北師大2011版數(shù)學(xué)八年級下第一章三角形的證明教案

1、第一章 三角形的證明1.等腰三角形（一）教學(xué)目標(biāo) 1知識目標(biāo)：理解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，應(yīng)用這些公理證明等腰三角形的性質(zhì)定理；在證明過程中，進一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結(jié)論，能夠借助數(shù)學(xué)符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理；熟悉證明的基本步驟和書寫格式。2能力目標(biāo)：經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，讓學(xué)生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力；鼓勵學(xué)生在交流探索中發(fā)現(xiàn)證明方法的多樣性，提高邏輯思維水平；3情感與價值目標(biāo)：啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補充的辯證關(guān)系；培

2、養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力，以及獨立思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.教學(xué)重點 探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法；教學(xué)難點 明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語言正確表達等。教學(xué)過程1、 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課提請學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過的8條基本事實中的5條： 1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行； 2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等； 3.兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SAS）；4.兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ASA）；5.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SSS）；在此基礎(chǔ)上回憶全等三角形的另一判別條件：1.（推論）兩角及

3、其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（AAS），并要求學(xué)生利用前面所提到的公理進行證明；2.回憶全等三角形的性質(zhì)。由于有了前面的鋪墊，學(xué)生一般都能得到該推論的證明思路，但由于有了一個暑假的遺忘，可能部分學(xué)生的表述未必嚴謹、規(guī)范，教學(xué)中注意提請學(xué)生分析條件和結(jié)論，畫出簡圖，寫出已知和求證，并規(guī)范地寫出證明過程。具體證明如下：已知：如圖，A=D,B=E,BC=EF.求證：ABCDEF.證明：A=D,B=E（已知），又A+B+C=180°，D+E+F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），C=180°-(A+B)，F(xiàn)=180°-(D+E)，C=F（

4、等量代換）。又BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）。2、講述新課在提問：“等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再次通過折紙活動驗證這些性質(zhì)嗎？并根據(jù)折紙過程，得到這些性質(zhì)的證明嗎？”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷這些定理的活動驗證和證明過程。具體操作中，可以讓學(xué)生先獨自折紙觀察、探索并寫出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進行交流，互相彌補不足。由于有了教師引導(dǎo)下學(xué)生的活動，以及具體的折紙操作，學(xué)生一般都能得到有關(guān)等腰三角形的性質(zhì)定理，當(dāng)然，可能部分學(xué)生得到的定理并不全面，在學(xué)生小組的交流中，通過同伴的互相補充，一般都可以得到所有性質(zhì)定理。當(dāng)然，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意小組的巡視

5、，提醒學(xué)生思考多種證明思路，思考不同的輔助線之間的關(guān)系從而得到“三線合一”。3、明晰結(jié)論和證明過程在學(xué)生小組合作的基礎(chǔ)上，教師通過分析、提問，和學(xué)生一起完成以上兩個個性質(zhì)定理的證明，注意最好讓兩至三個學(xué)生板演證明,其余學(xué)生挑選其一證明.其后，教師通過課件匯總各小組的結(jié)果以及具體證明方法，給學(xué)生明晰證明過程。（1）等腰三角形的兩個底角相等；（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合4 、隨堂練習(xí) 活動內(nèi)容：學(xué)生自主完成P4第2題：如圖（圖略）,在ABD中,C是BD上的一點，且ACBD，AC=BC=CD，（1）求證：ABD是等腰三角形；（2）求BAD的度數(shù)。5、課堂小結(jié)教師注意對學(xué)

6、生的感想進行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，并在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，明晰部分收獲供學(xué)生共享，如：1、具體有關(guān)性質(zhì)定理；2、通過折紙活動對獲得的定理給予了嚴格的證明，為今后解決有關(guān)等腰三角形的問題提供了豐富的理論依據(jù)3、體會了證明一個命題的嚴格的要求，體會了證明的必要性6、課后作業(yè)P5習(xí)題1,2.教學(xué)反思1. 等腰三角形（二）教學(xué)目標(biāo) 1知識目標(biāo)： 探索發(fā)現(xiàn)猜想證明等腰三角形中相等的線段，進一步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性；2能力目標(biāo)： 經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過程，讓學(xué)生進一步體會證明是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力；在命題的變式中，發(fā)展學(xué)生提出問題的能力，拓展

