2022年初中圓題型總結(jié),推薦文檔2

1、圓的基本題型縱觀近幾年全國各地中考題， 圓的有關(guān)概念以及性質(zhì)等一般以填空題，選擇題的形式考查并占有一定的分值；一般在10 分15 分左右，圓的有關(guān)性質(zhì)，如垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質(zhì)等綜合性問題的運(yùn)用一般以計(jì)算證明的形式考查；利用圓的知識(shí)與其他知識(shí)點(diǎn)如代數(shù)函數(shù)，方程等相結(jié)合作為中考?jí)狠S題將會(huì)占有非常重要的地位， 另外與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，閱讀理解題， 探索存在性問題仍是熱門考題，應(yīng)引起注意. 下面究近年來圓 的有關(guān)熱點(diǎn)題型，舉例解析如下。一、圓的性質(zhì)及重要定理的考查基礎(chǔ) 知識(shí)鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的關(guān)系.(3) 圓周角定理及推論（4）圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)

2、【例 1】 （江蘇鎮(zhèn)江）如圖， ab 為o直徑， cd 為弦，且 cdab ，垂足為 h （1）ocd 的平分線 ce交o于 e ，連結(jié) oe 求證： e 為弧 adb的中點(diǎn)；（2）如果 o的半徑為 1，3cd，求 o到弦 ac 的距離；填空：此時(shí)圓周上存在個(gè)點(diǎn)到直線 ac 的距離為12【解析】 （1）ocoeq，eoce又ocedce ，edce oecd又cdab ，90aoeboeoe 為弧 adb的中點(diǎn)（2）cdabq， ab為o的直徑，3cd，1322chcd又1oc，332sin12chcoboc60cobo，30baco作opac 于 p，則1122opoa3. a b d e

3、o c h 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了利用垂徑定理和勾股定理及銳角三角函數(shù)求解問題的能力. 運(yùn)用垂徑定理時(shí)，需添加輔助線構(gòu)造與定理相關(guān)的“基本圖形”.幾何上把圓心到弦的距離叫做弦心距, 本題的弦心距就是指線段od的長. 在圓中解有關(guān)弦心距半徑有關(guān)問題時(shí), 常常添加的輔助線是連半徑或作出弦心距, 把垂徑定理和

4、勾股定理結(jié)合起來解題. 如圖, o的半徑為r, 弦心距為 d , 弦長 a之間的關(guān)系為2222ard. 根據(jù)此公式 , 在 a、r、d 三個(gè)量中 , 知道任何兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量 . 平時(shí)在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用這個(gè)基本圖形. 【例 2】 （安徽蕪湖）如圖，已知點(diǎn)e是圓 o上的點(diǎn)，b、c分別是劣弧 ad 的三等分點(diǎn)，46boco，則aed的度數(shù)為【解析】由 b、c分別是劣弧 ad 的三等分點(diǎn)知，圓心角 aob= boc= cod, 又46boco，所以aod=138 o. 根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半。從而有aed69o. 點(diǎn)評(píng)本題根據(jù)同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關(guān)系。【強(qiáng)化

5、練習(xí)】【1】. 如圖，o是 abc 的外接圓，60bac，ad ，ce分別是 bc ，ab上的高，且 ad ，ce交于點(diǎn) h，求證： ah=ao (1) 如圖，在 o中，弦 ac bd ， oe ab ，垂足為e，求證： oe=12cd(2) 如圖， ac ，bd是 o的兩條弦，且acbd ， o的半徑為12，求 ab2cd2的值。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 23 頁 -

6、- - - - - - - -【2】 （第 25 題）如圖，o 是 abc 的外接圓， 弦 bd 交 ac 于點(diǎn) e，連接 cd，且 ae=de ，bc=ce （1）求 acb 的度數(shù)；（2）過點(diǎn) o 作 ofac 于點(diǎn) f，延長 fo 交 be 于點(diǎn) g，de=3 ，eg=2，求 ab 的長二、直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：1、直線與圓的位置關(guān)系有三種: 如果一條直線與一個(gè)圓沒有公共點(diǎn), 那么就說這條直線與這個(gè)圓相離. 如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn), 那么就說這條直線與這個(gè)圓相切, 此時(shí)這條直線叫做圓的 切線, 這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) . 如果一條直線與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn), 那么就說這條

