二次函數(shù)-概念

1、 在一個變化過程中在一個變化過程中, ,如果有兩個變?nèi)绻袃蓚€變量量x x與與y, y, 并且對于并且對于x x的每一個確定的值的每一個確定的值,y,y都有唯一確定的值與其對應(yīng)都有唯一確定的值與其對應(yīng), ,那么就說那么就說y y是是x x的函數(shù)的函數(shù), x, x是自變量是自變量. .函數(shù)函數(shù): :變量變量: :常量常量: : 在一個變化過程中可以取不同數(shù)在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量叫變量值的量叫變量. . 在一個變化過程中始終保持不變在一個變化過程中始終保持不變的量叫常量的量叫常量. .函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法: :解析法解析法; ;列表法列表法; ;圖像法圖像法. .復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回

2、顧函數(shù)函數(shù)一次函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)反比例函數(shù)y=kx+b (k0)y=kx+b (k0)( (正比例函數(shù)正比例函數(shù)) ) y=kx y=kx (k0)(k0)y= (k0)y= (k0)k kx x 正方體的六個面是全等的正方形正方體的六個面是全等的正方形,設(shè)正方形設(shè)正方形的棱長為的棱長為x,表面積為表面積為y,則則y與與x的函數(shù)關(guān)系可以表的函數(shù)關(guān)系可以表示為（示為（ ） 問題問題1 1：y=6x2x用用20米的籬笆圍一個矩形的花圃（如圖），米的籬笆圍一個矩形的花圃（如圖）， 設(shè)連墻的一邊為設(shè)連墻的一邊為x,矩形的面積為矩形的面積為y, 寫出寫出y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式.(1)(

3、202 )yxx解：2220 xx(ox10)問題問題2 2：- 某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是某工廠一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是2020件件, ,計(jì)劃今后計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量兩年增加產(chǎn)量. .如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x x倍倍, ,兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量為兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量為y y, ,則則y y與與x x之間的關(guān)系之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？應(yīng)怎樣表示？問題問題3 3： 原產(chǎn)量是原產(chǎn)量是20件件, 一年后的產(chǎn)量是一年后的產(chǎn)量是 件件,再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是再經(jīng)過一年后的產(chǎn)量是 件件,即兩年后的即兩年后的產(chǎn)量為產(chǎn)量為20(1+x)20(1+x)2 即即xyx2040220 式

4、表示兩年后的產(chǎn)量式表示兩年后的產(chǎn)量y與計(jì)劃增產(chǎn)的倍數(shù)與計(jì)劃增產(chǎn)的倍數(shù)x之間的關(guān)之間的關(guān)系系,對于對于x的每一個值的每一個值, y都有一個對應(yīng)值都有一個對應(yīng)值,即即y是是x的函數(shù)的函數(shù).函數(shù)函數(shù)有什么共同點(diǎn)有什么共同點(diǎn)? 觀察觀察 這些關(guān)系式，這些關(guān)系式，y是是x的函數(shù)嗎？的函數(shù)嗎？ 是一次函數(shù)嗎？是反比例函數(shù)嗎？是一次函數(shù)嗎？是反比例函數(shù)嗎？y=6x2xx2022y 共同點(diǎn)：函數(shù)共同點(diǎn)：函數(shù)y都是用自變量都是用自變量x的二次式表示的的二次式表示的1、定義：一般地，形如、定義：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常數(shù)是常數(shù),a 0)的函數(shù)叫的函數(shù)叫做做二次函數(shù)。二次函數(shù)。（1）等號左邊是

5、變量）等號左邊是變量y，右邊是關(guān)于自變，右邊是關(guān)于自變量量x的的（3 ）等式的右邊最高次數(shù)為）等式的右邊最高次數(shù)為 ，可以沒有，可以沒有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，但一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，但不能沒有二次項(xiàng)不能沒有二次項(xiàng)。注意注意：（2）a,b,c為常數(shù)，且為常數(shù)，且（4）這個關(guān)系式叫做二次函數(shù)的一般形式。）這個關(guān)系式叫做二次函數(shù)的一般形式。整式整式a0.2二次函數(shù)的一般形式二次函數(shù)的一般形式: :yax2bxc (其中其中a、b、c是常數(shù)是常數(shù),a0)a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，叫做二次項(xiàng)系數(shù)，b b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c c叫做常數(shù)項(xiàng)。叫做常數(shù)項(xiàng)。二次函數(shù)的特殊形式：二次函數(shù)的特殊形式：當(dāng)當(dāng)b0時，時， y

6、ax2c當(dāng)當(dāng)c0時，時， yax2bx當(dāng)當(dāng)b0，c0時，時， yax22yx2242yxx258112yxx 0024215811221132yxx12130說出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：說出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)： 試一試試一試: :二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax+bx+c+bx+c中中a0,a0,但但b b、c c可以為可以為0.0.例例1 1、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？若是、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？若是, ,分別指出二次項(xiàng)系數(shù)分別指出二次項(xiàng)系數(shù), ,一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù), ,常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng). . (1) y=3(x (1) y=3(x1)

7、1)+1 (2)y=x+1 (2)y=x+ (3)s=3 (3)s=32t2t (4)y=(x+3) (4)y=(x+3)x x (5)y= (5)y= x (6)v= r x (6)v= r 1x_x1_(7) y=x(7) y=x+x+x+25+25(8)y=2(8)y=2+2x+2x(是是)(否否)(是是)(否否)(否否)(是是)(否否)(否否)思考：思考：(9)y=mx(9)y=mx+nx+p (m,n,p+nx+p (m,n,p為常數(shù)）為常數(shù)）3例例1、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？若是、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？若是,分別分別指出二次項(xiàng)系數(shù)指出二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)