7、命題的能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性；在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質(zhì)：對稱性，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺；3情感與價值觀要求 鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲體驗數(shù)學(xué)活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴謹性教學(xué)重點 經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)一一猜想證明”的過程。教學(xué)難點 能夠用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論教學(xué)過程1、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問題：在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?2、講述新課在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)

8、，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明?；顒又?，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，如可以漸次提出問題：你可能得到哪些相等的線段？你如何驗證你的猜測？你能證明你的猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程；還可以有哪些證明方法？通過學(xué)生的自主探究和同伴的交流，學(xué)生一般都能在直觀猜測、測量驗證的基礎(chǔ)上探究出：等腰三角形兩個底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等并對這些命題給予多樣的證明。如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，學(xué)生得到了下面的證明方法：已知：如圖，在ABC中，AB=AC，BD、CE是ABC的角平分線求證：BD=CE證法1：AB=AC，ABC=ACB(等邊對等角

9、)1=ABC，2=ABC，1=2在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，1=2BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等) 證法2：證明：AB=AC，ABC=ACB又3=4在ABC和ACE中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)3、議一議提請學(xué)生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？并在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，研究課本“議一議”：在課本圖14的等腰三角形ABC中，(1)如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此，你能得到一個什么結(jié)論?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE嗎?如果AD=AC，A

10、E=AB呢?由此你得到什么結(jié)論?在學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)注意揭示蘊含其中的思想方法。4、想一想提請學(xué)生在上面等腰三角形性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，思考等邊三角形的特殊性質(zhì)：等邊三角形三個內(nèi)角都相等并且每個內(nèi)角都等于60°.已知：如圖，ABC中，AB=BC=AC求證：A=B=C=60°.證明：在ABC中，AB=AC，B=C(等邊對等角) 同理：C=A，A=B=C（等量代換） 又A+B+C180°（三角形內(nèi)角和定理），A=B=C60° 5、 隨堂練習(xí) 如圖,已知ABC和BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD 6、 課時小結(jié)本節(jié)課我們通過觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等

11、腰三角形中相等的線段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論。7、課后作業(yè)教學(xué)反思1. 等腰三角形（三）教學(xué)目標(biāo) 1探索等腰三角形判定定理2理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明3.了解反證法的基本證明思路，并能簡單應(yīng)用。4.培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。教學(xué)重點 經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)一一猜想證明”的過程，能夠用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論教學(xué)難點 反證法的理解與運用教學(xué)過程1、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 通過問題串回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求學(xué)生獨立思考后再進交流。 問題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？ 問題2.我們是如何證明上述定理的？ 問題3

12、.我們把性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過來還成立么？如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等？ 2、講述新課教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類似的結(jié)論，這是研究問題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條途徑例如“等邊對等角”，反過來成立嗎?也就是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?生如圖，在ABC中，B=C，要想證明AB=AC，只要構(gòu)造兩個全等的三角形，使AB與AC成為對應(yīng)邊就可以了師你是如何想到的? 生由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以把ABC分成兩個全等的三角形師很好同學(xué)們可在練習(xí)本上

13、嘗試一下是否如此，然后分組討論生我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把ABC分成了兩個三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們?nèi)纫驗槲覀兊玫降臈l件是兩個三角形對應(yīng)兩邊及其一邊的對角分別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的后兩種方法是可行的師那么就請同學(xué)們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過程書寫出來(教師可讓兩個同學(xué)在黑板上演示，并對推理證明過程講評)(證明略)師我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個非常重要的定理等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形這一定理可以簡單敘述為：等角對等邊我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的對稱美3、鞏固練習(xí)已知：如圖，CAE是ABC的

