基于計(jì)算機(jī)代數(shù)法求解非線性動力系統(tǒng)

1、畢 業(yè) 論 文專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級學(xué)號： 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師： 二XX年X月XXXX大學(xué)本科生畢業(yè)論文基于計(jì)算機(jī)代數(shù)法求解非線性動力系統(tǒng)A method based on the Computer Algebra for solving the Non-linearity Dynamic System專業(yè)班級：學(xué)生姓名：指導(dǎo)教師：學(xué) 院：20XX年 X 月摘 要本課題主要研究計(jì)算機(jī)代數(shù)法(Computer Algebra method)在微分方程中的應(yīng)用。計(jì)算機(jī)代數(shù)法提供了些方法，使得微分方程能得到更多精確解。首先是對計(jì)算機(jī)代數(shù)法的一些基本知識做了介紹，這些基本的知識為下面接下來的

2、研究打下一定的基礎(chǔ)?；谟?jì)算機(jī)代數(shù)法分析，討論了三維拓展量子ZK方程,可變廣義Vaknenko方程，PHI-four方程。其中，首先將解擬似成代數(shù)的形式，然后代入原方程中，令未知量的系數(shù)為零，來確定解的形式。例如在求解ZK方程時(shí)，利用四種不同的擬似解來求得了多種形式的解，包括雙周期波，孤立波，震動波，有理波，和奇異波解。經(jīng)過嘗試，利用計(jì)算機(jī)代數(shù)法來求解可變廣義Vaknenko方程，PHI-four方程，也得到了更多的精確解，從而證明了該方法是一種非常有效的求解非線性方程的方法。關(guān)鍵詞：微分方程；計(jì)算機(jī)代數(shù)法；擬似；精確解ABSTRACTThis topic research Computer

3、algebraic method (Computer Algebra in differential equation of the application. Computer algebraic method provides some methods, making the differential equation can get more precise solution. First the computer algebra some basic knowledge of law, was introduced these basic knowledge in the subsequ

4、ent research provides a basis. Based on computer algebra method analysis, we discussed the three-dimensional quantum ZK equation, variable expand Vaknenko equation, generalized PHI - four equations. Among them, will first solution into algebra form to like, then generation into the original equation

5、, making the coefficient of unknown variables zero, to determine the form of solution. For example in solving ZK equation, we used four differential equations to the various forms for the solution, including double a periodic wave, solitary wave, shock waves, rational wave, and singular wave solutio

6、ns. After trying, the computer algebraic method to solve variable Vaknenko equation, generalized PHI - four equations, also got more exact solutions, which proves that the method is a very effective method of solving nonlinear equations. Key Words： Differential Equations; Computer Algebra Method; Ge

7、neralized Ansätz; Exact Solutions 目 錄1 緒 論11.1 課題研究背景11.2 課題研究意義22 計(jì)算機(jī)代數(shù)法的介紹32.1 雅可比的線性函數(shù)32.2 雅可比的有理函數(shù)52.3 雅可比有理函數(shù)82.4 下的有理函數(shù)92.5 小結(jié)93 計(jì)算機(jī)代數(shù)法的應(yīng)用103.1 可變廣義Vakhnenko方程103.2 PHI-four 方程15參考文獻(xiàn)20致 謝22XXXX大學(xué)20XX屆本科生畢業(yè)論文1緒 論1.1 課題研究背景在過去的幾個(gè)世紀(jì)中，人們對線性系統(tǒng)已經(jīng)有了深入的了解和應(yīng)用，而這些線性系統(tǒng)只是對復(fù)雜客觀世界的近似的線性抽象和描述，在實(shí)際生活中，我們遇

8、到的問題往往都是非線性的。從線性到非線性的發(fā)展過程中，我們研究問題的難度發(fā)生了質(zhì)的變化，數(shù)學(xué)模型本身蘊(yùn)含的現(xiàn)象更復(fù)雜。由于非線性本身的難度，過去研究問題大多僅限于線性模型的研究。過去的半個(gè)世紀(jì)中，由于受到迅速發(fā)展起來的計(jì)算機(jī)科學(xué)的促進(jìn)，非線性科學(xué)的相關(guān)理論得到飛速的發(fā)展，尤其是動力系統(tǒng)理論和孤立子理論，這些理論在自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域起著非常重要的角色。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，非線性現(xiàn)象在自然科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域的作用越來越重要，物理、化學(xué)、生物、工程技術(shù)、甚至社會的經(jīng)濟(jì)問題等都存在著大量的、重要的非線性問題。而在非線性物理現(xiàn)象的研究中，對非線性波動方程的精確行波解的研究又占據(jù)了重要地位，非線性波動現(xiàn)象

