函數的極值與最大值

1、第三節(jié) 函數的極值與最大值、最小值 一、函數極值的定義 二、函數極值的判定和求法三、函數的最大值和最小值 1. 求可導函數f(x)在閉區(qū)間a ,b上的最大值和最小值 一般方法：求出所有駐點處的函數值，并與端點的函數值直接比較即知最值。 例1 求函數 在區(qū)間-2 ,6上的最大值和最小值。593)(23xxxxf 2. 一個特殊情形 結論：若函數f(x)在一個開區(qū)間內可導且有唯一的極值點x0，則當f(x0)為極大（?。┲禃r，f(x0)就是f(x)在該區(qū)間內的最大（?。┲怠?例2 求函數 的最大值。342xxy3. 實際問題 在實際問題中，若函數f(x)在某區(qū)間內只有一個駐點x0，且從實際問題本身又

2、可以知道f(x)在該區(qū)間內必有最值，則f(x0)就是所要求的最值（不必判斷）。 例3 用邊長為48厘米的正方形鐵皮做一 個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒。問怎樣截才能使鐵盒容積最大？48x48-2x48-2xx 例4 如圖所示的電路中，已知電源電壓為 e，內阻為r，求負載電阻r為多大時，輸出功率最大？rer第四節(jié) 曲線的凹凸與拐點 一、凹凸性 定義 如果在某區(qū)間內的曲線弧位于其上任一點切線的上方，則稱此曲線弧在該區(qū)間內為凹的；如果在某區(qū)間內的曲線弧位于其上任一點切線的下方，則稱此曲線弧在該區(qū)間內為凸的。oxyabcde 例如，右圖中，曲線弧

3、 abc在區(qū)間(a ,c)內是凸的；弧cde 在區(qū)間(c ,b)內是凹的。acb 幾何上，對于凹的曲線弧，切線的斜率隨x的增大而增大，即 為x的增函數，即 )(xf )(xf 0。對于凸的曲線弧，切線的斜率隨x的增大而減小，即 為x的減函數，即 。)(xf 。0)( xf 定理（凹凸性判定定理） 設函數f(x)在區(qū)間(a ,b)內具有二階導數。 （1）若在(a ,b)內 ，則曲線y=f(x)在(a ,b)內為凹的；0)( xf （2）若在(a ,b)內 ，則曲線y=f(x)在(a ,b)內為凸的。0)( xf凹凸 例1 判定曲線 的凹凸性。xy1 x +)0 ,(), 0( y xy1 例2

4、判定曲線y=x3的凹凸性。 x 0 0 +y=x3)0 ,(), 0( y 二、拐點的定義和求法 定義 連續(xù)曲線上凹的曲線弧與凸的曲線弧的分界點叫做曲線的拐點。例如，例2中的點(0,0)即為曲線y=x3的拐點。拐點的求法：（1）確定函數y=f(x)的定義域（2）求出)(xfy （3）令 ，解出這個方程在函數y= f(x)的定義域內的實根0 y （4）對于解出的方程 的每個實根x0，考察 在x0左右近旁的符號。若0 y)( xf 的符號相反，則點(x0,f(x0)為拐點；否則不是拐點。)( xf 例3 求曲線 的凹凸區(qū)間和拐點。233xxy x 1 0 +曲線y=f(x) 拐點(1,-2) 1

5、,(), 1 ( y 例4 判斷曲線 是否有拐點？1) 12(4xy 三、函數圖形的描繪（微分法作圖） 例5 用微分法作函數 的圖象。xxy331 x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1) 1,(), 1 ( 曲線 極大值 拐點 極小值yy + 0 0 +y=f(x) (0,0) 0 + + +323232132-1oxxy33112-2xy33-1 有時，還可結合所謂水平、垂直漸近線作圖。 定義 對于函數y=f(x)，若bxfxxx)(lim)()(存在，則稱直線y=b 為曲線y=f(x)的水平漸近線；若)(lim)0()0(000 xfxxxxxx存在，則稱直線x=x0 為曲線y=f(x)的垂直漸近線。 例如，直線y=1及x=2分別為曲線 的水平和垂直漸近線。121xyoyx1 2 31y=1121xy 注意：曲線是由雙曲線 平移而得到的。xy1x=2 用微分法作函數圖象的一般步驟：（1）求函數的定義域 （2）判斷函數的有界性、奇偶性、周期性 （3）求函數的一階導數，并解出駐點；求函數的二階導數，解出二階導數為零的點 （4）用函數的駐點及二階導數為零的點，將函數的定義域分成若干個區(qū)間，列出一個綜合表，以綜合判斷函數的單調性、極值及曲線的凹凸性和拐點（包括凸增、凸減、凹增、凹減等） （5）判斷曲線有無水平或垂直漸近線（若有的話，則求出之