二進制及其轉換

1、數(shù)學（第三冊）數(shù)學（第三冊）第第11章章 邏輯代數(shù)初步邏輯代數(shù)初步邏輯代數(shù)的產(chǎn)生邏輯代數(shù)的產(chǎn)生 18491849年英國數(shù)學家喬治年英國數(shù)學家喬治. .布爾布爾(George Boole)(George Boole)首先提出，用來描述客觀事務邏輯關系的數(shù)學首先提出，用來描述客觀事務邏輯關系的數(shù)學方法方法稱為稱為布爾代數(shù)布爾代數(shù)。 后來被廣泛用于開關電路和數(shù)字邏輯電路后來被廣泛用于開關電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設計，所以也稱為的分析與設計，所以也稱為開關代數(shù)開關代數(shù)或或邏輯邏輯代數(shù)代數(shù)。 在實際運用中，我們經(jīng)常會遇到各種各樣的在實際運用中，我們經(jīng)常會遇到各種各樣的開關電路設計問題。對于一個實際問題

2、，通常開關電路設計問題。對于一個實際問題，通常是先對問題作必要的理論分析，建立相應的數(shù)是先對問題作必要的理論分析，建立相應的數(shù)學模型，然后才進入實際解決問題的階段。建學模型，然后才進入實際解決問題的階段。建立開關電路數(shù)學模型所用的工具就是邏輯代數(shù)立開關電路數(shù)學模型所用的工具就是邏輯代數(shù)的知識。的知識。邏輯代數(shù)的產(chǎn)生邏輯代數(shù)的產(chǎn)生 邏輯代數(shù)中用字母表示變量邏輯代數(shù)中用字母表示變量邏輯變量邏輯變量，每個邏輯變量的取值只有兩種可能每個邏輯變量的取值只有兩種可能0 0和和1 1。它們也是邏輯代數(shù)中僅有的兩個常數(shù)。它們也是邏輯代數(shù)中僅有的兩個常數(shù)。0 0和和1 1只只表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，不表示數(shù)量大

3、小。表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，不表示數(shù)量大小。一、引入新課 日常生活中，我們經(jīng)常會使用各種數(shù)字，如最新一部蘋果iPhone 5S手機淘寶不同賣家的價格分別為5288.00元、4998.00元、4999.00元等。這些數(shù)都是十進制數(shù)。 在實際應用中，還使用其他的計數(shù)制，如三雙鞋（兩只鞋為一雙）、兩周實習（七天為一周）、4打信封（十二個信封為一打）、半斤八兩（一斤十六兩）、三天（72小時）、一刻鐘（15分）、二小時（120分）等等。 這種逢幾進一的計數(shù)法，稱為進位計數(shù)進位計數(shù)制制。簡稱“數(shù)制數(shù)制”或“進制進制”。在實際應用中，還嘗過哪些計數(shù)制？二、講授新課1. 數(shù)制的概念 數(shù)制是用一組固定的數(shù)碼(數(shù)

4、字和符號)和一套統(tǒng)一的規(guī)則(逢N進一)來表示數(shù)目的方法。 數(shù)位：數(shù)碼所在的位置叫做數(shù)位。 基數(shù)：每個數(shù)位上可以使用的數(shù)碼的個數(shù) 叫做這種計數(shù)制的基數(shù)。 位權數(shù)：每個數(shù)位所代表的數(shù)叫做位權數(shù)。 十進制特點（規(guī)則）是：逢十進一 十進制數(shù)位就是個位、十位、百位、千位、萬位、，十分位、百分位，千分位等等。 十進制每個數(shù)位上都可以使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十個數(shù)碼，所以基數(shù)是10。 十進制位權數(shù)：3210123,10 ,10 ,10 ,10 ,10 ,10 ,10 ,2. 十進制 二、講授新課位置位置整數(shù)部分整數(shù)部分小數(shù)部分小數(shù)部分第第3位位第第2位位第第1位位第第1位位第第2位位位權

5、數(shù)位權數(shù)十進制數(shù)的意義是：十進制數(shù)的意義是：各個數(shù)位的各個數(shù)位的 數(shù)碼與其位權數(shù)數(shù)碼與其位權數(shù) 乘積乘積 之之和和。例如，例如，365=3 102+ 6 101+ 5 1002.68=2 100 + 6 10-1 + 8 10-210210110010-110-2 二進制特點是 二進制數(shù)位上只有 二個數(shù)碼。 二進制基數(shù)是 。 二進制位權數(shù)：二、講授新課3210,2 ,2 ,2,23. 二進制 位置整數(shù)部分第第3位位第第2位位第第1位位位權數(shù)位權數(shù)222120逢二進一20,1為了區(qū)別不同進位制的數(shù)，通常為了區(qū)別不同進位制的數(shù)，通常用下標指明基數(shù)用下標指明基數(shù)。例如，例如， （101）10 表示十