9、出現(xiàn)在不同的科學(xué)領(lǐng)域和工程學(xué)領(lǐng)域，像流體力學(xué)，等離子物理學(xué)，光纖，生物學(xué)，固態(tài)物理學(xué)，化學(xué)動力學(xué)，化學(xué)物理學(xué)，地理物理學(xué)等等。非線性波動現(xiàn)象，像散射，發(fā)散，漫射，反動力，對流等，在非線性波動方程中也是非常重要的。正是因?yàn)榉蔷€性動力系統(tǒng)在不同的物理系統(tǒng)中有著如此廣泛的應(yīng)用，所以，自從十九世紀(jì)五十年代以來，非線性微分方程的動態(tài)系統(tǒng)引起人們越來越多的關(guān)注，如何求這些非線性方程的精確行波解成為廣大數(shù)學(xué)和物理工作者致力于研究的一個(gè)重要課題。此外描述這些數(shù)學(xué)模型的非線性波方程本身還蘊(yùn)涵著許多豐富的未被發(fā)現(xiàn)的復(fù)雜而奇妙的現(xiàn)象，因而受到數(shù)學(xué)界和物理學(xué)界的充分重視。非線性波方程的求解問題是一個(gè)古老而重要的研究課

10、題。盡管許多學(xué)者在求解問題上做出了大量的工作，但是由于方程本身的復(fù)雜性，能夠求出的解僅僅是方程本身蘊(yùn)涵的很少的一部分，況且能夠精確求解的方程也是很少的，因此在研究方程解的過程中，主要是從兩個(gè)方面來研究：(1)精確解(2)近似解。近來，人們把更多的注意力放在求非線性方程的精確解上面，像唯一解，孤波解，周期解和緊致解等，這些求得的非線性方程的精確解有助于發(fā)現(xiàn)和解決新的物理現(xiàn)象。在求解非線性波動方程的過程中，以前已經(jīng)提了及許多新方法，例如，變分迭代法，同倫擾動法，雙曲正切法，雙曲正弦法，擴(kuò)展的雙曲正切法，齊次的平衡方程法，F(xiàn)-展開式法，擴(kuò)展的F子方程法，等等，然而，這些方法雖然具有自己獨(dú)到的優(yōu)點(diǎn)，但

11、是它們在求解不同的非線性波動方程的過程中在不同方面都存在著不同的缺點(diǎn)，所以這些方法在應(yīng)用上都是有限制的。1.2 課題研究意義計(jì)算機(jī)代數(shù)法在很多時(shí)候又被廣義的理解為“符號計(jì)算”，成為與所謂的“數(shù)值”計(jì)算相對的概念?！胺枴钡倪\(yùn)算在這里代替了“數(shù)”的運(yùn)算。符號可以代表整數(shù)，有理數(shù)，實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，也可以代表多項(xiàng)式，函數(shù)，還可以代表數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)如集合，群，環(huán)，代數(shù)等等。利用計(jì)算機(jī)代數(shù)法，可以完成許多不可思議的事情，例如可以對代數(shù)方程組進(jìn)行精確的求解，對多項(xiàng)式進(jìn)行因子分解，對復(fù)雜代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行簡歸約，對函數(shù)進(jìn)行符號積分（求出原函數(shù)），對微分方程求出精確解等等。利用計(jì)算機(jī)代數(shù)法解非線性方程能得到更多的精確解。文

