2022年2021版新北師大八年級數(shù)學下1.1等腰三角形知識點及典型習題,推薦文檔

1、1 教師張鑾學生姓名上課日期學科數(shù)學年級教材版本浙教版類型知識講解：考題講解:本人課時統(tǒng)計本月第（）課時本年度共（）課時教學案主題等腰三角形課時數(shù)量（全程或具體時間）授課時段教學目標掌握三角形的性質掌握三角形的判定教學重點、難點三角形的性質三角形的判定考點分析三角形的性質中位線 30度的直角三角形性質直角三角形的斜邊中線三角形的判定教學過程學生探索求知增智活動三角形知識回顧考點一、三角形（38 分）1、三角形的概念由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊； 相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角

2、。2、三角形中的主要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的 角平分線。（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線 （簡稱三角形的高） 。3、三角形的穩(wěn)定性三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性。需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。4、三角形的特性與表示三角形有下面三個特性：（1）三角形有三條線段（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形（3）首尾順次相接三角形的分類三角形按邊的關系分類如下：不等邊三角形三角形底和腰不相等

3、的等腰三角形等腰三角形等邊三角形三角形按角的關系分類如下：直角三角形（有一個角為直角的三角形）三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）斜三角形鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）教師引導啟發(fā)過程精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -2 把邊和角聯(lián)系在一起，有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。6、三角形的三邊

4、關系定理及推論（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：判斷三條已知線段能否組成三角形當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。證明線段不等關系。7、三角形的內角和定理及推論三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180。推論：直角三角形的兩個銳角互余。三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內角的和。三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。注： 在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。8、三角形的面積三角形的面積=21底高精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

5、 - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -3 新知：等腰三角形1、等腰三角形的性質（1）等腰三角形的性質定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）推論 1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論 2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。（2）等腰三角形的其他性質：等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45等腰三角形的

6、底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則2ba 等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為a，底角為 b、 c，則 a=180 2b，b=c=2180a2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理： 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱： 等角對等邊） 。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。推論 1：三個角都相等的三角形是等邊三角形推論 2：有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形。推論 3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。等腰三角形的性質與判定等腰

7、三角形性質等腰三角形判定中線1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點與底邊兩端點距離相等。1、 兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形；2、 如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形角平分線1、 等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。1、 如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊（平分對邊），那么這個三角形是等腰三角形；2、三角形中兩個角的平分線相等，那么這個三角形是等腰三角形。高線1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊；2、等腰三角形

8、兩腰上的高相等，并且它們的交點和底邊兩端點距離相等。1、 如果一個三角形一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對角），那么這個三角形是等腰三角形；2、 有兩條高相等的三角形是等腰三角形。角等邊對等角等角對等邊邊底的一半 腰長 周長的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - -

9、 - - - - -4 （1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形。（2）要會區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關系：可以證明線段的倍分關系。常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結論 1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結論 2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。結論 3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結論 4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結論 5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所

10、對的三角形的頂角相等等腰三角形知識點一 : 等腰三角形的性質等邊對等角等腰三角形的兩個底角 . 例 1： （2009 年貴州黔東南州）如圖，在abc中， ab ac ，點 d在 ac上，且 bdbc ad ，則 a等于（）a30o b40o c45o d 36o同步檢測一：1. 在 abc中， abac ，若 a70，則 b， c若 b40，則 a2. ）已知等腰三角形的一個內角為50，則這個等腰三角形的頂角為（） 50 80 50或 80 40或 65知識點二：等腰三角形的性質三線合一等腰三角形的、互相重合。例 2：如圖，在abc中，adae，bdce，求證：abac同步檢測二：1. 在 a

11、bc中， ab ac ， d為 bc的中點，b 70， bc10 ， 則 bd， bad a b c d e f 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -5 知識點三：等腰三角形的判定等角對等邊在 abc中，如果 a b，則有例 3：如圖，已知bd是 abc的角平分線，de bc交 ab于 e，求證：bed是等腰三角形1. 在 abc中 a5

12、0， b80， bc 10 ，則 ab知識點四：等邊三角形的性質與判定等邊三角形的三條邊都相等，三個角都相等且都等于都相等的三角形是等邊三角形；都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是的等腰三角形是等邊三角形例 4: 如圖， c 為線段ab上一點， acd ， cbe是等邊三角形，ae與 cd交于點 m ， bd與 ce交于點 n，ae交 bd于點 o求證：ae bd aob 120 cmn 是等邊三角形同步檢測四：1若 abc是等邊三角形，d為 ac的中點，則 dbc 2下列三角形：有兩個角等于60的三角形；有一個角為60的等腰三角形；三個外角（每個頂點處各取一個外角）均相等的三角形；一腰上的

13、中線也是這條腰上的高的等腰三角形。其中可以確定是等邊三角形的是。知識點五：含30的直角三角形的性質在 rt中， 30的角所對的直角邊等于斜邊的例 5：如圖，有一塊形狀為等邊abc的空地， de 、 ef為地塊中的兩條a b c d e fedcbaonmedcba精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -6 路，且 d為 ab的中點， de a