7、直線與這個(gè)圓相交, 此時(shí)這條直線叫做圓的 割線, 這兩個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn) . 2、直線與圓的位置關(guān)系的判定；3、弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角；4. 和圓有關(guān)的比例線段（1）相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等；（2）推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)；（3）切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線， 切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)；（4）推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線， 這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。5. 三角形的內(nèi)切圓（1）有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓

8、、圓的外切多邊形；6、圓的切線的性質(zhì)與判定。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -【例 1】（甘肅蘭州）如圖， 四邊形 abcd內(nèi)接于 o ， bd 是o的直徑，aecd ，垂足為 e ， da 平分bde （1）求證： ae 是o的切線；（2）若301cmdbcdeo，求 bd 的長【解析】 （1）證明：連接 oa，daq平分bde ，b

9、daeda oaododaoadq，oadedaoaceaedeq，9090aedoaedeaoo，aeoaae 是o的切線（2）bdq是直徑，90bcdbado3060dbcbdcooq，120bdeodaq平分bde ，60bdaedao30abdeado在rtaed中，90302aedeadaddeoo，在 rtabd中，903024badabdbdaddeoo，deq的長是 1cm ，bd 的長是 4cm 【點(diǎn)評(píng)】證明圓的切線，過切點(diǎn)的這條半徑為必作輔助線. 即經(jīng)過半徑的外端且d e c b o a d e c b o a 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

10、 - - - - - - 第 4 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -oedcbaofcba垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 【例 2】 （廣東茂名）如圖， o是abc 的外接圓，且 ab =ac ，點(diǎn) d在弧 bc上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) d作 de bc ，de交 ab的延長線于點(diǎn) e，連結(jié) ad 、bd （1）求證： adb =e；（2）當(dāng)點(diǎn) d運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， de是o的切線？請(qǐng)說明理由（3）當(dāng) ab =5，bc =6 時(shí)，求 o的半

11、徑 （4 分）【解析】 （1）在abc中， ab =ac ，abc =c de bc ， abc =e，e=c又 adb =c ，adb =e（2）當(dāng)點(diǎn) d是弧 bc的中點(diǎn)時(shí)， de是o的切線理由是：當(dāng)點(diǎn) d是弧 bc的中點(diǎn)時(shí)，則有 ad bc ，且 ad過圓心 o 又de bc ， ad ed de是o的切線（3）連結(jié) bo 、ao ，并延長 ao交 bc于點(diǎn) f，則 af bc ，且 bf=21bc =3又ab =5，af =4設(shè)o的半徑為r，在 rtobf中，of =4r，ob =r，bf =3，r232（4r）2解得r825， o的半徑是825【點(diǎn)評(píng)】本題綜合運(yùn)用了等腰三角形的性質(zhì)，圓

12、的切線判定，解題最關(guān)鍵是抓住題中所給的已知條件，構(gòu)造直角三角形，探索出不同的結(jié)論. 【例 4】 已知：如圖 7，點(diǎn) p是半圓 o的直徑 ba延長線上的點(diǎn)， pc切半圓于 c點(diǎn)，cd ab于 d點(diǎn)，若 pa ：pc 1：2，db 4，求 tan pca及 pc的長。oedcba精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -圖 7 證明：連結(jié) cb p

13、c切半圓 o于 c點(diǎn)， pca b pp， pac pcb ac ：bc pa ：pc ab是半圓 o的直徑， acb 90又cd ab ab ad db 5 【例 5】 已知：如圖 8，在 rtabc 中，b90，a的平分線交 bc于點(diǎn) d，e為 ab上的一點(diǎn)， de dc ，以 d為圓心， db長為半徑作 d 。求證：（ 1）ac是d的切線；（2）ab eb ac 分析：（1）欲證 ac與 d相切，只要證圓心 d到 ac的距離等于 d的半徑 bd 。因此要作 df ac于 f （2） 只要證 ac af fc ab eb ， 證明的關(guān)鍵是證be fc ， 這又轉(zhuǎn)化為證 ebdcfd 。證明

