyxyxyy xxyd2 xy d2yxyd20 函數(shù)的微分函數(shù)的微分22例例?,05. 0,10問面積增大了多少問面積增大了

16、多少半徑伸長了半徑伸長了的金屬圓片加熱后的金屬圓片加熱后半徑半徑cmcm解解,2rA 設(shè)設(shè),10cmr 05. 0102 ).(2cm .)(0 xxf yyd 0()0,fxx且很小時. y 用用來來近近似似計計算算.05. 0cmr rr 2A rAr Ad 四、微分在近似計算中的應用四、微分在近似計算中的應用函數(shù)的微分函數(shù)的微分1. 計算函數(shù)增量的近似值計算函數(shù)增量的近似值23)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時很小時x .),(0微微分分函函數(shù)數(shù)的的原原值值函函數(shù)數(shù)的的末末值值即即用用來來近近似似計計算算 xxf2. 計算函數(shù)

17、的近似值計算函數(shù)的近似值函數(shù)的微分函數(shù)的微分)(0 xx x曲線曲線處處在點在點)(,()(00 xfxxfy 的切線的表達式的切線的表達式.通常稱為函數(shù)通常稱為函數(shù)的一次近似或線性近似的一次近似或線性近似.)(xfy 0(1)( )f xxx求在點附近的近似值240360cos0 故故例例.0360cos0的的近近似似值值計計算算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,30 x令令.,)()(00要很小要很小要容易算要容易算與與xxfxf xxfcos)( 360 x就是函數(shù)就是函數(shù).3603處的值處的值在在 x)3603cos( xxfxfxxf )()()

18、(000函數(shù)的微分函數(shù)的微分253603sin3cos 3602321 .4924. 0 )3603cos(0360cos0 xxfxfxxf )()()(00036030)(cos xxxx 30cos xx函數(shù)的微分函數(shù)的微分26常用的幾個一次近似式常用的幾個一次近似式)|(|很小時很小時x附附近近的的近近似似值值在在點點求求0)()2( xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf , 00 x令令. xx 1(1) 11;(2)sin();nxxxx xn 為弧度);(tan)3(為弧度為弧度xxx ;1)4(xex .)1ln()5(xx 函數(shù)的微分函數(shù)

19、的微分2. 計算函數(shù)的近似值計算函數(shù)的近似值27證證)1(111( )1,( )(1),nnf xx fxxn設(shè), 1)0( fxffxf)0()0()( .1nx 例例.021. 13的近似值的近似值求求解解33021. 01021. 1 知知021. 0311 007. 1 xffxf )0()0()(.1)0(nf xnxn111 由公式由公式021. 01021. 1 x函數(shù)的微分函數(shù)的微分28例例.計計算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e35 .99830015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 0 e.

20、97. 0 xex 103. 01 (1)(很小時很小時x35 . 11000 (2)(很小時很小時x)10005 . 11(1000 3函數(shù)的微分函數(shù)的微分111nxxn 29定義定義由于測量儀器的精度、條件和方法等各種由于測量儀器的精度、條件和方法等各種因素的影響因素的影響,測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差,帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤差帶有誤差的數(shù)據(jù)計算所得的結(jié)果也會有誤差,把它叫做把它叫做aA |AaAA而絕對誤差與的比值間接測量誤差間接測量誤差. .的的絕對誤差絕對誤差. .的的相對誤差相對誤差. .函數(shù)的微分函數(shù)的微分3. 誤差估計誤差估計而根據(jù)而根據(jù)那末那末叫

21、做叫做A叫做叫做A,Aa如果某個量的精度值為它的近似值為30,A如果某個量的精度值是如果某個量的精度值是問題問題在實際工作中在實際工作中,絕對誤差與相對誤差無法求得絕對誤差與相對誤差無法求得辦法辦法 將誤差確定在某一個范圍內(nèi)將誤差確定在某一個范圍內(nèi).,A 又知道它的誤差不超過又知道它的誤差不超過AaA 即即的的叫做測量叫做測量那末那末AA AAA叫做測量叫做測量而而| , a測得它的近似值是測得它的近似值是函數(shù)的微分函數(shù)的微分絕對誤差限絕對誤差限 ,的的相對誤差限相對誤差限 .)()(31函數(shù)的微分函數(shù)的微分根據(jù)直接測量的根據(jù)直接測量的x值按公式值按公式計算計算y值時值時,)(xfy 如果已知

22、測量如果已知測量x的絕對誤差限是的絕對誤差限是,x 即即,|xx 那么那么, ,0時時當當 y y的絕對誤差的絕對誤差|d|yy 即即y的的絕對誤差絕對誤差(限限)約為約為;|xyy 即即y的的相對誤差相對誤差(限限)約為約為一般一般,|xy ,|xy .|yxyyy32例例.,005. 041. 2誤差誤差并估計絕對誤差與相對并估計絕對誤差與相對求出它的面積求出它的面積米米正方形邊長為正方形邊長為 解解, x設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為.2xy 則則,41. 2時時當當 x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 24.82 0.0050.0241().m %.4 . 0 , y面面積積為為0.005,xx邊長 的絕對誤差為yy 函數(shù)的微分函數(shù)的微分 y的的絕對誤差絕對誤差(限限)約為約為xyy |面積面積y的的絕對誤差絕對誤差(限限)為為面積面積y的的相對誤差相對誤差(限限)為為8081. 50241. 0 xyy |33微分概念微分概念 微分的基本思想微分的基本思想微分的幾何意義微分的幾何意義微分公式與運算法則微分公式與運算法則五、小結(jié)五、小結(jié)函數(shù)的微分函數(shù)的微分導數(shù)與微分的關(guān)系導數(shù)與微分的關(guān)系可微可