12、章中，討論的計(jì)算機(jī)代數(shù)法的思想是：首先利用換元法把方程變換成常微方程，然后利用強(qiáng)有力的假設(shè)擬似方程的解，再把解代入原方程中，利用符號計(jì)算，使其簡歸約，令未知量前面的系數(shù)為零，從而得到更多的精確解。在討論ZK方程時(shí)，利用了四種不同的擬似解，使得方程得到了多種形式的解，包括雙周期波，孤立波，震動波，有理波，和奇異波解。并且利用該方法來求解可變廣義Vaknenko方程，PHI-four方程時(shí)，也得到了更多的精確解，從而證明了計(jì)算機(jī)代數(shù)法是一種非常有效的求解非線性發(fā)展方程的方法。2 計(jì)算機(jī)代數(shù)法的介紹首先，我們通過研究一個(gè)非線性方程來體現(xiàn)計(jì)算機(jī)代數(shù)法的具體應(yīng)用過程，給出一個(gè)方程為三維拓展量子Zakha

13、rov-kuznetsov(ZK)方程 （2-1）這里非線性離散參數(shù)分別定義為 參數(shù)我們對三維拓展量子ZK方程進(jìn)行如下變換： （2-2）這里是方向余弦值，是待定的量子聲的速度。行波變換（2-2）代入（2-1）成為非線性常微分方程（ODE） （2-3）這里接下來我們就通過一些強(qiáng)有力的四種擬似解來求非線行常微分方程（2-3）的解析解。2.1 雅可比的線性函數(shù)步驟一：擬似解這里我們利用簡單的雅可比多項(xiàng)式函數(shù)變換，設(shè)解的形式為 （2-4）這里分別是雅可比正弦，余弦，正切函數(shù)，是雅可比函數(shù)的模，這些參數(shù)都是待定的。我們?yōu)榱朔奖阌?jì)算，就令，則得到方程 （2-5）步驟二：將(2-4)的相應(yīng)形式代入（2-5）

14、中，得到關(guān)于的形式的多項(xiàng)式。令其系數(shù)為零，得到一組方程組。步驟三：利用軟件進(jìn)行求解，得到不同類型的解，并對解進(jìn)行分類討論。 Case1：線性雅可比函數(shù)解 （2-6） （2-7） （2-8）在極限情況 下，周期波解(2-6)-(2-8)退化成沖擊波解 （2-9）和鐘形孤立波解 （1-10）Case2：線性組合的雅克比函數(shù)解 （2-11） （2-12） （2-13）當(dāng)我們在（2-11）中取時(shí)，對于極限m1，周期波解（2-11）退化成相同孤立波解（2-10），另外解(2-10)退化成瑣碎解。對于兩個(gè)復(fù)雜的解（2-12）和解（2-13），他們退化成相同復(fù)雜的拓展量子ZK方程的沖擊波解和鐘形孤立波解的組

15、合 （2-14） 2.2 雅可比的有理函數(shù)步驟一：擬似解這里我們利用雅可比函數(shù)的有理變換 （2-15）這里參數(shù)是待定的。步驟二：將(2-15)的相應(yīng)形式代入（2-5）中，得到關(guān)于的形式的多項(xiàng)式。令其系數(shù)為零，得到一組方程組。步驟三：利用軟件進(jìn)行求解，得到不同類型的解，并對解進(jìn)行分類討論。 Case1： （2-16）這里 在極限情況下，周期波解（2-16）退化成孤立波解 Case2： (2-17)這里極限情況下，周期波解（2-17）退化成常量。Case3： （2-18）這里 和 當(dāng)，解（2-18）是奇異周期波解，但是在極限情況下，周期波解（2-18）退化成有規(guī)則的震動波解，。Case4： (2-

16、19)這里，在極限情況下，周期波解（2-19）退化成孤立單調(diào)波解這里 <0，,。此外，周期波解（2-19）在條件下是奇異的。Case5： （2-20）這里 Case6： （2-21）這里解是奇異周期波解。在極限情況下，周期波解（2-21）退化成孤立波解 這里和。 2.3 雅可比有理函數(shù)步驟一：擬似解在上使用有理變換 （2-22）這里參數(shù)是待定的。步驟二：將(2-22)的相應(yīng)形式代入（2-5）中，得到關(guān)于的形式的多項(xiàng)式。令其系數(shù)為零，得到一組方程組。步驟三：利用軟件解方程組,且對解進(jìn)行分類討論：Case1： （2-23）其中為一個(gè)常數(shù)，且 在極限情況下，周期波解（2-23）退化成孤立波解

