自動控制原理講義章

1、第一章 自動控制原理的基本概念主要內(nèi)容： Ø 自動控制的基本知識Ø 開環(huán)控制與閉環(huán)控制Ø 自動控制系統(tǒng)的分類及組成Ø 自動控制理論的發(fā)展§1.1 引言 控制觀念 生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)踐中，要求設(shè)備或裝置或生產(chǎn)過程按照人們所期望的規(guī)律運(yùn)行或工作。 同時，干擾使實(shí)際工作狀態(tài)偏離所期望的狀態(tài)。例如：衛(wèi)星運(yùn)行軌道，導(dǎo)彈飛行軌道，加熱爐出口溫度，電機(jī)轉(zhuǎn)速等控制控制：為了滿足預(yù)期要求所進(jìn)行的操作或調(diào)整的過程。 控制任務(wù)可由人工控制和自動控制來完成。§ 1.2 自動控制的基本知識 1.2.1 自動控制問題的提出 一個簡單的水箱液面，因生產(chǎn)和生活需要，希望液

2、面高度h維持恒定。當(dāng)水的流入量與流出量平衡時，水箱的液面高度維持在預(yù)定的高度上。 當(dāng)水的流出量增大或流入量減小，平衡則被破壞，液面的高度不能自然地維持恒定。所謂控制就是強(qiáng)制性地改變某些物理量(如上例中的進(jìn)水量)，而使另外某些特定的物理量（如液面高度h）維持在某種特定的標(biāo)準(zhǔn)上。人工控制的例子。這種人為地強(qiáng)制性地改變進(jìn)水量，而使液面高度維持恒定的過程，即是人工控制過程。1.2.2 自動控制的定義及基本職能元件 1. 自動控制的定義 自動控制就是在沒有人直接參與的情況下，利用控制器使被控對象(或過程)的某些物理量(或狀態(tài))自動地按預(yù)先給定的規(guī)律去運(yùn)行。當(dāng)出水與進(jìn)水的平衡被破壞時，水箱水位下降(或上升

3、)，出現(xiàn)偏差。這偏差由浮子檢測出來，自動控制器在偏差的作用下，控制閥門開大(或關(guān)小)，對偏差進(jìn)行修正，從而保持液面高度不變。2. 自動控制的基本職能元件 自動控制的實(shí)現(xiàn),實(shí)際上是由自動控制裝置來代替人的基本功能，從而實(shí)現(xiàn)自動控制的。畫出以上人工控制與動控制的功能方框圖進(jìn)行對照。比較兩圖可以看出，自動控制實(shí)現(xiàn)人工控制的功能，存在必不可少的三種代替人的職能的基本元件：Ø 測量元件與變送器（代替眼睛）Ø 自動控制器（代替大腦）Ø 執(zhí)行元件（代替肌肉、手）這些基本元件與被控對象相連接，一起構(gòu)成一個自動控制系統(tǒng)。下圖是典型控制系統(tǒng)方框圖。1.2.3 自動控制中的一些術(shù)語及方

4、框圖 1.常用術(shù)語 控制對象 控制器 系統(tǒng) 系統(tǒng)輸出 操作量 參考輸入 擾動 特性2.系統(tǒng)方框圖將系統(tǒng)中各個部分都用一個方框來表示，并注上文字或代號，根據(jù)各方框之間的信息傳遞關(guān)系，用有向線段把它們依次連接起來，并標(biāo)明相應(yīng)的信息。§1.3 自動控制系統(tǒng)的基本控制方式 控制方式：開環(huán)控制和閉環(huán)控制1.3.1 開環(huán)控制定義:控制量與被控量之間只有順向作用而沒有反向聯(lián)系。開環(huán)控制系統(tǒng)的典型方框圖如圖所示。例如：交通指揮紅綠燈，自動洗衣機(jī)，自動售貨機(jī) 1.按給定控制下圖是一個直流電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)。 工作原理： 以上的控制過程，用方框圖簡單直觀地表示出來。2.按擾動控制圖示是一個按擾動控制的直

5、流電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)。控制過程可用方框圖表示成如圖示的形式。把負(fù)載變化視為外部擾動輸入，對輸出轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的影響及控制補(bǔ)償作用，分別沿箭頭的方向從輸入端傳送到輸出端，作用的路徑也是單向的，不閉合的。有時我們稱按擾動控制為順饋控制。開環(huán)控制的特點(diǎn)：Ø 結(jié)構(gòu)簡單、調(diào)整方便、成本低。Ø 給定一個輸入，有相應(yīng)的一個輸出。Ø 作用信號是單方向傳遞的，形成開環(huán)。Ø 輸出不影響輸入。Ø 若系統(tǒng)有外界擾動時，系統(tǒng)輸出量不可能有準(zhǔn)確 的數(shù)值，即開環(huán)控制精度不高，或抗干擾能力差1.3.2 閉環(huán)控制 定義：凡是系統(tǒng)輸出信號對控制作用有直接影響的系統(tǒng)，都叫做閉環(huán)控制系統(tǒng)。