8、項(xiàng)常數(shù)項(xiàng). (1) y=3(x-1)+1 (2) y=x+ (3) s=3-2t (4) y=(x+3)-x (5)y= -x (6) v=10 r1x_x1_解解: (1)y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即即y=3x2-6x+4是二次函數(shù)是二次函數(shù).二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù):一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù):常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng):3-64(2) y=x+1x_不是二次函數(shù)不是二次函數(shù).(3) s=3-2t是二次函數(shù)是二次函數(shù).二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù):一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù):常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng):-203(4) y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2即即y=6x+9不是二次函數(shù)不是二次函

9、數(shù).二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù):一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù):常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng):1000不是二次函數(shù)不是二次函數(shù).(5)y= -xx1_(6) v=10 r是二次函數(shù)是二次函數(shù).例例2. y=(m-3)x 2. y=(m-3)x (1) m(1) m取什么值時取什么值時, ,此函數(shù)是正比例函數(shù)此函數(shù)是正比例函數(shù)? ? (2) m(2) m取什么值時取什么值時, ,此函數(shù)是反比例函數(shù)此函數(shù)是反比例函數(shù)? ? (3) m(3) m取什么值時取什么值時, ,此函數(shù)是二次函數(shù)此函數(shù)是二次函數(shù)? ?mm2 27 7看誰算得快看誰算得快!1.函數(shù)函數(shù) 是一次函數(shù)，求是一次函數(shù)，求k的值。的值。122)21(kkxky02.

10、函數(shù)函數(shù) 是二次函數(shù)，是二次函數(shù)， 求求m的值。的值。1) 1(2mxxmymm23.函數(shù)函數(shù) 是二次函數(shù)，是二次函數(shù)， 求求m的值。的值。mmxmmy2)(224.如果函數(shù)如果函數(shù)y=(k-3) +kx+1是二次函數(shù)是二次函數(shù),則則k的值一定是的值一定是_ 05.如果函數(shù)如果函數(shù)y=(k-3) +kx+1 (x0)是一次是一次 函數(shù)函數(shù),則則k的值一定是的值一定是_ 3或或1或或2253或1、下列函數(shù)中，（、下列函數(shù)中，（x是自變量），是二次函數(shù)是自變量），是二次函數(shù)的為的為( )A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1C y=x2 D y=2+ x2+12.函數(shù)函數(shù) y=(m-n

11、)x2+ mx+n 是二次函數(shù)的條件是是二次函數(shù)的條件是( )A m,n是常數(shù)是常數(shù),且且m0 B m,n是常數(shù)是常數(shù),且且n0C m,n是常數(shù)是常數(shù),且且mn D m,n為任何實(shí)數(shù)為任何實(shí)數(shù)CC小結(jié)小結(jié) 拓展拓展 1.1.定義：一般地定義：一般地, ,形如形如y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常數(shù)是常數(shù),a0),a0)的函數(shù)叫做的函數(shù)叫做x x的的二次函數(shù)二次函數(shù). .其中其中, ,是是x x自變量自變量,a,b,c,a,b,c分別分別是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng). .y=axy=ax+bx+c(a,b,

12、c+bx+c(a,b,c是常數(shù)是常數(shù),a0),a0)的幾種不同表示形式的幾種不同表示形式: :(1)y=ax(1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax(2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax(3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0). 2.2.定義的實(shí)質(zhì)是：定義的實(shí)質(zhì)是：axax+bx+c+bx+c是整式是整式, ,自變量自變量x x的最高次數(shù)的最高次數(shù)是二次是二次, ,自變量自變量x x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)的取值范圍是全體實(shí)數(shù). .3.一個圓柱的高等于底面半徑一個圓柱的高等于底

13、面半徑, ,寫出它寫出它的表面積的表面積 s 與半徑與半徑 r 之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式.4. n4. n支球隊(duì)參加比賽支球隊(duì)參加比賽, ,每兩隊(duì)之間進(jìn)行每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽一場比賽, ,寫出比賽的場次數(shù)寫出比賽的場次數(shù) m m與球隊(duì)與球隊(duì)數(shù)數(shù) n n 之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .S=4r2 即即5. 5. 圓的半徑是圓的半徑是1cm,1cm,假設(shè)半徑增加假設(shè)半徑增加xcm xcm 時時, ,圓的面積增加圓的面積增加ycmycm. . (1)(1)寫出寫出y y與與x x之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式； (2)(2)當(dāng)圓的半徑分別增加當(dāng)圓的半徑分別增加1cm, 1cm, 2cm

14、 2cm時時, ,圓的面積增加多少圓的面積增加多少? ?6. 將進(jìn)貨單價為將進(jìn)貨單價為4040元的商品按元的商品按5050元賣出時元賣出時, ,就就能賣出能賣出500500個個, ,已知這種商品每漲已知這種商品每漲1 1元元, ,其銷售量其銷售量就會減少就會減少1010個個, ,設(shè)售價定為設(shè)售價定為X X元元(x(x50)50)時的利時的利潤為潤為Y Y元。試求出元。試求出Y Y與與X X的函數(shù)關(guān)系式，并按的函數(shù)關(guān)系式，并按所求的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出售定價為所求的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出售定價為8080元時所元時所得利潤得利潤6CM8CMQPCBA7.7.如圖如圖, ,ABCABC中中,C=90,C=90,AC=6cm, BC=8cm,AC=6cm, BC=8cm, 點(diǎn)點(diǎn)P P從從A A開始沿開始沿ACAC向點(diǎn)向點(diǎn)C C以以1cm/s1cm/s的速度的速度, ,點(diǎn)點(diǎn)Q Q從從 C C點(diǎn)開始沿點(diǎn)開始沿BCBC向