17、這里參數(shù)為 Case2： （2-24）這里是常量，參數(shù)為 和 在極限情況下，周期波解（2-24）退化成孤立波解 這里參數(shù)為， 2.4 下的有理函數(shù)步驟一：擬似解：我們使用文獻(xiàn)提到的關(guān)于的有理變換，這樣得到了有界有理波解 （2-25）這里是任意常量。步驟二：將(2-25)的相應(yīng)形式代入（2-5）中，得到方程 步驟三：解方程得到： 且.2.5小結(jié) 綜上所述,我們研究了三維擴(kuò)展量子ZK方程的解析解，該方程是由描述非線性量子聲波傳播行為的無限維水動力方程改進(jìn)而來的描述稠密量子體的方程。在符號計(jì)算幫助下,一些有效的擬似被使用，使得擴(kuò)展的QZK方程得到了多種形式的解，包括雙周期波，孤立波，震動波，有理波，

18、和奇異波解。3計(jì)算機(jī)代數(shù)法的應(yīng)用3.1 可變廣義Vakhnenko方程給出Vakhnenko方程如下： （3-1） 我們設(shè): 這里。我們將定義為： 且 這樣得到: 于是得到: 我們令，這時(shí)得到: 整理得到: 讓，我們得到: （3-2）接下來我們就用上章所介紹的方法一來研究這個(gè)方程。我們根據(jù)方法一（2-4）設(shè)解的形式為：因?yàn)闈M足所以需要分類討論Case1：當(dāng)時(shí)，所以：步驟一：擬似解：設(shè)，所以得到 （3-3）步驟二：將解(3-3)的相應(yīng)形式代入方程（3-2）中，得到關(guān)于的形式的多項(xiàng)式。令其系數(shù)為零，得到一組方程組。 步驟三：利用軟件解得： （3-4） 當(dāng)時(shí)，步驟一：擬似解：設(shè)，所以得到： （3-5

19、）步驟二：將解(3-5)的相應(yīng)形式代入方程（3-2）中，得到關(guān)于的形式的多項(xiàng)式。令其系數(shù)為零，得到一組方程組。 步驟三：利用軟件解得： （3-6）當(dāng)時(shí)，步驟一：擬似解：設(shè)，所以得到： （3-7）步驟二：將解(3-7)的相應(yīng)形式代入方程（3-2）中，得到關(guān)于的形式的多項(xiàng)式。令其系數(shù)為零，得到一組方程組。 步驟三：利用軟件解得 （3-8）步驟四：對解進(jìn)行討論：我們發(fā)現(xiàn)（3-4），（3-6）,(3-8)代入后可以寫成如下解的形式 （3-9） 所以當(dāng)時(shí)，解（3-9）退化成周期波解,圖形為（3-19）： 圖3-19Case2：當(dāng)時(shí)，步驟一：擬似解：設(shè)，所以得到： （3-10）步驟二：將解(3-10)的相

20、應(yīng)形式代入方程（3-2）中，得到關(guān)于的形式的多項(xiàng)式。令其系數(shù)為零，得到一組方程組。 步驟三：利用軟件解得 （3-11）步驟四：對解進(jìn)行分析：所以（3-11）可以寫成 這是一個(gè)復(fù)雜的形式，當(dāng)時(shí)，仍然退化成周期波解 以上便是利用計(jì)算機(jī)代數(shù)法一所求出的方程（3-2）的精確行波解。圖形為（3-20）： 圖3-203.2 PHI-four 方程PHI-four 方程如下： （3-12）通過行波變換是任意常數(shù)，為波速,方程變?yōu)?（3-13）因此，我們用第二種方法來解決步驟一：擬似解：我們根據(jù)第二種方法設(shè)解的形式為： （3-14）步驟二：將(3-14)的相應(yīng)形式代入（3-12）中，得到關(guān)于的形式的多項(xiàng)式。令