6、常用術(shù)語：反饋控制系統(tǒng) 閉合 閉環(huán)控制系統(tǒng)u 反饋控制原理：被控變量作為反饋信號，與希望值比較得到偏差輸入；根據(jù)輸入偏差大小，調(diào)整控制信號；控制信號通過執(zhí)行器的操作消除偏差，實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。反饋：輸出量經(jīng)測量后的信號回送到輸入端。反饋連接方式有負(fù)反饋和正反饋。負(fù)反饋：反饋信號的極性與輸入信號相反，使被控對象的輸出趨向希望值。直流電動機(jī)轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制的例子。 閉環(huán)控制的特點(diǎn)： Ø 由負(fù)反饋構(gòu)成閉環(huán)，利用偏差信號進(jìn)行控制；Ø 抗干擾能力強(qiáng)，精度高；Ø 存在穩(wěn)定性問題。系統(tǒng)元件參數(shù)配合不當(dāng)，容易產(chǎn)生振蕩，使系統(tǒng)不能正常工作；Ø 自動控制理論主要研究閉環(huán)系統(tǒng)。一、開

7、環(huán)與閉環(huán)控制系統(tǒng)的比較 二、復(fù)合控制方法 常見的方式有以下兩種： 1.附加給定輸入補(bǔ)償 2. 附加擾動輸入補(bǔ)償 1.4.5 自動控制系統(tǒng)的基本組成在形形色色的自動控制系統(tǒng)中，反饋控制（閉環(huán)控制）是常見的控制方式之一。反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖所示： 圖：單回路反饋控制系統(tǒng)（只有一個主反饋通路）的基本結(jié)構(gòu)-【注：有的教材用以下闡述和結(jié)構(gòu)圖】“ 一個典型的反饋控制系統(tǒng)總是由控制對象和各種結(jié)構(gòu)不同的職能元件組成的。除控制對象外，其他各部分可統(tǒng)稱為控制裝置。每一部分各司其職，共同完成控制任務(wù)?！?圖：反饋控制系統(tǒng)基本組成（多回路）下面給出這些職能元件的種類和各自的職能。給定元件：其職能是給出與期望的輸

8、出相對應(yīng)的系統(tǒng)輸入量，是一類產(chǎn)生系統(tǒng)控制指令的裝置。 測量元件：其職能是檢測被控量，如果測出的物理量屬于非電量，大多情況下要把它轉(zhuǎn)換成電量，以便利用電的手段加以處理。 比較元件：其職能是把測量元件檢測到的實(shí)際輸出值與給定元件給出的輸入值進(jìn)行比較，求出它們之間的偏差。 放大元件：其職能是將過于微弱的偏差信號加以放大，以足夠的功率來推動執(zhí)行機(jī)構(gòu)或被控對象。 執(zhí)行元件：其職能是直接推動被控對象，使其被控量發(fā)生變化。 校正元件：為改善或提高系統(tǒng)的性能，在系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上附加參數(shù)可靈活調(diào)整的元件。工程上稱為調(diào)節(jié)器。常用串聯(lián)或反饋的方式連接在系統(tǒng)中。-§ 1-4 自動控制系統(tǒng)的分類1.4.1

9、按給定信號的特征劃分1. 恒值控制系統(tǒng)：Ø 系統(tǒng)任務(wù)：c(t)=r(t) r(t)常數(shù)Ø 分析設(shè)計重點(diǎn):研究干擾對被控對象的影響,克服擾動 液位控制系統(tǒng)，直流電動機(jī)調(diào)速系統(tǒng)等等。2. 隨動控制系統(tǒng)：Ø 系統(tǒng)任務(wù)：c(t)=r(t) r(t)隨機(jī)變化Ø 分析設(shè)計重點(diǎn):系統(tǒng)跟蹤的快速性，準(zhǔn)確性跟蹤衛(wèi)星的雷達(dá)天線系統(tǒng)3. 程序控制系統(tǒng)：Ø 系統(tǒng)任務(wù)：c(t)=r(t) r(t)按預(yù)先規(guī)定時間函數(shù)變化Ø 分析設(shè)計重點(diǎn):輸出按一定的規(guī)律變化 機(jī)械加工中的程序控制機(jī)床等等。1.4.2 按系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述劃分 1.線性系統(tǒng) 當(dāng)系統(tǒng)各元件輸入輸出特性是

10、線性特性，系統(tǒng)的狀態(tài)和性能可以用線性微分（或差分）方程來描述時，則稱這種系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 2.非線性系統(tǒng) 系統(tǒng)中只要存在一個非線性特性的元件，系統(tǒng)就由非線性方程來描述，這種系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。1.4.3 按信號傳遞的連續(xù)性劃分 1.連續(xù)系統(tǒng) 連續(xù)系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)中各元件的輸入信號和輸出信號都是時間的連續(xù)函數(shù)。這類系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)是用微分方程來描述的。 連續(xù)系統(tǒng)中各元件傳輸?shù)男畔⒃诠こ躺戏Q為模擬量，其輸入輸出一般用r(t)和c(t)表示。2.離散系統(tǒng) 控制系統(tǒng)中只要有一處的信號是脈沖序列或數(shù)碼時，該系統(tǒng)即為離散系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的狀態(tài)和性能一般用差分方程來描述。1.4.4 按系統(tǒng)的輸入與輸出信號的數(shù)量

