初中函數概念(共8頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上函數及其相關概念 1、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。2、函數解析式用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數的三種表示法及其優(yōu)缺點（1）解析法兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。（2）列表法把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表

2、示法叫做列表法。（3）圖像法用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。一次函數和正比例函數 1、一次函數的概念：一般地，如果（k，b是常數，k0），那么y叫做x的一次函數。特別地，當一次函數中的b為0時，（k為常數，k0）。這時，y叫做x的正比例函數。2、一次函數、正比例函數的圖像 所有一次函數的圖像都是一條直線P(x0 y0)bxyy=kx+bA(x1, y1)B(x2, y2)0da一次函數

3、ykxb(k0)的圖像是經過點（0，b）的直線(b是直線與y軸的交點的縱坐標，即一次函數在y軸上的截距)；正比例函數的圖像是經過原點（0，0）的直線。 3、斜率： 直線的斜截式方程，簡稱斜截式: ykxb(k0)由直線上兩點確定的直線的兩點式方程，簡稱兩點式:由直線在軸和軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡稱截距式：Y設兩條直線分別為，： ：若A若，則有且。 點P（x0，y0）到直線y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距離: XB4、兩點間距離公式（當遇到沒有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） 如圖：點A坐標為（x1，y1）點B坐標為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的

4、長度為 5、正比例函數和一次函數解析式的確定確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式（k0）中的常數k。確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式（k0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法。6、（1）一次函數圖象是過 兩點的一條直線，|k|的值越大，圖象越靠近于y軸。（2）當k>0時，圖象過一、三象限，y隨x的增大而增大；從左至右圖象是上升的（左低右高）；（3）當k<0時，圖象過二、四象限，y隨x的增大而減小。從左至右圖象是下降的（左高右低）；（4）當b>0時，與y軸的交點（0，b）在正半軸；當b<0時，與y軸的交點(0,b)在負半軸。當b0時，一次函

5、數就是正比例函數，圖象是過原點的一條直線（5）幾條直線互相平行時 ，k值相等而b不相等。反比例函數 1、反比例函數的概念一般地，函數（k是常數，k0）叫做反比例函數。反比例函數的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數，也可寫成xy=k(k是常數，k0)反比例函數中，兩個變量成反比例關系：由xy=k，因為k為常數，k0，兩個變量的積是定值，所以y與x成反比變化，而正比例函數y=kx(k0)是正比例關系：由=k (k0)，因為k為不等于零的常數，兩個變量的商是定值。2、反比例函數y=(k0)的圖象的畫法畫圖方法：描點法。由于雙曲線的圖象有關于原點

6、對稱的性質，所以只要描出它在一個象限內的分支，再對稱地畫出另一分支。一定要注意：k>0，雙曲線兩分支分別在第一、三象限。k<0，雙曲線兩分支分別在第二、四象限。(在每一象限內，從左向右上升)因此，它的增減性與一次函數相反反比例函數與正比例函數的交點關于原點對稱。 特點：y=kx-1(k0)中，x0， y0，則有雙曲線不過原點且與兩坐標軸永不相交。但無限靠近x軸、y軸。畫圖時圖象要體現這種性質，千萬注意不要將兩個分支連起來。3、反比例函數的性質和圖像反比例函數k的符號k>0k<0圖像 y O x y O x性質x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；當k>0時，函

7、數圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內，y隨x 的增大而減小。x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；當k<0時，函數圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內，y隨x 的增大而增大。4、反比例函數解析式的確定確定的方法仍是待定系數法。由于在反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數中反比例系數的幾何的意義如下圖，過反比例函數圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=二次函數 1、二次函數的概念：一般地，如果，那么y叫做x 的二次函數。叫做二次函數的

8、一般式。2、二次函數的圖像：二次函數的圖像是一條關于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。3、二次函數圖像的畫法 五點法：（1）先根據函數解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標軸的交點：當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數的圖像。當拋物線與x軸只有一個或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數的

9、圖像4.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：，頂點是，對稱軸是直線 （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線. （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。 若已知拋物線上兩點（及y值相同），則對稱軸方程可以表示為：5.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小當時，拋物線開口向上，頂點為其最低點；當時，拋物線開口向下；頂點為其最高點。 相等，拋物線的開口大小、形狀相同. 越大，圖像開口越小，越小，圖像開口越大。 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線. （2）和共同決定拋物線對

10、稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：時，對稱軸為軸； （即、同號）時，對稱軸在軸左側；（即、異號）時，對稱軸在軸右側. （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：，拋物線經過原點; ,與軸交于正半軸；,與軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 .6、二次函數的解析式有三種形式：（1）一般式：（2）頂點式：（3）交點式：當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根和存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：函數解析式開口方向對稱

11、軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()7、二次函數的最值 如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內，若在此范圍內，則當x=時，；若不在此范圍內，則需要考慮函數在范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨x的增大而增大，則當時，當時，；如果在此范圍內，y隨x的增大而減小，則當時，當時，。8、二次函數的圖象 函數二次函數圖像a>0a<0 y 0 x y0 x 1性質（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）

12、在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側，即當x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側，即當x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，9. 拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0, ). （2）拋物線與軸的交點：二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點 ()拋物線與軸相交； 有一個交點（頂點在軸上）()拋物線與軸相切； 沒有交點 ()拋物線與軸相離. （3）平行于軸的直線與拋物線的交點 同（2）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時