14、外角，ADBC且1=2求證：AB=AC證明：ADBC，1=B(兩直線平行，同位角相等)，2=C(兩直線平行，內(nèi)錯角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角對等邊)4、適時提問 導(dǎo)出反證法我們類比歸納獲得一個數(shù)學(xué)結(jié)論，“反過來”思考問題也獲得了一個數(shù)學(xué)結(jié)論如果否定命題的條件，是否也可獲得一個數(shù)學(xué)結(jié)論嗎?我們一起來“想一想”：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等你認為這個結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?有學(xué)生提出：“我認為這個結(jié)論是成立的因為我畫了幾個三角形，觀察并測量發(fā)現(xiàn)，如果兩個角不相等，它們所對的邊也不相等但要像證明“等角對等邊”那樣卻很難證明，因為它的

15、條件和結(jié)論都是否定的”的確如此像這種從正面人手很難證明的結(jié)論，我們有沒有別的證明思路和方法呢?我們來看一位同學(xué)的想法：如圖，在ABC中，已知BC，此時AB與Ac要么相等，要么不相等假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得C=B，但已知條件是BC“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此ABAC你能理解他的推理過程嗎?再例如，我們要證明ABC中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)有兩個角是直角，不妨設(shè)A=90°，B=90°，可得A+B=180°，但ABA+B+C=180°, “A+B=180°”與“A+B+C=180°”

16、相矛盾，因此ABC中不可能有兩個直角引導(dǎo)學(xué)生思考：上一道面的證法有什么共同的特點呢?引出反證法。都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理“等角對等邊”，最后結(jié)合實例了解了反證法的含義5、拓展延伸NMCBAD在一節(jié)課結(jié)束之際，為培養(yǎng)學(xué)生思維的綜合性、靈活性特安排了2個練習(xí)。一個是通過平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過線段的轉(zhuǎn)換求圖形的周長。另一個是一個開放性的問題，考察學(xué)生多角度多維度思考問題的能力。學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)

17、上再小組交流。1.如圖，BD平分CBA，CD平分ACB，且MNBC，設(shè)AB=12，AC=18，求AMN的周長.2.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù)? 6、課堂小結(jié)（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？（3）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系（4）舉例談?wù)動梅醋C法說理的基本思路7、課后作業(yè)教學(xué)反思1. 等腰三角形（四）教學(xué)目標(biāo) 1知識目標(biāo) 理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30º角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。2能力目

18、標(biāo) 經(jīng)歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維經(jīng)歷實際操作，探索含有30º角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力；在具體問題的證明過程中，有意識地滲透分類討論、逆向思維的思想，提高學(xué)生的能力。3情感與價值觀要求 積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.教學(xué)重點 等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明.教學(xué)難點 含30°角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明.引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問題.教學(xué)過程

19、1、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師回顧前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，直接提出問題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個三角形是等腰三角形呢？從而引入新課。在老師的引導(dǎo)下，一般學(xué)生都能得出等邊三角形的性質(zhì)；對于等邊三角形的判別，學(xué)生可能會出現(xiàn)多種情況，如直接從等邊三角形性質(zhì)出發(fā)，當(dāng)然也可能有學(xué)生考慮分步進行，現(xiàn)確定它是等腰三角形，再增補條件，確定它是等邊三角形。這是教師可以適時提出問題：如果已知一個三角形是等邊三角形的基礎(chǔ)上，如何確定它是等邊三角形呢？下面是實際教學(xué)中的部分師生活動實況：生等腰三角形已經(jīng)有兩邊分別相等，所以我認為只要腰和底相等，等腰三角形就成了等邊

20、三角形生等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且分別都等于60°我認為等腰三角形的三個內(nèi)角都等于60°，等腰三角形就是等邊三角形了(此時，部分同學(xué)同意此生的看法，部分同學(xué)不同意此生的看法，引起激烈地爭論教師可讓同學(xué)代表充分發(fā)表自己的看法)生我不同意這位同學(xué)的看法因為任何一個三角形滿足這個條件都是等邊三角形根據(jù)等角對等邊，三個內(nèi)角都是60°，所以它們所對的邊一定相等但這一問題中“已知是等腰三角形，滿足什么條件時便是等邊三角形”，我覺得他給的條件太多，浪費!師給三個角都是60°，這個條件的確有點浪費，那么給什么條件不浪費呢?下面同學(xué)們可在小組內(nèi)交流自己的看法(2)你認