11、劃分 1.單變量系統(tǒng)（SISO） 2.多變量系統(tǒng)（MIMO）§ 1.5 對控制系統(tǒng)的要求和分析設(shè)計1.5.1 對系統(tǒng)的要求 各類控制系統(tǒng)為達(dá)到理想的控制目的，必須具備以下兩個方面的性能 (基本要求) ： 1.使系統(tǒng)的輸出快速準(zhǔn)確地按輸入信號要求的期望輸出值變化。 2.使系統(tǒng)的輸出盡量不受任何擾動的影響。 對自控系統(tǒng)性能的要求一般可歸納為三大性能指標(biāo)： (1) 穩(wěn)定性：要求系統(tǒng)絕對穩(wěn)定且有一定的穩(wěn)定裕量。 (2) 瞬態(tài)質(zhì)量：要求系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)過程具有一定的快速性和變化的平穩(wěn)性。 (3) 穩(wěn)態(tài)誤差：要求系統(tǒng)最終的響應(yīng)準(zhǔn)確度，限制在工程允許的范圍之內(nèi)，是系統(tǒng)控制精度的恒量。1.5.2 典型輸

12、入信號控制系統(tǒng)的動態(tài)性能, 可通過在輸入信號作用下系統(tǒng)的過渡過程來評價. 典型輸入信號：是根據(jù)系統(tǒng)常用的輸入信號形式，大多數(shù)控制系統(tǒng)的輸入信號未知(如火炮系統(tǒng)中敵機(jī)位置, 無法預(yù)知, 使火炮輸入信號有隨機(jī)性等),因此用典型信號描述.序號典型信號時域表達(dá)式復(fù)域表達(dá)式工程中的信號描述1單位階躍信號電流突然接通負(fù)載突變2單位斜坡信號船閘升降、機(jī)床加工斜面3單位加速度信號4單位脈沖信號脈沖電壓信號沖擊力5正弦信號海浪的擾動力1.5.3 控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計 1.系統(tǒng)分析 系統(tǒng)給定，在規(guī)定的工作條件下，對它進(jìn)行分析研究，其中包括穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能分析，看是否滿足要求，以及分析某個參數(shù)變化時對上述性能指標(biāo)

13、的影響，決定如何合理地選取等。 2.系統(tǒng)的設(shè)計 系統(tǒng)設(shè)計的目的，是要尋找一個能夠?qū)崿F(xiàn)所要求性能的自動控制系統(tǒng)。因此，在系統(tǒng)應(yīng)完成的任務(wù)和應(yīng)具備的性能已知的條件下，根據(jù)被控對象的特點(diǎn)，構(gòu)造出適合的控制器是設(shè)計的主要任務(wù)。應(yīng)進(jìn)行的步驟如下：（1）熟悉對系統(tǒng)性能的要求。（2）根據(jù)要求的性能指標(biāo)綜合確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。（3）若控制對象是已知的，根據(jù)確定的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和已知部分的數(shù)學(xué)模型，求得控制器的數(shù)模和控制 規(guī)律。（4）按綜合確定的數(shù)模進(jìn)行系統(tǒng)分析，驗(yàn)證它在各種信號作用下是否滿足要求。若不滿足,及時修正。（5）樣機(jī)設(shè)計制造和試驗(yàn)，驗(yàn)證設(shè)計結(jié)果。§ 1-6 自動控制理論的發(fā)展概況三個時期：

14、Ø 早期的自動控制工作Ø 經(jīng)典控制理論Ø 現(xiàn)代控制理論§ 1-7 自動控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計工具M(jìn)atlab: Control system toolbox， Simulink 簡介課題舉例： 習(xí)題1-6，習(xí)題108作業(yè)：1-2 學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié) Ø 通過示例介紹了控制系統(tǒng)的基本概念 1.反饋控制原理 2.控制系統(tǒng)的基本組成 3.控制系統(tǒng)的基本類型Ø 給出控制系統(tǒng)的基本要求： 1.穩(wěn) 2.準(zhǔn) 3.快補(bǔ)充知識：拉氏變換及其性質(zhì)1.定義 記 X(s) = Lx(t) 稱 x(t): 原函數(shù)， s：復(fù)變量 ， X(s): 象函數(shù) 2.進(jìn)行拉氏變

15、換的條件 (1) t < 0，x(t)=0；當(dāng)t ³ 0，x(t)是分段連續(xù)； (2) 當(dāng)t充分大后滿足不等式，| x(t)| £ M*e*ct, M, c是常數(shù)。 3.性質(zhì)和定理（ P31，表2-2） (1)線性性質(zhì) L ax1(t) + bx2(t) = aX1(s) + bX2(s)(2)微分定理 若 ， 則：(3)積分定律若x-1(0)= x-2(0) = = 0，x(t)各重積分在t=0的值為0時，(4) 終值定理 若x(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原點(diǎn)為單極點(diǎn)外，在j軸上及其右半平面內(nèi)應(yīng)沒有其它極點(diǎn)，則函數(shù)x(t

16、)的終值為：(5)初值定理 如果x(t)及其一階導(dǎo)數(shù)是可拉氏變換的，并且 存在，則(6)延遲定理L x(t - t)×1(t - t) = e-t s X(s) t >0 Le-at x(t) = X(s + a)(7)尺度變換(8)卷積定理4. 舉例 （典型輸入信號的拉氏變換） 例2-3 求單位階躍函數(shù) x(t)=1(t)的拉氏變換。 解： 例2-4 求單位斜坡函數(shù)x(t)=t的拉氏變換。 解：例2-5 求正弦函數(shù)x(t) = sint 的拉氏變換。 解：例2-6 求函數(shù)x(t)的拉氏變換。解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A×1(t) - A