21、其系數(shù)為零，得到一組方程組。 步驟三：利用軟件解方程組得到幾組解，并對解進(jìn)行分類討論：Case1: 所以 （3-15）在極限情況下，周期波解（3-15）退化成孤立波解，圖形為（3-21）：Case2: 所以 （3-16）在極限情況下，周期波解（3-16）退化成孤立波解，圖形為（3-22）： Case3: 所以 （3-17）在極限情況下，周期波解（3-17）退化成孤立波解，圖形為（3-23）： Case4: 所以 （3-18）在極限情況下，周期波解（3-18）退化成孤立波解，圖形為（3-24）：PHI-four 方程在文獻(xiàn)20中用sine-cosine和tanh方法求過解，僅得到兩個(gè)孤立波解，而

22、用計(jì)算機(jī)代數(shù)法可以得到四個(gè)孤立波解，所以更精確?？偟膩碚f，計(jì)算機(jī)代數(shù)法求解非線性方程是一種有效的方法。按照這種方法，得到了方程豐富的精確解。 圖3-21 圖3-22 圖3-23 圖3-24 參考文獻(xiàn)1 M.J. Ablowitz and H. Segur. Solitons and the Inverse Scattering TransformJ. SIAM Philadel- phia,1981.2 J.J.C. Nimmo. A bilinear Backlund transformation for the nonlinear Schrödinger equationJ. P

23、hys. Lett. A. 99 (1983) 279-80.3 樓森岳.推廣的Painlevé展開及KdV方程的非標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嘟釰.物理學(xué)報(bào), 1998,47:1739-1745.4 V.B.Matveev and M.A. Salle. Darboux Transformations and Solitons, Springer-VerlagJ, Berlin (1991).5 谷超豪.孤立子理論及其應(yīng)用J.杭州:浙江科技出版社,1990.6 N.C. Freeman and J.J.C. Nimmo. Soliton solitons of the KdV and KP equat

24、ions: the Wroan- skian techniqueJ. Proc. R. Soc. Lond. A 389 (1983) :319-29.7 李志斌,張善卿.非線性波方程準(zhǔn)確孤立波解的符號計(jì)算J.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 1997,17(1):8189.8 M.L. Wang, Solitary wave solutions for variant Boussinesq equationsJ, Phys. Lett. A 199(1995)169-172.9 趙熙強(qiáng),唐登斌,王利明等高階(2 + 1)維 Broer-Kaup方程的孤立波解J .物理學(xué)報(bào), 2003 ,52 (8) :182

25、71831.10 劉式適,付遵濤,劉式達(dá),趙強(qiáng)一類非線性方程的新周期解J.物理學(xué)報(bào),2002,51(1): 10-14.11 Z.T.Fu, S.K. Liu, S.D. Liu and Q. Zhao, New Jacobi elliptic function expansion and new periodic solutions of nonlinear wave equationsJ, Phys Lett. A 290 (2001) 72-76.12 王曉麗,張鴻慶 Jacobi橢圓函數(shù)展開法及其應(yīng)用J煙臺大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)與工程版)第四期,2003.13 W. Maliet, Sol

26、itary wave solutions of nonlinear wave equationsJ, Am. J. Phys. 60 (1992):650-654.14 劉式達(dá),付遵濤,劉式適,趙強(qiáng).非線性波動方程Jacobi橢圓函數(shù)包絡(luò)周期解J.物理學(xué)報(bào),2002,51(4):718-722.15 E.G.Fan,Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equationsJ, Phys. Lett. A 277 (2000) 212-218.16 郭冠平,張解放.求變系數(shù)方程似孤子解的一種方法J. 蘭州大

27、學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002,38(2):18-21.17趙熙強(qiáng),唐登斌,王利明等高階(2 + 1)維 Broer-Kaup方程的孤立波解J .物理學(xué)報(bào), 2003 ,52 (8) :1 8271831.17 A.M. Wazwaz, The sine-cosine method for obtaining solutions with compact and noncompact structuresJ, Appl. Math.Comput. 159(2004)559-576.18 張解放,韓平, (2 + 1) 維 Broer - K aup方程的廣義dromion結(jié)構(gòu)J . 原子與分子物理學(xué)報(bào), 2001 ,18 (2) :216-22019 M.L.Wang and Y.B. Zhou, The per