21、為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?把你的證明思路與同伴交流(教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時間)2、講述新課學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結(jié)論，教師適時要求學(xué)生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出下表：性質(zhì)判定的條件等腰三角形（含等邊三角形）等邊對等角等角對等邊“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60°等邊三角形三個角都相等，且每個角都是60°三個角都相等的三角形是等邊三角形活動注意事項與效果：由于有了第1環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生多能探究出：頂角是60

22、°的等腰三角形是等邊三角形；底角是60°的等腰三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；三條邊都相等的三角形是等邊三角形。對于前兩個定理的形式相近，教師可以進一步提出要求：能否用更簡捷的語言描述這個結(jié)論嗎?從而引導(dǎo)學(xué)生得出：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。在學(xué)生得出這些結(jié)論的基礎(chǔ)上，教師注意引導(dǎo)學(xué)生說明道理，給出證明的思路，選擇部分命題，給與嚴格的證明，由于“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”的證明需要分類討論，因此，可以以此問題作為對學(xué)生證明的要求，并與同伴交流證明思路并要求學(xué)生思考證明中的注意事項，從而點明其中的分類思想

23、，提請學(xué)生注意：思考問題要全面、周到3、議一議教師直接提出問題：我們還學(xué)習(xí)過直角三角形，今天我們研究一個特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30°角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形?能拼出一個等邊三角形嗎?在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？說說你的理由學(xué)生一般可以得出下面兩種圖形：其中第1個圖形是等邊三角形，對于該圖學(xué)生也可以得出BD=AB，從而得出：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半注意，教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生說明為什么所得

24、到的三角形是等邊三角形。具體的說明過程可以如下：方法1：因為ABDACD，所以AB=AC又因為RtABD中，BAD=60°，所以ABD=60°，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形方法2：圖(1)中，B=C=60，BAC=BAD+CAD=30°+30°=60°，所以B=C=BAC=60°，即ABC是等邊三角形如果學(xué)生不能很快得出30度所對直角邊是斜邊一半，教師可以在圖上標(biāo)出各個字母，并要求學(xué)生思考其中哪些線段直接存在倍數(shù)關(guān)系，并在將三角板分開，思考從中可以得到什么結(jié)論。然后在學(xué)生得到該結(jié)論的基礎(chǔ)上，再證明該定理。定理：在

25、直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半已知：如圖，在RtABC中，C=90°，BAC=30°求證：BC=AB分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD證明：在ABC中，ACB=90°，BAC=30°B=60°.延長BC至D，使CD=BC，連接AD(如圖所示)ACB=90°ACB=90°AC=AC，ABCADC(SAS)AB=AD(全等三角形的對應(yīng)邊相等)ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)BC=BD=AB4、變式訓(xùn)練

26、鞏固新知活動1：直接提請學(xué)生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°嗎?如果是，請你證明它在師生分析的基礎(chǔ)上，給出證明：已知：如圖，在RtABC中，C=90°，BC=AB求證：BAC=30°證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD.ACB=90°，ACD=90°又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC=BD又BC=AB，AB=BDAB=AD=BD，即ABD是等邊三角形B=60°在RtABC中，BAC=30°注意事項：該命題的證明中輔助線較復(fù)雜

27、，但恰有前面原命題探究活動過程的鋪墊，可以給學(xué)生一些啟示，因此，教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：從前面定理證明的輔助線的作法中能否得到啟示？活動2 ：呈現(xiàn)例題，在師生分析的基礎(chǔ)上，運用所學(xué)的新定理解答例題。例題等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高CD的長.分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在RtADC中，AC=2a而DAC是ABC的一個外角，而DAC=×15°=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出CD解：ABC=ACB=15°DAC=ABC+ACB=15°+15°=30°CD

