定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1、上頁下頁結(jié)束返回首頁四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充補充)三、已知平行截面面積函數(shù)的三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積二、二、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 上頁下頁結(jié)束返回首頁一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線設(shè)曲線)0()(xfy與直線與直線)(,babxax及及 x 軸所圍曲軸所圍曲則則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(

2、1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd上頁下頁結(jié)束返回首頁例例1. 計算兩條拋物線計算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍在第一象限所圍所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交點得交點) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110AP274-1上頁下頁結(jié)束返回首頁xxy22oy4 xy例例2. 計算拋物線計算拋物線xy22與直線與直線的面積的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點得交點)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形所圍圖形

3、)2,2(221yy442361y為簡便計算為簡便計算, 選取選取 y 作積分變量作積分變量,則有則有yyyd42AP275-2上頁下頁結(jié)束返回首頁abxoyx例例3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: 利用對稱性利用對稱性 , xyAdd所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 有有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng)當(dāng) a = b 時得圓面積公式時得圓面積公式xxdP276-3上頁下頁結(jié)束返回首頁oyxababoyx一般地一般地 ,

4、當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時給出時, 按按順時針方向順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值規(guī)定起點和終點的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積21d)()(tttttA)(1axt對應(yīng))(1bxt對應(yīng)上頁下頁結(jié)束返回首頁例例4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321

5、223 a20Axyoa2上頁下頁結(jié)束返回首頁2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線求由曲線)(r及及,射線圍成的曲邊扇形的面積圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間在區(qū)間,上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間d,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為所求曲邊扇形的面積為d)(212A 上頁下頁結(jié)束返回首頁對應(yīng)對應(yīng) 從從 0 變變例例5. 計算阿基米德螺線計算阿基米德螺線解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停到到

6、 2 所圍圖形面積所圍圖形面積 . P277-4上頁下頁結(jié)束返回首頁ttadcos82042例例6. 計算心形線計算心形線所圍圖形的所圍圖形的面積面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對稱性利用對稱性)2t令28a43212223aP277-5上頁下頁結(jié)束返回首頁oxya心形線心形線(外擺線的一種外擺線的一種)2222yxaxayx即即)cos1 ( ar點擊圖中任意點點擊圖中任意點動畫開始或暫停動畫開始或暫停 尖點尖點:)0,0( 面積面積:223a 弧長弧長:a8參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義上頁下頁結(jié)束返回首頁2co

7、scos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例7. 計算心形線計算心形線與圓與圓所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 解解: 利用對稱性利用對稱性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面積所求面積)243(2122aa22245aa ar 2上頁下頁結(jié)束返回首頁a2sin2a例例8. 求雙紐線求雙紐線所圍圖形面積所圍圖形面積 . 解解: 利用對稱性利用對稱性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0則所求面積為則所求面積為42a思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓用定積分表示該雙紐線與圓s

8、in2ar 所圍公共部分的面積所圍公共部分的面積 .2Adsin2026ad2cos21462ayox44答案答案:上頁下頁結(jié)束返回首頁二、平面曲線的弧長二、平面曲線的弧長定義定義: 若在弧若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnMAByox當(dāng)折線段的最大當(dāng)折線段的最大邊長邊長 0 時時, 折線的長度趨向于一個確定的極限折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧此極限為曲線弧 AB 的弧長的弧長 , 即即并稱此曲線弧為可求長的并稱此曲線弧為可求長的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的任意光滑曲線弧都是可求長的.( (證明略證明略) )ni 10li

9、ms則稱則稱上頁下頁結(jié)束返回首頁sdyxabo(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長因此所求弧長xysbad12xxfbad)(12(P170)22)(d)(ddyxs上頁下頁結(jié)束返回首頁(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) :因此所求弧長因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs上頁下頁結(jié)束返回首頁(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin

10、)(,cos)(ryrx令因此所求弧長因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得則得sd弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) :(自己驗證自己驗證)上頁下頁結(jié)束返回首頁)ch(cxccxccsh1例例9. 兩根電線桿之間的電線兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成懸鏈線成懸鏈線 .求這一段弧長求這一段弧長 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂下垂懸鏈線懸鏈線方程為方程為上頁下

11、頁結(jié)束返回首頁例例10. 求連續(xù)曲線段求連續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長的弧長.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4上頁下頁結(jié)束返回首頁例例11. 計算擺線計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱一拱)20(t的弧長的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2P283-13上頁下頁結(jié)束返回首頁d222aa例例12. 求阿基米德螺線求阿基米德螺線相應(yīng)于相