17、15;1(t -t0 ) 例2-7 求e at 的拉氏變換。 解:例2-8 求e -0.2 t 的拉氏變換。 解：例2-9 求x(0)， x(¥)。 解：二. 復(fù)習(xí)拉氏反變換 1. 定義 由象函數(shù)X(s)求原函數(shù)x(t) 2. 求拉氏反變換的方法 根據(jù)定義，用留數(shù)定理計算上式的積分值 查表法（P32, 表2-3） 部分分式法 一般，象函數(shù)X(s)是復(fù)變量s的有理代數(shù)公式，即 通常m < n，a1 , , an； b0 , , bm 均為實(shí)數(shù)。首先將X(s)的分母因式分解，則有式中s1 , , sn是 A(s) = 0的根，稱為X(s)的極點(diǎn)。分兩種情況討論： (1) A(s)

18、= 0無重根：式中ci 是待定常數(shù)，稱為X(s)在極點(diǎn)si 處的留數(shù)。(2) A(s) = 0有重根。設(shè)有r個重根s1 ，則 j = 0,1, , r-1 i = r+1, , n 3. 舉例例2-10 ，求原函數(shù)x(t)。解： s2 + 4s + 3 = (s + 3)(s + 1)例2-11 求 的原函數(shù)x(t)。解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 - j)例2-12 求 的原函數(shù)x(t)。第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容： Ø 數(shù)學(xué)模型的概念、建模原則Ø 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Ø 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖Ø

19、信號流圖及梅遜公式§ 2-1 引言 什么是數(shù)學(xué)模型？ 所謂的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量(或變量)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2.1.1 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn) 1.相似性 2.簡化性和準(zhǔn)確性 3.動態(tài)模型 4.靜態(tài)模型Ø 靜態(tài)模型和動態(tài)模型一、靜態(tài)模型 1.不含時間變量t的代數(shù)方程 2.平衡狀態(tài)下各變量間對應(yīng)關(guān)系 3.變化量不隨時間而變化二、動態(tài)模型 1.表達(dá)式是含時間變量t的微分方程 2.描述了系統(tǒng)的非平衡過程 3.變量隨時間而變化 4.靜態(tài)模型包含在靜態(tài)模型中2.1.2 數(shù)學(xué)模型的類型 1.微分方程 2.傳遞函數(shù) 3.狀態(tài)空間表達(dá)式2.1.3 數(shù)學(xué)模型的建模原則 數(shù)學(xué)模型的建立

20、方法： 1. 分析法(微分方程和代數(shù)方程) 2.實(shí)驗(yàn)法數(shù)學(xué)模型的建模原則： 1.建模之前,要全面了解系統(tǒng)的自然特征和運(yùn)動機(jī)理,明確研究目的和準(zhǔn)確性要求,選擇合適的分析方法。 2.按照所選分析法，確定相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的形式。 3.根據(jù)允許的誤差范圍，進(jìn)行準(zhǔn)確性考慮然后建立盡量簡化的、合理的數(shù)學(xué)模型。§2.2 系統(tǒng)微分方程的建立 2.2.1 列寫微分方程式的一般步驟 1.分析系統(tǒng)運(yùn)動的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。 2.做出合乎實(shí)際的假設(shè)，以便忽略一些次要因素，使問題簡化。 3.根據(jù)支配系統(tǒng)動態(tài)特性的基本定律，列出各部分的原始方程式。 4.列寫各中

21、間變量與其他變量的因果式。 5.聯(lián)立上述方程，消去中間變量。 6.將方程式化成標(biāo)準(zhǔn)形。2.2.2 機(jī)械系統(tǒng)舉例 例2-1 彈簧-質(zhì)量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。試列出以外力F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)為輸出量的運(yùn)動方程式。解：遵照列寫微分方程的一般步驟有： 1.確定輸入量為F(t),輸出量為y(t)，作用于質(zhì)量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量。 2.設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無外力作用時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。 3.按牛頓第二定律列寫原始方程，即4.寫中間變量與輸出量的關(guān)系式5.將以上輔助方程式代入原始方程,消去中間變量,得6.整理方程得標(biāo)準(zhǔn)形令Tm2 = m/k

22、，Tf = f/k ，則方程化為2.2.3 電路系統(tǒng)舉例 例2-2 電阻電感電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-C串聯(lián)電路，試列出以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。L-R-C網(wǎng)絡(luò) 2階線性定常微分方程2.2.4 實(shí)際物理系統(tǒng)線性微分方程的一般特征 觀察實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動方程，若用線性定常特性來描述，則方程一般具有以下形式：式中，c(t)是系統(tǒng)的輸出變量，r(t)是系統(tǒng)的輸入變量。 列寫微分方程式時，一般按以下幾點(diǎn)來寫： 1.輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)寫在方程左端，輸入量寫在右端； 2.左端的階次比右端的高。這是因?yàn)閷?shí)際物理系統(tǒng)均有慣性或儲能元件； 3.方程式兩端的各項(xiàng)的量綱應(yīng)一致。利用這點(diǎn)