28、=AC=×2a= a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)5、課時小結(jié)讓學(xué)生對課堂學(xué)習(xí)進行小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識、結(jié)論，以及解決問題的方法和蘊含其中的思想，如分類討論思想、逆向思維等6、課后作業(yè)教學(xué)反思第一章 三角形的證明2直角三角形（一）教學(xué)目標(biāo)：（1）掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問題。（2）結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立（3）進一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維進一步

29、掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力教學(xué)重點：了解勾股定理及其逆定理的證明方法結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立教學(xué)難點：勾股定理及其逆定理的證明方法教學(xué)過程1、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課通過問題1，讓學(xué)生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性質(zhì)。問題1一個直角三角形房梁如圖所示，其中BCAC， BAC=30°，AB=10 cm，CB1AB，B1CAC1，垂足分別是B1、C1，那么BC的長是多少? B1C1呢?解：在RtABC中，CAB=30°，AB=10 cm，BCAB×105 cmCB1AB，B+BCB190

30、6;又A+B90°BCB1 A30°在RtACB1中，BB1BC×5 cm25 cmAB1ABBB1102.57.5(cm)在RtC1AB1中，A30°B1C1 AB1× 7.53.75(cm)解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的“30°角的直角三角形的性質(zhì)”由此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢?”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數(shù)方格和割補圖形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推導(dǎo)出的定理，能夠證明勾股定理嗎?請同學(xué)們打開課本P16，閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導(dǎo)出的定理，證明勾股定理的方

31、法2、講述新課閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請有興趣的同學(xué)課后閱讀（1）勾股定理及其逆定理的證明已知：如圖，在ABC中，C90°，BCa，ACb，ABc求證：a2+b2c2證明：延長CB至D，使BDb，作EBDA，并取BEc，連接ED、AE(如圖)，則ABCBEDBDE90°，EDa(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)四邊形ACDE是直角梯形S梯形ACDE(a+b)(a+b) (a+b)2ABE180°(ABCEBD)180°90°90°，ABBESABEc2S梯形ACDESABE+SAB

32、C+SBED，(a+b) 2 c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2c2 + ab,a2+b2c2教師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定理的條件和結(jié)論，并強調(diào)具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方反過來，如果在一個三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結(jié)論你能證明此結(jié)論嗎?師生共同來完成已知：如圖：在ABC中，AB2+AC2BC2求證：ABC是直角三角形分析：要從邊的關(guān)系，推出A90°是不容易的，如果能借助于ABC與一個直角三角形全等，而得到A與對應(yīng)角(構(gòu)造的三角形的直角)相等，可證

33、證明：作RtABC，使A90°，ABAB，AC、AC(如圖)，則AB2AC2.(勾股定理)AB2AC2BC2，ABAB，ACBC2BC2BCBCABCABC（SSS）AA90°(全等三角形的對應(yīng)角相等)因此，ABC是直角三角形總結(jié)得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形（2）互逆命題和互逆定理觀察上面兩個命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?在前面的學(xué)習(xí)中還有類似的命題嗎?通過觀察，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：上面兩個定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個定理的條件這樣的情況，在前面也曾遇到過例如“兩直線平行，

34、內(nèi)錯角相等”，交換條件和結(jié)論，就得到“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”又如“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半”交換此定理的條件和結(jié)論就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”。3、議一議觀察下面三組命題：學(xué)生以分組討論形式進行，最后在教師的引導(dǎo)下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。讓學(xué)生暢所欲言，體會逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系，要能夠清晰地分別出一個命題的題設(shè)和結(jié)論，能夠?qū)⒁粋€命題寫出“如果；那么”的形式，以及能夠?qū)懗鲆粋€命題的逆命題。活動中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若出現(xiàn)語言上不嚴謹時，要

35、先讓這個疑問交給學(xué)生來剖析，然后再總結(jié)?；顒訒r可以先讓學(xué)生觀察下面三組命題： 如果兩個角是對頂角，那么它們相等如果兩個角相等，那么它們是對頂角如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎三角形中相等的邊所對的角相等三角形中相等的角所對的邊相等上面每組中兩個命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎?與同伴交流不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個命題的條件是第一個命題的結(jié)論，第二個命題的結(jié)論是第一個命題的條件在兩個命題中，如果一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相對于逆命題來說，另一個就為原命題再來看“議一議”中的三組命題，它

