8復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解

1、§ 18復系數(shù)與實系數(shù)多項式的因式分解一 復系數(shù)多項式1. 代數(shù)基本定理：-f(x). Cx，若；：(f(x) _1 ,貝S f(x)在復數(shù) 域C上必有一根.(在復變函數(shù)中有證明)注：1) -f(x) Cx，若：(f(x 1-，則存在 x-a Cx，使(x_a)|f(x), 即f(x)在復數(shù)域上必有一個一次因式.2) 復數(shù)域上的不可約多項式只有一次多項式，即-f(xr Cx, 若：:(f(x) 1，則f (x)可約的.2. 復系數(shù)多項式因式分解定理：條件 1) -f(x) Cx , 2)若；：(f(x)_1 ,結(jié)論1) f(x)在C上可分解成一次因式的乘積.2)分解 式唯一推論1.-

2、f(xb Cx，若：(f(x)1 ,則f(x)在C上具有標準分解式f(X)二 c(x- ： 1)r1(x- ： 2)2(X- ： s)rs其中1 )s是不同的復數(shù)，2 )1，2Z+3 )：(f(X)十2 llhs推論2.-f (x) Cx，若；(f(x)Hn，則f(x)有n個復根(重根按重數(shù)計算).二、實系數(shù)多項式1 .命題：若:是實系數(shù)多項式f(X)的復根，則的共軛復數(shù)也 是f (x)的復根.證：設f (x) =anXn anxnJ1丁玄，a R，若：為根，貝卩f(： ) = an： n anj n一-a0 = 0兩邊取共軛有f() =an an j a0 = 0二廠也是f (x)為復根.2

3、.實系數(shù)多項式因式分解定理：-f (x) Cx，若：(f (x) _ 1 ,則f (x)可唯一地分解成一次 因式與二次不可約因式的乘積.證：對f(x)的次數(shù)作數(shù)學歸納 若：(f(x)=1 , f(x)就是一次因式，結(jié)論成立 假設對次數(shù)n的多項式結(jié)論成立，設：(f(x)= n ,由代數(shù)基本 定理，f(x)有一復根:-.若為實數(shù) 貝S f(x) =(x-： )fi(x)，其中 f(fi) = n-1.若不為實數(shù)，則也是f(x)的復根，于是f (x) = (x - ： )(x - ：) f2 (x) = (x 一C -匚)x亠:：£：£)f2(x)設:二 a bi，貝卩 二a -

4、 bi, ： - 2a R ： ： - a2b2R ,即在R上x2 -(二比)x Zu是一個二次實系數(shù)不可約多項式，從而( f2) = n -2由歸納假設fi(x)、f2(x)可分解成一次因式與二次不可約多項式的 乘積.由歸納原理，定理得證.推論1.-f(x). Rx,f(x)在R上具有標準分解式f (x)二 an(x-q)kl(x-C2)k2(x-Cs)ks(x2 »x 如叫川匕2 px q)kr其中 G, C2Cs, Pi Pr,qiR 匕ks,hIs z ,且p： -4qi ：0,i =1,2r，即x2 PiX qi為R上的不可約多項式推論2.在實數(shù)域上不可約多項式只有一次多項式和某些二次不 可約多項式，所有次數(shù)3的多項式皆可約.例1 求xn -1在C上的標準分解式解：在復數(shù)范圍內(nèi)xn -1有n個復根1, ；,；2川2，這里，cos蘭 isind 1nnk = 1,2,叩2k兀亠.2kn=cos i sin nnXn -1 =(x-1)(x- ；)