23、，可以檢查微分方程式的正確與否。 4.方程的系數(shù)均為實(shí)常數(shù)，是由物理系統(tǒng)自身參數(shù)決定的。§2.3 非線性數(shù)學(xué)模型線性化 2.3.1 線性化意義和常用方法Ø 為什么要線性化？ 1.實(shí)際對象總存在一定的非線性 2.線性系統(tǒng)具有較完整的理論Ø 線性化條件 1.實(shí)際工作情況在某平衡點(diǎn)附近(靜態(tài)工作點(diǎn)) 2.變量變化是小范圍的 3.函數(shù)值與各階導(dǎo)數(shù)連續(xù),至少在運(yùn)行范圍內(nèi)如此。 滿足上述條件，則工作點(diǎn)附近小范圍內(nèi)各變量關(guān)系近似線性Ø 線性化方法 1.泰勒級數(shù)展開 2.取線性部分Ø 線性化定義：是指將非線性函數(shù)在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級數(shù)，忽略掉高階無窮小量及

24、余項(xiàng)，得到近似的線性化方程，來替代原來的非線性函數(shù)。 假如元件的輸出與輸入之間關(guān)系x2=f(x1)的曲線如圖，元件的工作點(diǎn)為(x10，x20)。將非線性函數(shù)x2= f(x1)在工作點(diǎn)(x10，x20)附近展開成泰勒級數(shù) ： 當(dāng)(x1x10)為微小增量時，可略去二階以上各項(xiàng)，寫成 ：其中 為工作點(diǎn)(x10，x20)處的斜率，即此時以工作點(diǎn)處的切線代替曲線，得到變量在工作點(diǎn)的增量方程，經(jīng)上述處理后，輸出與輸入之間就成為線性關(guān)系。 例 已知某裝置的輸入輸出特性如下，求小擾動線性化 方程。解：在工作點(diǎn)(x0, y0)處展開泰勒級數(shù)取一次近似，且令 既有§ 2-4 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.4.1

25、. 線性常系數(shù)微分方程的求解用拉氏變換求解微分方程的一般步驟： 1.對微分方程兩邊進(jìn)行拉氏變換。 2.求解代數(shù)方程，得到微分方程在s 域的解。 3.求s 域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。例2-13 求解方程：初始條件：y(0)= -1, y¢(0) =2解：兩邊取拉氏變換 s2Y(s) - sy(0) - y¢(0) + 3sY(s) - 3y(0) +2Y(s)=5/sy(t) = 5/2 - 5 e- t + 3/2 e-2t 例2-14 圖2-5所示的RC電路，當(dāng)開關(guān)K突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。解：設(shè)輸入量為ur (t)，輸出量為uc (t)

26、。寫出電路運(yùn)動方程 電容初始電壓為uc(0)，對方程兩端取拉氏變換當(dāng)輸入為階躍電壓ur (t) = u0 1(t)時， 得 式中右端第一項(xiàng)是由輸入電壓ur (t)決定的分量，是當(dāng)電容初始狀態(tài)uc(0) =0 時的響應(yīng)，故稱零狀態(tài)響應(yīng)；第二項(xiàng)是由電容初始電壓uc(0)決定的分量，是當(dāng)輸入電壓ur (t)=0時的響應(yīng)，故稱零輸入響應(yīng)。 根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將初始電壓uc(0)視為一個輸入作用，則可在復(fù)數(shù)域內(nèi)分別研究RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)及零輸入響應(yīng)。若令uc(0) = 0，則有 當(dāng)輸入電壓ur(t)給定時，其拉氏變換Ur(s)亦是確定的。于是，輸出電壓便完全由1/(RCs+1)所確定。這時，上式

27、也可寫成上式表明，輸出電壓Uc(s)與輸入電壓Ur(s)之比，是s的一個有理分式函數(shù)，它只與電路的結(jié)構(gòu)形式及其參數(shù)有關(guān)，故可以作為在復(fù)數(shù)域內(nèi)描述RC電路輸入-輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，稱為傳遞函數(shù)，記作G(s)。Uc(s) = G(s) Ur(s)2.4.2 傳遞函數(shù)的定義 定義：在線性（或線性化）定常系統(tǒng)中，初始條件為零時，系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程式為 式中，r(t)是輸入量，c(t)是輸出量。 在零初始條件下，對上式兩端進(jìn)行拉氏變換得 (a0sn + a1sn-1 +¼ + an-1s + an )C(s)= (b0sm +

28、 b1sm-1 +¼ + bm-1s + bm )R(s)求出傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)的實(shí)際意義 零初始條件有兩方面的含義：一是輸入在t =0以后才作用于系統(tǒng)，即輸入及其各階導(dǎo)數(shù)在t =0的值為零；二是系統(tǒng)在輸入作用前是相對靜止的，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t =0的值為零。 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動情況。（零狀態(tài)解） 對于非零初始條件的響應(yīng)，可用疊加原理進(jìn)行處理。§ 2-5 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 典型環(huán)節(jié)有6種，分述如下：1.比例環(huán)節(jié) 運(yùn)動方程式 c(t) = K× r(t) 傳遞函數(shù) G(s) = K 單位階躍響應(yīng) C(s