36、們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題請同學(xué)們判斷每組原命題的真假逆命題呢?在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第三組中，原命題和逆命題都是真命題由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題4、想一想要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結(jié)論，然后把結(jié)論變換成條件，條件變換成結(jié)論，就得到了逆命題請學(xué)生寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生思考：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎? 并通過具體的實例說明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命

37、題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理 能舉例說出我們已學(xué)過的互逆定理?如我們剛證過的勾股定理及其逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”與“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”“全等三角形對應(yīng)邊相等”和“三邊對應(yīng)相等的三角形全等”、“等邊對等角”和“等角對等邊”等5、隨堂練習(xí)說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假;(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補；(3)如果ab0，那么a0， b0分析互逆命題和互逆定理的概念，學(xué)生接受起來應(yīng)不會有什么困難，尤其是對以“如果那么”形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命

38、題有一定困難可先分析命題的條件和結(jié)論，然后寫出逆命題解：(1)多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題(2)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行原命題與逆命題同為正(3)如果a0，60，那么ab0原命題是假命題，而逆命題是真命題6、課時小結(jié)這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進一步發(fā)展了演繹推理能力7、課后作業(yè)習(xí)題15第1、2、3、4題教學(xué)反思第一章 三角形的證明2直角三角形（二）教學(xué)目標(biāo)：能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進一步理解證明的必要性；利用“HL定理解決實

39、際問題。進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力。教學(xué)重點：能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理教學(xué)難點：利用“HL定理解決實際問題教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)提問 （1）判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？（2）已知一條邊和斜邊，求作一個直角三角形。想一想，怎么畫？同學(xué)們相互交流。（3）有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一個角是直角呢？請證明你的結(jié)論。我們曾從折紙的過程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對等角”。那么我們能否通過作等腰三角形底邊的高來證明“等邊對等角”要求學(xué)生完成，一位學(xué)生的過程如下：已知：在AB

40、C中， AB=AC 求證：B=C證明：過A作ADBC，垂足為C，ADB=ADC=90°又AB=AC，AD=AD，ABDACD B=C（全等三角形的對應(yīng)角相等）在實際的教學(xué)過程中，有學(xué)生對上述證明方法產(chǎn)生了質(zhì)疑。質(zhì)疑點在于“在證明ABDACD時，用了“兩邊及其中一邊的對角對相等的兩個三角形全等”而我們在前面學(xué)習(xí)全等的時候知道，兩個三角形，如果有兩邊及其一邊的對角相等，這兩個三角形是不一定全等的可以畫圖說明(如圖所示在ABD和ABC中，AB=AB，B=B，AC=AD，但ABD與ABC不全等)” 也有學(xué)生認同上述的證明。教師順?biāo)浦?，詢問能否證明：“在兩個直角三角形中，直角所對的邊即斜邊和

41、一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”，從而引入新課。2、引入新課（1）“HL”定理由師生共析完成已知：在RtABC和RtABC中，C=C=90°，AB=AB，BC=BC求證：RtABCRtABC證明：在RtABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)又在Rt A' B' C'中，A' C' =A'C'=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'RtABCRtA'B'C' (SSS)教師

42、用多媒體演示：定理 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示 從而肯定了第一位同學(xué)通過作底邊的高證明兩個三角形全等，從而得到“等邊對等角”的證法是正確的3、練習(xí)：判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)兩個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等； (2)斜邊及一銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等； (3)兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等； (4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 對于（1）、（2）、（3）一般可順利通過，這里教師將講解的重心放在了問題（4），學(xué)生感覺是真命題，一時有無法直接利用已知的定理支持，教師引

