高等數(shù)學(xué)44有理函數(shù)積分

1、第四節(jié) 基本積分法 : 直接積分法 ; 換元積分法 ;分部積分法 初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容: 第四四章 一、一、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分)()()(xqxpxr nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù):nm 時(shí),)(xr為假分式;nm 時(shí),)(xr為真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式 + 真分 式分解其中部分分式的形式為kkqxpxnxmaxa)(;)(2)04,n(2qpk若干部分分式之和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 將下列真分式分解為部分分式 :;) 1(1)

2、1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 用賦值法6532xxx)3)(2(3xxx2xa3xb原式)2(xa2x233xxx5原式)3(xb3x323xxx6故25x原式36x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 混合法)1)(21 (12xx xa2121xcbx原式)21 (xa21x54機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 代入等式兩端分別令1 ,0 xc

3、541215461cb52b51c原式 =x214512112xx四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: caxaln) 1( ncaxnan1)(1xaxad. 1xaxand)(. 2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xqxpxnxmd. 32xqxpxnxmnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為 )2(2pxm2pmn 再分項(xiàng)積分 例例2. 求.)1)(21 (d2xxx解解: 已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xcxarctan51例1(3)

4、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxcx21arctan23思考思考: 如何求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ?d)32(222xxxx提示提示: 變形方法同例3, 并利用 p209 例9 . xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxixxxxxid4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xcxarctan解解:機(jī)動(dòng)

5、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法. 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxc機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常規(guī) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 求求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(見p348公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxcxxxxd12122121xxxxd1

6、21221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化為部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxdxcxxbxa比較系數(shù)定 a , b , c , d .第三步 分項(xiàng)積分 .此解法較繁 !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例、可化為

7、有理函數(shù)的積分舉例設(shè))cos,(sinxxr表示三角函數(shù)有理式 ,xxxrd)cos,(sin令2tanxt 萬能代換t 的有理函數(shù)的積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212

8、tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnc2tan412x2tanxcx2tanln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabac說明說明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時(shí),xttan往往更方便 .的有理式用代換機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 求. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2co

9、s2)(dbtatcbtaa)(1cxbxaax)cossin(cos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xbxacossin例例9. 求求)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbacxba)tan(122cbaxba)arctantan(122機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 baarctan例例10. 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù), 可令,sin xt 原式xx42sinsin1xxx

10、dcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttctt3arctan311cxxsin3cosarctan312xsind機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分,d),(xbaxxrn令nbxat,d),(xxrndxcbxa令ndxcbxat被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,d),(xbaxbaxxrmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp例例11. 求.21d3xx解解: 令,

11、23xu則,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnc3223)2( x323x321ln3xc機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例12. 求.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的最小公倍數(shù) 6 ,6tx 則有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnccxxxx)1(ln6632663令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13. 求.d11xxxx解解: 令,1xxt則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222

12、tttd1222t211lnttcxx12cxxx1122ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡(jiǎn)單無理函數(shù)三角代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出, 但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡(jiǎn)便計(jì)算 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 簡(jiǎn)便 , 思考與練習(xí)思考與練習(xí)如何求下列積分更簡(jiǎn)便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式caxaxa33333ln61caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlncx2sin121機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)p218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.求不定積分解：解：.d)1 (126xxx令,1xt 則,1tx ttxd1d2, 故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331ttct arctancxxxx1arctan131