29、) = G(s) R(s) = K/s c(t) = K×1(t) 可見，當(dāng)輸入量r(t)=1(t)時，輸出量c(t)成比例變化。 2.慣性環(huán)節(jié) 微分方程式： 傳遞函數(shù)：式中，T是慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個負(fù)實(shí)極點(diǎn) p = -1/T，無零點(diǎn)。單位階躍響應(yīng):階躍響應(yīng)曲線是按指數(shù)上升的曲線。3.積分環(huán)節(jié) 微分方程式： 傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：當(dāng)輸入階躍函數(shù)時，該環(huán)節(jié)的輸出隨時間直線增長，增長速度由1/T決定。當(dāng)輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。4.微分環(huán)節(jié) 微分方程式為：傳遞函數(shù)為： G(s)=Ts單位階躍響應(yīng)： c(t) = Td(t)由于階躍信號在時

30、刻t = 0有一躍變，其他時刻均不變化，所以微分環(huán)節(jié)對階躍輸入的響應(yīng)只在t = 0時刻產(chǎn)生一個響應(yīng)脈沖。5.振蕩環(huán)節(jié)微分方程式為：傳遞函數(shù)為： 或 式中，T > 0，0 < z <1，wn = 1/T，T 稱為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)， z 為阻尼比，wn為無阻尼振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)有一對位于s左半平面的共軛極點(diǎn)：單位階躍響應(yīng)： 式中，=cos1z 。響應(yīng)曲線是按指數(shù)衰減振蕩的，故稱振蕩環(huán)節(jié)。6.延遲環(huán)節(jié) 微分方程式為： c(t) = r(t - t) 傳遞函數(shù)為： G(s) =e t-s 單位階躍響應(yīng)： c(t) = 1(t t- )§ 2-6 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.6.1 結(jié)

31、構(gòu)圖的定義及基本組成 1.結(jié)構(gòu)圖的定義 定義: 由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，并標(biāo)明信號流向的系統(tǒng)的方框圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 例如討論過的直流電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，用方框圖來描述其結(jié)構(gòu)和作用原理，見圖。把各元件的傳遞函數(shù)代入方框中去，并標(biāo)明兩端對應(yīng)的變量，就得到了系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。 2.結(jié)構(gòu)圖的基本組成u 畫圖的4種基本元素如下： 信號傳遞線 是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，傳遞線上標(biāo)明被傳遞的信號。 分支點(diǎn) 表示信號引出或測量的位置，從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。相加點(diǎn) 對兩個以上的信號進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，“ + ”號表示相加，可省略不寫，“ - ”號表示相減。 方框

32、表示對信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)運(yùn)算。方框中寫入元部件的傳遞函數(shù)。2.6.2 結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟 (1) 列寫每個元件的原始方程，要考慮相互間負(fù)載效應(yīng)。 (2) 設(shè)初始條件為零,對這些方程進(jìn)行拉氏變換，并將每個變換后的方程,分別以一個方框的形式將因果關(guān)系表示出來，而且這些方框中的傳遞函數(shù)都應(yīng)具有典型環(huán)節(jié)的形式。 (3) 將這些方框單元按信號流向連接起來，就組成完整的結(jié)構(gòu)圖。例2-15 畫出下圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。解：(1) 列寫各元件的原始方程式 (2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式(3)將這些方框依次連接起來得圖。2.6.3 結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式 1.三種基本連接形式 (1) 串聯(lián)。相互間無

33、負(fù)載效應(yīng)的環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即前一個環(huán)節(jié)的輸出是后一個環(huán)節(jié)的輸入，依次按順序連接。 由圖可知： U(s)=G1(s)R(s) C(s)=G2(s)U(s) 消去變量U(s) 得 C(s)= G1(s)G2(s)R(s) = G(s)R(s) 故環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。 (2) 并聯(lián)。并聯(lián)各環(huán)節(jié)有相同的輸入量，而輸出量等于各環(huán)節(jié)輸出量之代數(shù)和。 由圖有 C1(s) = G1(s)R(s) C2(s) = G2(s)R(s) C(s) = C1(s) ± C2(s) 消去G1(s) 和G2(s)，得 C(s) = G1(s) ± G2(s)R(s) 故環(huán)

34、節(jié)并聯(lián)后等效的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。 (3) 反饋連接。連接形式是兩個方框反向并接，如圖所示。相加點(diǎn)處做加法時為正反饋，做減法時為負(fù)反饋。由圖有 C(s) = G(s)E(s) B(s) = H(s)C(s) E(s) = R(s) ± B(s)消去B(s) 和E(s)，得 C(s) = G(s) R(s) ± H(s)C(s) 上式稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，是反饋連接的等效傳遞函數(shù)。G(s):前向通道傳遞函數(shù)H(s):反饋通道傳遞函數(shù)H(s)=1 單位反饋系統(tǒng)G(s)H(s):開環(huán)傳遞函數(shù)2.閉環(huán)系統(tǒng)的常用傳遞函數(shù) 考察帶有擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)如圖所示。它代表了