43、導(dǎo)學(xué)生證明已知：RABC和RtA'B ' C'，C=C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分別是AC、A'C'邊上的中線且BDB'D' (如圖)求證：RtABCRtA'B'C'證明：在RtBDC和RtB'D'C'中，BD=B'D',BC=B'C',RtBDCRtB 'D 'C ' (HL定理)CD=C'D'又AC=2CD，A 'C '=2C '

44、;D '，AC=A'C'在RtABC和RtA 'B 'C '中，BC=B'C '，C=C '=90°，AC=A'C '，RtABCCORtA'B'C(SAS)通過上述師生共同活動，學(xué)生板書推理過程之后可發(fā)動學(xué)生去糾錯，教師最后再總結(jié)。4、議一議如圖，已知ACB=BDA=90°，要使ACBBDA，還需要什么條件?把它們分別寫出來 這是一個開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運用公理和已學(xué)過的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨立思考的基礎(chǔ)上，通過同學(xué)之間的交流，獲得各種不同的

45、答案(教師一定要提供時間和空間，讓同學(xué)們認真思考，勇于向困難提出挑戰(zhàn))5、 例題學(xué)習(xí)如圖，在ABCA'B'C'中，CD，C'D'分別分別是高，并且ACA'C'，CD=C'D'ACB=A'C'B'求證：ABCA'B'C'分析：要證ABCA'B'C'，由已知中找到條件：一組邊AC=A'C'，一組角ACB=A'C'B'如果尋求A=A'，就可用ASA證明全等；也可以尋求么B=B'，這樣就有AAS；還可尋求

46、BC=B'C'，那么就可根據(jù)SAS注意到題目中，通有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'觀察圖形，這里有三對三角形應(yīng)該是全等的，且題目中具備了HL定理的條件，可證的RtADCRtA'D'C'，因此證明A=A' 就可行證明：CD、C'D'分別是ABCA'B'C'的高(已知)，ADC=A'D'C'=90°在RtADC和RtA'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D' (已知)

47、，RtADCRtA'D'C' (HL)A=A'，(全等三角形的對應(yīng)角相等)在ABC和A'B'C'中，A=A' (已證)，AC=A'C' (已知)，ACB=A'C'B' (已知)，ABCA'B'C' (ASA) 問題 你能用三角尺平分一個已知角嗎? 請同學(xué)們用手中的三角尺操作完成，并在小組內(nèi)交流，用自己的語言清楚表達自己的想法（設(shè)計做一做的目的為了讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)結(jié)論在實際中的應(yīng)用，教學(xué)中就要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的語言清楚地表達自己的想法，并能按要求將推理證明過程寫出來。）6、

48、課時小結(jié)本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等而當(dāng)一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法HL定理，并用此定理安排了一系列具體的、開放性的問題，不僅進一步掌握了推理證明的方法，而且發(fā)展了同學(xué)們演繹推理的能力同學(xué)們這一節(jié)課的表現(xiàn)，很值得繼續(xù)發(fā)揚廣大7、課后作業(yè)習(xí)題16第3、4、5教學(xué)反思第一章 三角形的證明3線段的垂直平分線(一) 教學(xué)目標(biāo)：1.證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里和判定定理2經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的推理證明能力豐富對幾何圖形的認識。3.通過小組活動，學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)

49、果教學(xué)重點、難點:重點是運用幾何符號語言證明垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題。難點是垂直平分線的性質(zhì)定理在實際問題中的運用。教學(xué)過程第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置?其中“到兩個倉庫的距離相等”，要強調(diào)這幾個字在題中有很重要的作用線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等所以在這個問題中，要求在“A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相

50、等”利用此性質(zhì)就能完成進一步提問：“你能用公理或?qū)W過的定理證明這一結(jié)論嗎?”第二環(huán)節(jié)：性質(zhì)探索與證明教師鼓勵學(xué)生思考，想辦法來解決此問題。通過討論和思考，引導(dǎo)學(xué)生分析并寫出已知、求證的內(nèi)容。已知：如圖，直線MNAB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的點求證：PA=PB分析：要想證明PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等證明：MNAB，PCA=PCB=90°AC=BC，PC=PC,PCAPCB(SAS) ；PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)教師用多媒體完整演示證明過程 第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定你能寫出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎? 這個命題不是“如果那么

51、”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果那么”的形式，逆命題就容易寫出鼓勵學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論。原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”結(jié)論是“這個點到線段兩個端點的距離相等”此時，逆命題就很容易寫出來“如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上”寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明引導(dǎo)學(xué)生分析證明過程，有如下四種證法： 證法一：已知：線段AB，點P是平面內(nèi)一點且PA=PB求證：P點在AB的垂直平分線上證明：過點P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB，PC=PC，RtPACRtP

52、BC(HL定理)AC=BC，即P點在AB的垂直平分線上證法二：取AB的中點C，過PC作直線AP=BP，PC=PC.AC=CB，APCBPC(SSS)PCA=PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等)又PCA+PCB=180°，PCA=PCB=90°，即PCABP點在AB的垂直平分線上證法三：過P點作APB的角平分線AP=BP，1=2，PC=PC，APCBPC(SAS)AC=BC，PCA=PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等)又PCA+PCB=180°PCA=PCB=90°P點在線段AB的垂直平分線上從同學(xué)們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是

53、真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理第四環(huán)節(jié)：鞏固應(yīng)用 在做完性質(zhì)定理和判定定理的證明以后，引導(dǎo)學(xué)生進行總結(jié)：（1）線段的垂直平分線可以看成是到線段兩個端點距離相等的所有點的集合。（2）到一條線段兩個端點的距離相等個點在這條線段的垂直平分線上因此只需做出這樣的兩個點即可做出線段的垂直平分線。例題：已知：如圖 1-18，在 ABC 中，AB = AC，O 是 ABC 內(nèi)一點，且 OB = OC.求證：直線 AO 垂直平分線段BC。證明： AB = AC， 點 A 在線段 BC 的垂直平分線上（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點 O 在線段 BC 的垂直平

54、分線上. 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線（兩點確定一條直線）.學(xué)生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此老師要引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過程。第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí) 課本P23；習(xí)題1.7：第1、2題第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié) 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些新的收獲？還有哪些困惑？第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè) 習(xí)題l.7 第3、4題 教學(xué)反思:第一章 三角形的證明3線段的垂直平分線(二) 教學(xué)目標(biāo)：1.能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點;2.經(jīng)歷猜想、探索，能夠作出符合條件的三角形3.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力體驗解決問題的方法，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新

55、意識 4.學(xué)會與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果 教學(xué)重點：能夠證明與線段垂直平分線相關(guān)的結(jié)論已知底邊和底邊上的高，能利用尺規(guī)作出等腰三角形 教學(xué)難點：證明三線共點。教學(xué)過程1：情景引入 活動內(nèi)容：尺規(guī)作圖作三條邊的垂直平分線?；顒幽康模鹤寣W(xué)生利用自己的動手體會三類三角形三條邊的垂直平分線交于一點的正確性?；顒舆^程：教師提問：“利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，當(dāng)作完此題時你發(fā)現(xiàn)了什么?(教師可用多媒體演示作圖過程)”“三角形三邊的垂直平分線交于一點”、“這一點到三角形三個頂點的距離相等”等都是學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)的直觀性質(zhì)。下面請同學(xué)們剪一個三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論?與同伴交流教師質(zhì)疑：“這只是用我們的眼睛觀察到的，看到的一定是真的嗎？我們還需運用公理和已學(xué)過的定理進行推理證明，這樣的發(fā)現(xiàn)才更有意義”這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)探索和線段垂直平分線有關(guān)的結(jié)論 上述活動中，教師要注意多畫幾種特殊的三角形讓學(xué)生親自體驗和觀察結(jié)論的正確性。2：例題解析（1）教師引導(dǎo)學(xué)生分析，尋找證明方法。我們要從理論上證明這個結(jié)論，也就是證明“三線共點”，但這是我們沒有遇到過的不妨我們再來看一下演示過程，或許你能從中受到啟示通過演示和啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生認同：“兩直線必交于一點，那么要想證明“三線共點，只要證第三條直線過這個交點或者說