6、進制的數(shù)表示十進制的數(shù) （101）2 表示二進制的數(shù)表示二進制的數(shù)3. 二進制與十進制對照 二、講授新課進制十進制二進制1規(guī)則2基數(shù)3位權4書寫舉例5意義逢十進一逢二進一10223，22，21，2010210110010-110-2（123456）10（101101）2二、講授新課4. 數(shù)的按權展開式 將數(shù)表達為各個數(shù)位的數(shù)碼與其相應位權數(shù)乘積之和的形式，這種式子叫做按權展按權展開式。開式。 (365)10 = 3102+6101+5100 (2.68)10 = 2100+610-1+810-2 (101)2 = 122+021+120 二、講授新課5. 二進制數(shù)轉換成十進制數(shù) 將二進制數(shù)寫為

7、按權展開式形式； 計算按權展開式得十進制數(shù).例如 (110)2 = 122+121+020 = 4+2+0 = 6課堂練習：課本P003 練習1，2二、講授新課6. 十進制數(shù)轉換成二進制數(shù) 213 126023111按按“倒序倒序除除2 2取余法取余法”的原則的原則進行轉換：進行轉換： 即用即用2 2連續(xù)去連續(xù)去除十進制數(shù)，除十進制數(shù)，直至商等于直至商等于1 1為止為止，逆序排列余數(shù)逆序排列余數(shù)即可即可得到與該十進制相對應的得到與該十進制相對應的二進制數(shù)各位的數(shù)值。二進制數(shù)各位的數(shù)值。例如例如 (13)10讀數(shù)方向由下往上于是于是 (13)10=(1101)2余數(shù)余數(shù) 十進制整數(shù)轉換成二進制整

8、數(shù)的轉十進制整數(shù)轉換成二進制整數(shù)的轉換方法是：換方法是： “除以除以2倒取余數(shù)法倒取余數(shù)法” 十進制整數(shù)轉換成二進制整數(shù)的轉換方法是：十進制整數(shù)轉換成二進制整數(shù)的轉換方法是： “除以除以2倒取余數(shù)法倒取余數(shù)法”結果為：1101例：例：十進制數(shù)十進制數(shù)13轉化成二進制數(shù)轉化成二進制數(shù)直到商直到商為零為零132621 32112001 0.37520.75021.500 小數(shù)部分小數(shù)部分: :按按“順序乘順序乘2 2取整法取整法”的原則進行轉換。的原則進行轉換。 小數(shù)乘以2，第一次相乘結果的整數(shù)部分為目的數(shù)的最高位，將其小數(shù)部分再乘2依次記下整數(shù)部分，反復進行下去，直到乘積的小數(shù)部分為“0”，或滿

9、足要求的精度為止。例如 (0.375 )10 讀數(shù)方向由上往下于是 (0.375)10=(0.011)20.521.00118. 十進制數(shù)轉換成二進制數(shù) 例1將下列二進制數(shù)換算成十進制數(shù) (101)2 ; (101011)2 解 (101)2 = 122+021+120=4+0+1=(5)10 (101011)2 = 125+024+123 +022 +121 +120 = 32+0+8+0+2+1=(43)10 三、例題與練習三、例題與練習 例2將下列各數(shù)換算成二進制數(shù) (101)10 ; (93)10 解 210112 5002 25121202 602 3111(101)10=(1100

10、101)2讀數(shù)方向由下往上三、例題與練習 解 293 1246 0223 1211 125 122 01 1(93)10=(1011101)2讀數(shù)方向由下往上補充 例4將下列各數(shù)換算成二進制數(shù) (105.625)10 解 210512 5202 26021312 602 3111(105)10=(1101001)2讀數(shù)方向由下往上三、例題與練習0.62521.2500.2520.500.521.0得 (0.625)10=(0.101)2于是 (105.625)10=(1101001.101)2101讀數(shù)方向由上往下三、拓展練習 例3將下列數(shù)換算成十進制數(shù) (176)8 ; 解 (176)8 =

11、 182+781+680=64+56+6 =(126)10三、例題與練習練習1、寫出下列各數(shù)的按權展開式(15.82)10 ( 54210)8 ( 11011.01)2 2、將二進制數(shù)換算成十進制數(shù)(1001110)2 ( 11111)2 ( 1101.101)2 3、將十進制數(shù)換算成二進制數(shù)(1582)10 ( 542)10 (1101)10 (3333)=3*103+3*102+3*101+3*100十進制數(shù)具有以下特點：十進制數(shù)具有以下特點：(1)(1)數(shù)字的個數(shù)等于數(shù)字的個數(shù)等于基數(shù)基數(shù)1010，即，即0 0、1 1、9 9十十個數(shù)字。個數(shù)字。(2)(2)最大的數(shù)字比基數(shù)小最大的數(shù)字比

12、基數(shù)小1 1，采用逢，采用逢十十進一。進一。(3)(3)這里個這里個(10(100 0) )、十、十(10(101 1) )、百、百(10(102 2) )稱為稱為位權，位權，位權的位權的大小是以基數(shù)為底，數(shù)碼所在位置序號為指數(shù)的整數(shù)次冪。大小是以基數(shù)為底，數(shù)碼所在位置序號為指數(shù)的整數(shù)次冪。(1)(1)數(shù)字的個數(shù)等于基數(shù)數(shù)字的個數(shù)等于基數(shù)2 2，即，即0 0、1 1二二個數(shù)字。個數(shù)字。(2)(2)最大的數(shù)字比基數(shù)小最大的數(shù)字比基數(shù)小1 1，采用逢，采用逢二二進一。進一。(3)(3)這里的這里的位權位權為為(2(20 0) )、(2(21 1) )、(2(22 2) )、(2(23 3) )等等

13、。位權的等等。位權的大小是以大小是以2 2為底，數(shù)碼所在位置序號為指數(shù)的整數(shù)次冪。為底，數(shù)碼所在位置序號為指數(shù)的整數(shù)次冪。二進制數(shù)具有以下特點：二進制數(shù)具有以下特點：10111 =124+023+122+121+120 八進制特點是逢八進一 八進制數(shù)位上有 0,1,2,3,4,5,6,7 八個數(shù)碼。 八進制基數(shù)是 8 。 八進制位權數(shù)：3210,8 ,8 ,8,8八進制 十六進制特點是逢十六進一 十六進制數(shù)位上可以有 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 十六個數(shù)碼。 十六進制基數(shù)是 16 。 十六進制位權數(shù)：4321016 ,16 ,16 ,16,16 十六進制 補

14、充 二進制與八進制轉換轉換方法轉換方法：從小數(shù)點開始，將二進制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分每三位分為一組，不足三位的分別在整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后加“0”補足，然后每組用等值的八進制碼替代，即得八進制數(shù)。例：（11010111.0100111）2 = （327.234）8 由于由于16=216=24 4，所以在將二進制數(shù)轉換成十六進，所以在將二進制數(shù)轉換成十六進制數(shù)時，從小數(shù)點開始，將二進制數(shù)的整數(shù)和制數(shù)時，從小數(shù)點開始，將二進制數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分每四位分為一組，不足四位的分別在小數(shù)部分每四位分為一組，不足四位的分別在整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后加整數(shù)的最高位前和小數(shù)的最低位后加“0”0”補足，

15、補足，然后每組用等值的十六進制碼替代，即得目的然后每組用等值的十六進制碼替代，即得目的數(shù)。十六進制數(shù)轉換成二進制數(shù)時正好相反，數(shù)。十六進制數(shù)轉換成二進制數(shù)時正好相反，一位十六進制數(shù)用四位二進制數(shù)來替換。對于一位十六進制數(shù)用四位二進制數(shù)來替換。對于有小數(shù)的數(shù)，要分小數(shù)和整數(shù)部分處理。有小數(shù)的數(shù)，要分小數(shù)和整數(shù)部分處理。 補充二進制轉與十六進制的相互轉換二進制轉與十六進制的相互轉換例例: (111011.10101)2=(3B.A8)16例例: (111011.10101)2=(3B.A8)16 萊布尼茲（Gottfriend Wilhelm von Leibniz 1646.7.1.1716.11.14.） 德國最重要的自然科學家、數(shù)學家、物理學家、歷史學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人。 在數(shù)學史上，他應該是第一個明確提出二進制數(shù)這個概念的科學家。 四、知識背景介紹 約翰馮諾依曼 （ Joh