35、常見的閉環(huán)控制系統(tǒng)的一般形式。 (1)控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s) = 0有 (2)擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù) 令R(s) = 0有 至此，可以給出求單回路閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般公式為 式中負(fù)反饋時取“+”號，正反饋時取“”號。 (3)兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)的響應(yīng) (4)控制輸入下的誤差傳遞函數(shù) (D(s)=0)(5)擾動輸入下的誤差傳遞函數(shù)(R(s)=0)(6)兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)時的誤差2.6.4 結(jié)構(gòu)圖的等效變換 變換的原則：變換前后應(yīng)保持信號等效。1 . 分支點(diǎn)后移2 . 分支點(diǎn)前移3 . 比較點(diǎn)后移4 .比較點(diǎn)前移5 .比較點(diǎn)互換或合并2.6.5 結(jié)構(gòu)圖的簡化 對于復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)

36、構(gòu)圖一般都有相互交叉的回環(huán)，當(dāng)需要確定系統(tǒng)的傳函時，就要根據(jù)結(jié)構(gòu)圖的等效變換先解除回環(huán)的交叉，然后按方框的連接形式等效，依次化簡。例2-16 用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：方法1方法2例2-17 用結(jié)構(gòu)圖化簡的方法求下圖所示系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：§ 2-7 信號流圖及梅遜公式2.7.1 信號流圖的基本概念 1.定義：信號流圖是表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖。 先看最簡單的例子。有一線性系統(tǒng)，它由下述方程式描述：x2 = a12 x1式中，為輸入信號(變量)；x2為輸出信號(變量)；a12為兩信號之間的傳輸(增益)。即輸出變量等于輸入變量乘上傳輸值。若從因果關(guān)系上來看，x1為

37、“因”，x2為“果”。這種因果關(guān)系，可用下圖表示。下面通過一個例子，說明信號流圖是如何構(gòu)成的。 設(shè)有一系統(tǒng)，它由下列方程組描述： x2 = a12 x1 + a32 x3 x3 = a23 x2 + a43 x4 x4 = a24 x2 + a34 x3 + a44 x4 x5 = a25 x2 + a45 x42.信號流圖的基本元素 (1) 節(jié)點(diǎn)：用來表示變量，用符號“ O ”表示，并在近旁標(biāo)出所代表的變量。 (2) 支路：連接兩節(jié)點(diǎn)的定向線段，用符號“¾®”表示。 支路具有兩個特征： 有向性 限定了信號傳遞方向。支路方向就是信號傳遞的方向，用箭頭表示。 有權(quán)性 限定了輸

38、入與輸出兩個變量之間的關(guān)系。支路的權(quán)用它近旁標(biāo)出的傳輸值表示。 3.信號流圖的幾個術(shù)語 輸入節(jié)點(diǎn)(源節(jié)點(diǎn)) 只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，它代表系統(tǒng)的輸入變量。如圖中x1。 輸出節(jié)點(diǎn)(匯節(jié)點(diǎn)、阱節(jié)點(diǎn)) 只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，它代表系統(tǒng)的輸出變量。如圖中x4。 混合節(jié)點(diǎn) 既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中x2、x3。 通道 從某一節(jié)點(diǎn)開始，沿著支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過一些支路而終止在另一節(jié)點(diǎn)的路徑。用經(jīng)過的支路傳輸?shù)某朔e來表示。 開通道 如果通道從某一節(jié)點(diǎn)開始，終止在另一節(jié)點(diǎn)上，而且通道中的每個節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次。如a12 a23 a34 。閉通道(回環(huán)) 如果通道的終點(diǎn)就是起點(diǎn)的開通道。如a23 a32

39、，a33 (自回環(huán)) 。 前向通道 從源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)的開通道。 不接觸回路 回路之間沒有公共的節(jié)點(diǎn)和支路。4.信號流圖的基本性質(zhì) (1)信號流圖只能代表線性代數(shù)方程組。 (2)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量，表示所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號之和；而從該節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號，均用該節(jié)點(diǎn)變量表示。 (3)信號在支路上沿箭頭單向傳遞，后一節(jié)點(diǎn)變量依賴于前一節(jié)點(diǎn)變量，即只有“前因后果”的因果關(guān)系。 (4)支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。 (5)對于給定的系統(tǒng)，信號流圖不唯一。2.7.2 信號流圖的繪制方法 1.直接法 例2-18 RLC電路如圖2-28所示，試畫出信號流圖解：(1)列寫原

40、始方程 (2)取拉氏變換，考慮初始條件：i(0+)，uc(0+)(3)整理成因果關(guān)系 (4)畫出信號流圖如圖所示。2.翻譯法 例2-19 畫出下圖所示系統(tǒng)的信號流圖。 解：按照翻譯法可直接作出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖所對應(yīng)的信號流圖。2.7.3 梅遜增益公式1.梅遜增益公式 輸入輸出節(jié)點(diǎn)間總傳輸?shù)囊话闶綖槭街?P 總傳輸 (增益)； n 從源節(jié)點(diǎn)至匯節(jié)點(diǎn)前向通道總數(shù)； Pk 第K條前向通路的傳輸； D 信號流圖的特征式； Dk 余因子式(把第K條前向通道除去后的特征式。)例2-20 求圖所示系統(tǒng)的信號流圖輸入x0至輸出x8的總傳輸G。 解：信號流圖的組成：4個單回環(huán)，一條前向通道 D =1- (bi + d