14、c ，efab ，現(xiàn)已知ae 5m ，你能求出地塊efc的周長嗎？同步檢測五：在 rt abc中， cd是斜邊 ab上的高，若 a30， bc 2 ，則 bd ， ad 隨堂檢測：1等邊三角形abc中， d為 ac的中點，延長bc到 e，使 ce cd ，若 ab 10，則 be 2如圖，已知oc平分 aob ，cd ob ，若 od 3，則 cd 3等腰三角形的一個外角為140，則這個三角形的頂角為4等腰三角形的兩邊長分別為9 和 4，它的周長為5 abc 中， a b c 1 2 3，ab 10 ，則bc6如圖， abc中， ab ac ， b30， ef垂直平分ab如 cf8，則 bf

15、7如圖，在rtabc中，90oa，ab=ac86，點e為ac的中點，點f在底邊bc上，且febe，則cef的面積是（）a 16 b 18 c6 6 d7 68 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30o， 腰長為 4 cm ， 則其腰上的高為 cm. 9如圖，在梯形abcd 中， ad bc,abad dc,b60o. (1) 求證： ab ac ；(2) 若 dc 6, 求梯形 abcd 的面積 . dcba第6題圖fecba第2題圖第1題圖odcbaedcbac b f a e 圖dcba第 9 題圖精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

16、 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -7 10. 已知：如圖， af平分bac，bcaf， 垂足為e，點d與點a關于點e對稱，pb分別與線段cf， af相交于p，m(1) 求證：ab=cd；(2) 若bac=2mpc，請你判斷f與mcd的數(shù)量關系，并說明理由同步練習：1如圖，已知abc 是等邊三角形， ad bc ，cd ad， 則 acd，若 ad 2 ，則abc的周長為ca第3題圖第1題圖dbdcbafmpe dcba精品學

17、習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -8 a b d c2等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于（）a頂角 b頂角的一半 c頂角的兩倍 d底角的一半3如圖，在 abc中 ， c90， abc 60， bd平分 abc ，若 ad 6，則 cd 4若等腰三角形的一個內角為50，則其底角為5 （09 青海）方程29180 xx的兩個根是等腰三角形的底

18、和腰，則這個三角形的周長為（）a12 b12 或 15 c15 d不能確定6在等腰abc中，abac，中線bd將這個三角形的周長分為15 和 12 兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為（）a7 b11 c 7 或 11 d7 或 10 7如圖，在等邊abc中，de、分別是abac、的中點，3de，則abc的周長是（）a6 b9 c18 d 24 8 如圖所示，abc是等邊三角形，d點是ac的中點， 延長bc到e，使cecd，（1）用尺規(guī)作圖的方法，過d點作dmbe，垂足是m（不寫作法，保留作圖痕跡） ；（2）求證：bmem9已知：在abc中，abac(1) 設abc的周長為7，bcy，abx(

19、2 x3) 寫出y關于x的函數(shù)關系式，并在直角坐標系中畫出此函數(shù)的圖象；(2) 如圖，d是線段bc上一點，連接ad若bbad，求證：abcdbaa c b d e 第 8 圖a b c d e 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -9 隨堂檢測參考答案：115；23；340或 100；417 或 22；5. ；6： 7； 8 ；9證明：(1

20、) ad bc ，ab=dc b=60 dcb b60dac acb 又ad=dc dac dca dca= acb b+acb 90abac （2）過點 a作 ae bc于 eb60 bae 30又 ab=dc 6 be=3 acb 30，ab ac bc=2ab=12 10解： (1) 證明： af平分 bac ， cad= dab= bac d與 a關于 e對稱， e為 ad中點bc ad ，bc為 ad的中垂線， ac=cd 在 rtace 和 rtabe中，（注：證全等也可得到ac=cd ）cad+ ace= dab+ abe=90 ， cad= dab ace= abe ， ac=

21、ab （注：證全等也可得到ac=ab ）ab=cd (2) bac=2 mpc ， 又 bac=2 cad ， mpc= cad ac=cd cad= cda mpc= cda mpf= cdm ac=ab ，ae bc ，ce=be （ 注：證全等也可得到ce=be ）am為 bc的中垂線， cm=bm （ 注：證全等也可得到 cm=bm）em bc ，em平分 cmb ，( 等腰三角形三線合一 ) cme= bme （注：證全等也可得到cme= bme ）bme= pmf ，pmf= cme ，mcd= f(三角形內角和 ) 注：證三角形相似也可得到 mcd= f 同步練習參考答案：112

22、；2b；33；450或 65；5c；6 ；6c；718；8（1）作圖見答案圖，（2）是等邊三角形，是 的中點，平分 （三線合一），精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -10 又 ，又 ， ，又 ， 9(1) 解：y72x(2 x3) 畫圖象略 (2) 證明： abac ， bc. bbad ， bad c. 又 bb， bac bda. 1

23、1證 abd bce(sas) ； bap ebc, ape abe+ bap abe+ ebc abc 60運用 30角所對的直角邊等于斜邊的一半可得pe 2pf 12（1）cd=be 理由如下 : abc和ade為等邊三角形ab=ac ，ae=ad ，bac= ead=60o bae =bac eac =60o eac ，dac = dae eac =60o eac ，bae= dac ， abe acd cd=be （2）amn 是等邊三角形理由如下：abe acd ，abe= acd m 、n分別是 be 、cd的中點，bm= ab=ac ，abe= acd ， abm acn am=an，mab= nac nam= nac+ cam= mab+ cam= bac=60o amn 是等邊三角形設 ad=a ，則 ab=2a ad=ae=de，ab=ac ，ce=de ade為等邊三角形，dec=120 o ，ade=60o ，edc= ecd=30o ，adc=90o 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -