導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的分類討論

1、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中分類討論的方法摘要 ：近年，高考解答題對(duì)導(dǎo)數(shù)部分的考察幾乎都會(huì)涉及到對(duì)某個(gè)參數(shù)的分類討論，而考生的在這一題中的得分率并不高。主要原因有兩個(gè)， 一是看不懂題意， 二是不會(huì)分類討論。而分類討論在高考中處于重要的“地位”：分類討論思想是歷年高考的必考內(nèi)容，它不僅是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，而且是高考的難點(diǎn)。每年在中高檔題甚至在低檔題中都設(shè)置分類討論問(wèn)題，通過(guò)分類討論考查推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。本人在幾年的教學(xué)生涯中，對(duì)這類問(wèn)題作了一定的探討，并總結(jié)出了導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中解答問(wèn)題的步驟及引起分類討論的原因。關(guān)鍵詞： 單調(diào)區(qū)間，極值，分類，最值，取值范圍為了更好的解決導(dǎo)數(shù)中分類討論的問(wèn)題，筆者建

2、議按照下列步驟來(lái)解決導(dǎo)數(shù)解答題（ 1） 求導(dǎo) f ' ( x)（ 2） 令 f ' ( x) =0（ 3） 求出 f ' ( x) =0 的根（ 4） 作出導(dǎo)數(shù)的圖像或等價(jià)于導(dǎo)數(shù)的圖像 （一般是二次函數(shù)或一次函數(shù)的圖像）（ 5） 由圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，或最值規(guī)范了步驟后，在解題過(guò)程中涉及到的分類討論一般有：方程f ' (x) =0 的類型引起的討論、根的存在引起的討論、根的大小引起的討論、畫圖像時(shí)開(kāi)口或斜率的討論、根與給定區(qū)間:或定義域的端點(diǎn)的大小的討論）下面筆者結(jié)合若干例題對(duì)上述的分類討論方法作一一闡述例 1：若函數(shù)2xf ( x)axlna 0），

3、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。x（ 解： f ( x) a21ax 2x 2 (x 0)x 2xx2令f' ( )2x 20（注意這里方程的類型需要討論）x =0，即： ax若 a0，則 x2, 作出 g( x)x2 的圖像，由圖像可知f ( x) 在（ 0,2）上為減函數(shù)，在（2， +）上為增函數(shù)若 a0，則1 8a 0,由 ax 2x 20 ，得118a118ax12a<0, x22a>0作出 h( x)ax 2x 2 的圖像，由圖像可知f ( x) 在 (0, x2 )上為減函數(shù)，在（x2 , )上為增函數(shù)綜上所述： a0時(shí) ， f (x) 在（ 0,2）上為減函數(shù)，在（2， +

4、）上為增函數(shù)（ ， 11 8a ）上為減函數(shù)a 0時(shí)， f ( x)在02a在（1 18a ，）上為增函數(shù)2a例 2：(08 全國(guó)高考 )已知函數(shù)f(x) x3 ax2 x 1，aR ，討論函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間解： f ( x) 3x22ax 1令 f ( x) 3x 22ax 1 0（注意這里根的存在需要討論）4a212若4a 212 0 ，即3 a3 ，則 f ( x)在 R上為增函數(shù)若4a2120,即 a33或 a由 f ( x) 3x 22ax 10 得，x1aa 23 , x2aa2333f (x)在 (,aa23 )或（aa23 ，）上為增函數(shù)33（aa 23 - aa 23)

5、上為減函數(shù)，在33綜上所述：3 a3 時(shí)， f ( x)在 R上為增函數(shù)a3或 a3時(shí)，f (x)在 (,aa 23 )或（ aa 23 ， ）33上為增函數(shù)， 在（aa 23- aa 23) 上為減函數(shù)3，3例 3. （ 2010 北京）已知函數(shù)f ( x )=In(1+x )- x + k x2 ( k 0) 。2求 f(x ) 的單調(diào)區(qū)間。解： f( x)11kxx(kxk 1) ( x1)1x1x令f' ()，即： x(kxk1)0（這里需要對(duì)方程kx k 1 0 的類型討論）x =0若 k=0 ，則 f (x)x1xf (x) 在（ -1,0）上為增函數(shù)，在（ 0， +）上為

6、減函數(shù)若 k0,由 x(kx k 1)0 得，1x0或 x11（這里需要對(duì)兩個(gè)根的大小進(jìn)行討論）kx2若 k=1 ，則 f (x)， f ( x) 在（ -1,）上為增函數(shù)1x若 0k 1，則 f (x) 在 (1,0) 或 (11, ) 上為增函數(shù)k11) 上為減函數(shù)在 (0,k1若 k1 ，則 f (x) 在 (1,1)或 (0,) 上為增函數(shù)k在 ( 11,0) 上為減函數(shù)k綜上所述：若 k=0 ，f ( x) 在（ -1,0）上為增函數(shù)，在（0， +）上為減函數(shù)若 0k1， f (x) 在 ( 1,0) 或 ( 11,) 上為增函數(shù)k1在 (0,1) 上為減函數(shù)k若 k=1 ， f (

7、 x) 在（ -1,）上為增函數(shù)若 k1 ， f (x) 在 ( 1, 11) 或 (0,) 上為增函數(shù)k在 ( 1 1,0) 上為減函數(shù)k例 4.（ 2009 北京理改編）設(shè)函數(shù)f (x)xekx ，求函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間解：f( x)ekxkxekxekx(kx1)令 f ( x)0 ，即 kx10（這里需要對(duì)方程kx10的類型討論）若，則 f ( x)10 ， f ( x) 在上為增函數(shù)若 k0 則由 kx 10得， x1 (這里需要對(duì) ykx 1 的k斜率討論 )若 k>0 則 f ( x) 在 (,1 ) 上為減函數(shù)，在(1 ,) 上為增函數(shù)kk若 k<0 ，則

8、f ( x) 在 (,1 ) 上為增函數(shù)，在(1 ,) 上為減函數(shù)kk綜上所述：若 k=0 ， f ( x) 在上為增函數(shù)若 k>0 則 f ( x) 在 (,1 ) 上為減函數(shù)，在(1,) 上為增函數(shù)kk若 k<0，則 f (x) 在 (,1) 上為增函數(shù)， 在 (1 ,) 上為減函數(shù)kk例 5：（海南 2011 四校聯(lián)考）f ( x) 2 ln x2x3, g ( x)p2( p 2) x3x若對(duì)任意的 x1,2,f ( x)g (x)恒成立，求實(shí)數(shù) p的取值 范圍解： f ( x)的定義域?yàn)椋?0，）設(shè)h( x)f (x)g( x)2 ln xpxp 2x設(shè) h' (

9、 x)px 22x p 2x 2令' ()0,即22xp20設(shè) hxpx（對(duì)方程類型的討論）若 p=0,則 設(shè) h' (x)2x 20x 2則 h( x)在 1,2上為增函數(shù) , h( x)minh(1)2,不符合要求若 p0,由px 22xp20 得p2x1或 x（對(duì)兩根的大小，定義域的端點(diǎn)、給定區(qū)間的端點(diǎn)大小的討論）p若 p21,即 p1, 則 h( x) min h(1)0 ,符合題意p若 p21,即 1p 0, 則 h( x) minh(1)2p 2 0 ，不符合題意pp20,即 2 p1,則 h(x)min h(1)2 p 2 0 ，符合題意若1p若 p 20,即 p

10、2, 則 h(x) minh(1) 2 0 ，符合題意pp21,即 p2,則 h(x)min h(1)2 p 2 0 ，符合題意若 0p若 1p22,即 p2, 則 h(1)2 p20 ，不符合題意p若 p22,即 p2,則 h(1)20 ，不符合題意p若 p22,即0p2,則 h(1)2 p20，不符合題意p綜上所述： p 的取值范圍為 ( ,1下面筆者就海南 2010 年高考的壓軸題來(lái)說(shuō)明本人提出的解題步驟和討論方法具有一定的實(shí)用價(jià)值，當(dāng)然解答的過(guò)程可能不夠嚴(yán)謹(jǐn)，處于定性的范圍，不足之處，望全體同仁多多指教。例 6：（海南 2010 理）設(shè)函數(shù) f ( x)ex1xax2。若當(dāng) x 0 時(shí) f ( x)0 ，求 a 的取值范圍f ( x)ex2ax1令 f ( x)ex2ax10 （此方程是個(gè)超越方程，故根的討論轉(zhuǎn)換成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的問(wèn)題）即 ex 2ax 1令 y1 ex ，y22ax 1易求得 y1ex在 A 的切線的斜率為1顯然若有2a1，即 a1則有 ex2ax1 恒成立2即 f ( x)ex2ax10恒成立所以 x0 ，時(shí) f( x)f (0)0 ，即 f ( x)01若有 2a1