12、應(yīng)于 0 2 一段的弧長一段的弧長 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P349 公式公式39)212a21ln2102)412ln(24122aaP284-13上頁下頁結(jié)束返回首頁三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)于小區(qū)間則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù)上連續(xù),上頁下頁結(jié)束返回首頁xyoabxyoab

13、)(xfy 特別特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段2)(xf軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周圍成的一周圍成的立體體積立體體積時時,有有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy上頁下頁結(jié)束返回首頁ayxb例例13. 計算由橢圓計算由橢圓12222byax所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則則xxaabad)(220222(利用

14、對稱性利用對稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2xP279-7上頁下頁結(jié)束返回首頁方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)特別當(dāng)b = a 時時, 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積.343a上頁下頁結(jié)束返回首頁xyoa2例例14. 計算擺線計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞 x 軸軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的

15、體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對稱性利用對稱性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令P280-8上頁下頁結(jié)束返回首頁yxyoa2a繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 計算過程計算過程上頁下頁結(jié)

16、束返回首頁a2柱殼體積柱殼體積說明說明: xxxdy也可按柱殼法求出yVyx2柱面面積柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02上頁下頁結(jié)束返回首頁偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函數(shù)336a上頁下頁結(jié)束返回首頁例例15. 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 ,并并與底面交成與底面交成 角角,222Ry

17、x解解: 如圖所示取坐標(biāo)系如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為則圓的方程為垂直于垂直于x 軸軸 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面積為其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對稱性利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .oRxyxP281-9上頁下頁結(jié)束返回首頁oRxy思考思考: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時截面面積函數(shù)是什么此時截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2y

18、RyVR0tan2yyRyd22xx上頁下頁結(jié)束返回首頁ox1 2yBC3A例例16. 求曲線求曲線132xy與與 x 軸圍成的封閉圖形軸圍成的封閉圖形繞直線繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.解解: 利用對稱性利用對稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限在第一象限 xxd)4(322122上頁下頁結(jié)束返回首頁xyoab四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充補充)設(shè)平面光滑曲線設(shè)平面光滑曲線, ,)(1baCxfy

19、求求上的圓臺的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取取側(cè)面積元素側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abx上頁下頁結(jié)束返回首頁xyo)(xfy abxsySd2d側(cè)面積元素側(cè)面積元素xyd2sdxdxyd2因為的線性主部的線性主部 .若光滑曲線由參數(shù)方程若光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出給出, 則它繞則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積不是薄片側(cè)面積S 的

20、的 )(2ttttd)()(22S注意注意:側(cè)面積為側(cè)面積為上頁下頁結(jié)束返回首頁xRyo例例19. 計算圓計算圓上繞在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 S .解解: 對曲線弧對曲線弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得應(yīng)用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR當(dāng)球臺高當(dāng)球臺高 h2R 時時, 得球的表面積公式得球的表面積公式24RS1x2xozyx上頁下頁結(jié)束返回首頁例例20. 求由星形線求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解: 利用對稱性利用對稱性2022Sta3si

21、n22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) taytax33sin,cos上頁下頁結(jié)束返回首頁星形線星形線taytax33sin,cosa星形線是內(nèi)擺線的一種星形線是內(nèi)擺線的一種.t點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停大圓半徑大圓半徑 Ra小圓半徑小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時時, 小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線)上頁下頁結(jié)束返回首頁內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積平面圖形的面積邊界方程

22、參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程上下限按順時針方向確定直角坐標(biāo)方程注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小21d)()(tttttAd)(212A上頁下頁結(jié)束返回首頁3. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積sySd2d側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達式)2)(2)(yxA 繞 y 軸 :)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 上頁下頁結(jié)束返回首頁思考與練

23、習(xí)思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .提示提示: 交點為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 上頁下頁結(jié)束返回首頁2. 試用定積分求圓)()(222bRRbyx繞 x 軸oxyRbR上上半圓為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求體積 :提示提示:解解: 利用對稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積

24、 S .上頁下頁結(jié)束返回首頁求側(cè)面積求側(cè)面積 :oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用對稱性RS2b2S上式也可寫成d2bR20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx它也反映了環(huán)面微元的另一種取法. 上頁下頁結(jié)束返回首頁作業(yè)作業(yè) P279 2 , (3) ; 4; 5 (3) ; 8 (2) ; 10; 22; 27面積及弧長部分面積及弧長部分： 體積及表面積部分：體積及表面積部分：P279 13; 15 , (4); 17; 18上頁下頁結(jié)束返回首頁備用題備用題解：解：1. 求曲線所圍圖形的面積.1lnlnyx顯然1ln,1lnyxyoxe1e1e11eeyeexe11,xln,ln x,ln xex 111xeyln,ln y,ln yey 111ye11xe11ye,1exy 中曲線為面積為同理其它.eyx1exy exy