2022年八年級(jí)數(shù)學(xué)-一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型習(xí)題

1、學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)金老師復(fù)習(xí)（ 2） 一元二次方程（一） 、一元二次方程的概念1理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式02cbxax（a0） ；2正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù)（1）明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)0a時(shí)，整式方程02cbxax才是一元二次方程。（2）各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù)). 3一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解（二） 、一元二次方程的解法1明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；2根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配

2、方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3值得注意的幾個(gè)問題：(1)開平方法：對(duì)于形如nx2或)0()(2anbax的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開平方法求解. 形如nx2的方程的解法：當(dāng)0n時(shí)，nx;當(dāng)0n時(shí)，021xx;當(dāng)0n時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為nmx2)(的方程，再運(yùn)用開平方法求解。配方法的一般步驟：移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；“系數(shù)化1” ：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方

3、，把方程變形為nmx2)(的形式；求解：若0n時(shí)，方程的解為nmx，若0n時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程)0(02acbxax的根aacbbx242當(dāng)042acb時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)042acb時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫為abxx221；當(dāng)042acb時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根. 公式法的一般步驟：把一元二次方程化為一般式；確定cba,的值；代入acb42中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；若042acb代入求根公式求值，否則，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（4）因式分解法：因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因

4、式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（三） 、根的判別式1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 4 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)數(shù)取值范圍。 （1）=acb42（2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程02cbxax（0a）當(dāng)時(shí)00a方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)00a方程無(wú)實(shí)數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。例：求證：方程0)4

5、(2)1(222aaxxa無(wú)實(shí)數(shù)根。（4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對(duì)方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0，一元二次方程可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根。（四） 、一元二次方程的應(yīng)用1.數(shù)字問題：解答這類問題要能正確地用代數(shù)式表示出多位數(shù)，奇偶數(shù)，連續(xù)整數(shù)等形式。2.幾何問題：這類問題要結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)、特征、定理或法則來(lái)尋找等量關(guān)系，構(gòu)建方程，對(duì)結(jié)果要結(jié)合幾何知識(shí)檢驗(yàn)。3.增長(zhǎng)率問題（下降率）：在此類問題中，一般有變化前的基數(shù)（a） ，增長(zhǎng)率（x） ，變化的次數(shù)（n） ，變化后的基數(shù)（b）,這

6、四者之間的關(guān)系可以用公式bxan)1(表示。4.其它實(shí)際問題（都要注意檢驗(yàn)解的實(shí)際意義，若不符合實(shí)際意義，則舍去）。（五）新題型與代幾綜合題（1）有 100 米長(zhǎng)的籬笆材料，想圍成一矩形倉(cāng)庫(kù)，要求面積不小于600 平方米， 在場(chǎng)地的北面有一堵50 米的舊墻，有人用這個(gè)籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)40 米、寬 10 米的倉(cāng)庫(kù)，但面積只有400 平方米，不合要求，問應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)與寬才能符合要求呢？（2）讀詩(shī)詞解題（列出方程，并估算出周瑜去世時(shí)的年齡）：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，英年早逝兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符，哪位學(xué)子算得準(zhǔn)，多少年華屬周瑜？(3)已知：cba,分別是a

7、bc的三邊長(zhǎng)， 當(dāng)0m時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程02)()(22axmmxbmxc有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：abc是直角三角形。（4）已知：cba,分別是abc的三邊長(zhǎng)，求證：方程0)(222222cxacbxb沒有實(shí)數(shù)根。（5）當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程0442xmx與0544422mmmxx的根都是整數(shù)？（6）已知關(guān)于x的方程02212222mxxmxx，其中m為實(shí)數(shù)， （1）當(dāng)m為何值時(shí)， 方程沒有實(shí)數(shù)根？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根。答案： （1）2m（2）21, 1x. （六）相關(guān)練習(xí)（一）一元二次方程的概念1一元二次方程的項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)

8、把下列方程化為一元二次方程的一般形式，再寫出二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)：（1）xx3252精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 4 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)（2）22)3(4)15(aa2應(yīng)用一元二次方程的定義求待定系數(shù)或其它字母的值(1) m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程mxmxmm4)3()2(2是一元二次方程。（2）若分式01872xxx，則x3由方程的根的定義求字母或代數(shù)式值(1)關(guān)于x的一元二次方程01)1(22axxa有一個(gè)根為0，則a(2)已知關(guān)于x的一元二次方程)0(02acbxax有一個(gè)根為

9、1， 一個(gè)根為1， 則cba，cba（二）一元二次方程的解法1開平方法解下列方程：（1）289)3(1692x(2) 0)31(2m2配方法解方程：（1）0522xx(2)3422yy 3公式法解下列方程：（1）2632xx（ 2）pp32324因式分解法解下列方程：（1）04542yy(2) 1)5(2)5(2xx（3）02172xx5解法的靈活運(yùn)用（用適當(dāng)方法解下列方程）：(1)3)(2()2(6xxxx(2) 22)3(144)52(81xx（三）一元二次方程的根的判別式1不解方程判別方程根的情況：（1）4xxx732（ 2）xx4)2(32(3)xx545422k為何值時(shí)，關(guān)于x 的二

10、次方程0962xkx（1）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（ 3）無(wú)實(shí)數(shù)根3.k為何值時(shí)，方程0)3()32()1(2kxkxk有實(shí)數(shù)根 . 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 4 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備精品知識(shí)點(diǎn)（四）一元二次方程的應(yīng)用1已知直角三角形三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求它的三邊長(zhǎng)和面積. 2.某印刷廠在四年中共印刷1997 萬(wàn)冊(cè)書， 已知第一年印刷了342 萬(wàn)冊(cè)， 第二年印刷了500 萬(wàn)冊(cè)， 如果以后兩年的增長(zhǎng)率相同，那么這兩年各印刷了多少萬(wàn)冊(cè)？3某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可以售出20 件，每件盈利40 元，為了擴(kuò)大銷售