41、j + fk + bcdefgm) + (bidj + bifk + djfk) - bidjfk P1 = abcdefgh D1 = 1 - 0 = 1 例2-21 已知系統(tǒng)的信號流圖如下，求輸入x1至輸出x2和x3的傳輸。 解：單回路： ac，abd，gi，ghj， aegh 兩兩互不接觸回路： ac與gi，ghj; abd與gi，ghj x1到x2的傳輸： P1 = 2ab D1 = 1 -(gi + ghj) P2 = 3gfab D2 = 1 x1到x3的傳輸： P1 = 3 D1 = 1 - ( ac + abd ) P2 = 2ae D2 = 1例2-22 試求信號流圖中的傳遞

42、函數(shù)C(s)/R(s) 。解： 單回路： -G1 ，-G2 ，-G3 ，-G1G2兩兩互不接觸回路: -G1和-G2 ， -G1和-G3 ， -G2和-G3 ，-G1G2和-G3 三個互不接觸回路: -G1 ， -G2和-G3 前向通道：P1 = G1 G2G3 K D1 = 1 P2 = G2G3 K D2 = 1 + G1 P3 = G3 K D3 = 1 + G2 P4 = G2 (-1)G3 K D4 = 1 學(xué)習(xí)指導(dǎo)與小結(jié)1.基本要求 通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)該達(dá)到 (1)正確理解數(shù)學(xué)模型的概念。 (2)了解動態(tài)微分方程建立的一般方法。 (3)掌握運(yùn)用拉氏變換法解微分方程的方法，并理解解的結(jié)

43、構(gòu)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)等概念。 (4)正確理解傳遞函數(shù)的定義、性質(zhì)和意義。 (5)正確理解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、前向通道傳遞函數(shù)，并對重要傳遞函數(shù)如：控制輸入下閉環(huán)傳遞函數(shù)、擾動輸入下閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)、典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)，能夠熟練掌握。 (6)掌握系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的定義和組成方法，熟練掌握等效變換代數(shù)法則，簡化結(jié)構(gòu)圖，并能用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。 2. 內(nèi)容提要 本章介紹了數(shù)學(xué)模型的建立方法。 線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的形式，介紹了兩種解析式（微分方程和傳遞函數(shù)）和兩種圖解法（結(jié)構(gòu)圖和信號流圖），對于每一種形式的基本概念、基本建立方法及運(yùn)算，用以下提要方式表示出來。(1)微分方

44、程式基本概念：物理、化學(xué)及專業(yè)上的基本定律中間變量的作用簡化性與準(zhǔn)確性要求基本方法1. 直接列寫法：原始方程組線性化消中間變量化標(biāo)準(zhǔn)形2轉(zhuǎn)換法：由傳遞函數(shù)®微分方程式由結(jié)構(gòu)圖®傳遞函數(shù)®微分方程由信號流圖®傳遞函數(shù)®微分方程(2)傳遞函數(shù) 基本概念1定義：線性定常系統(tǒng)零初始條件一對確定的輸入輸出2典型環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)零極點(diǎn)分布圖單位階躍響應(yīng)特性基本方法1定義法 由微分方程®傳遞函數(shù)2圖解法： 由結(jié)構(gòu)圖®化簡®傳遞函數(shù)由信號流圖®梅遜公式®傳遞函數(shù)(3)結(jié)構(gòu)圖 基本概念 數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)的圖形表示可用代

45、數(shù)法則進(jìn)行等效變換結(jié)構(gòu)圖基本元素（方框、相加點(diǎn)、分支點(diǎn)、支路） 基本方法 由原始方程組畫結(jié)構(gòu)圖用代數(shù)法則簡化結(jié)構(gòu)圖由梅遜公式直接求傳遞函數(shù)作業(yè)：2-7， 2-8， 2-9(a), 2-11(a,d,e), 2-12, 2-14, 2-15第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法主要內(nèi)容： Ø 典型信號及其性能指標(biāo)Ø 一節(jié)系統(tǒng)分析Ø 二階系統(tǒng)分析Ø 穩(wěn)定性分析Ø 穩(wěn)定性誤差分析§ 3.1典型輸入信號和時域指標(biāo)分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要工作是確定系統(tǒng)的數(shù)模，一旦獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就可以采用幾種不同的方法去分析系統(tǒng)的性能。線性系統(tǒng)：時序分析法，根軌跡法

46、，頻域法非線性系統(tǒng)：描述函數(shù)法，相平面法采樣系統(tǒng)：z變換法多輸入多輸出系統(tǒng)：狀態(tài)空間法對線性系統(tǒng)，時域分析法的要點(diǎn)是： (1)建立數(shù)模（微分方程式，傳遞函數(shù)） (2)選擇合適的輸入函數(shù)（典型信號）。取決于系統(tǒng)常見工作狀態(tài)，同時，在所有的可能的輸入信號中，選取最不利的信號作為系統(tǒng)的典型輸入信號。 (3)求出系統(tǒng)輸出隨時間變化的關(guān)系 C(s) = G(s)R(s) c(t) = L1C(s) (4)根據(jù)時間響應(yīng)確定系統(tǒng)的性能，包括穩(wěn)定性快速性和準(zhǔn)確性等方面指標(biāo)，看這些指標(biāo)是否符合生產(chǎn)工藝的要求。目前，常用的典型外作用有以下幾種：(1)單位階躍函數(shù) ,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 (2)單位斜坡函數(shù) ,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 (3)單位脈沖函數(shù) ,其