14、：（ 1）如圖 8，過 d作 df ac ，f為垂足ad是bac的平分線， db ab ，db df 點(diǎn) d到 ac的距離等于圓 d的半徑ac是d的切線（2）ab bd ，d的半徑等于 bd ，ab是d的切線， ab af 在 rtbed和 rtfcd中，ed cd ，bd fd bed fcd ，be fc ab be af fc ac 小結(jié)：有關(guān)切線的判定，主要有兩個(gè)類型，若要判定的直線與已知圓有公共點(diǎn)，可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒有給出，可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類【例 6】 已知：如圖 9，ab為o的弦， p為 ba

15、延長線上一點(diǎn)， pe與o相切于點(diǎn) e，c為中點(diǎn)，連 ce交 ab于點(diǎn) f。求證：分析：由已知可得pe2pa pb ，因此要證 pf2pa pb ，只要證 pe pf 。即證 pfe pef 。精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -證明一：如圖 9，作直徑 cd ，交 ab于點(diǎn) g ，連結(jié) ed ，ced 90點(diǎn) c為的中點(diǎn)， cd ab ，

16、 cfg d pe為o切線， e為切點(diǎn)pef d ， pef cfg cfg pfe ， pfe pef ，pe pf pe2pa pb ，pf2pa pb 證明二：如圖 91，連結(jié) ac 、ae 圖 91 點(diǎn) c是的中點(diǎn)， cab aec pe切o于點(diǎn) e， pea c pfe cab c，pef pea aec pfe pef ，pe pf pe2pa pb ，pf2pa pb 【例 7】 （1）如圖 10，已知直線 ab過圓心 o ，交 o于 a、b，直線 af交o于 f（不與 b重合），直線 l 交o于 c、d，交 ba延長線于 e，且與 af垂直，垂足為 g ，連結(jié) ac 、ad 圖

17、 10 圖 101 求證： bad cag ；ac ad ae af （2）在問題（ 1）中，當(dāng)直線 l 向上平行移動(dòng)，與 o相切時(shí)，其它條件不變。請(qǐng)你在圖 101 中畫出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)D10 標(biāo)記字母；問題（ 1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。證明：（ 1）連結(jié) bd ab是o的直徑， adb 90agc adb 90又acdb 是o內(nèi)接四邊形精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - -

18、- - - - - - - 第 7 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -acg b， bad cag 連結(jié) cf bad cag ，eag fab dae fac 又adc f， ade afc ，ac ad ae af （2）見圖 101 兩個(gè)結(jié)論都成立，證明如下：連結(jié) bc ，ab是直徑， acb 90acb agc 90gc 切o于 c ， gca abc bac cag （即 bad cag ）連結(jié) cf cag bac ，gcf gac ，gcf cae ，acf acg gfc ，eacg cae acf e， acf aec ，ac2ae af（即 ac ad a

19、e af ）說明：本題通過變化圖形的位置， 考查了學(xué)生動(dòng)手畫圖的能力，并通過探究式的提問加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生證明題的考查，這是當(dāng)前熱點(diǎn)的考題，希望引起大家的關(guān)注?！緩?qiáng)化練習(xí)】【1】 （第 22 題）如圖， o 的直徑 ab 為 10cm，弦 bc 為 5cm，d、e 分別是 acb 的平分線與 o，ab 的交點(diǎn)， p 為 ab 延長線上一點(diǎn)，且pc=pe（1）求 ac、ad 的長； （2）試判斷直線pc 與 o 的位置關(guān)系，并說明理由【2】（第 23 題）如圖，在abc 中， c=90 ， abc 的平分線交ac 于點(diǎn) e，過點(diǎn) e 作be 的垂線交ab 于點(diǎn) f， o 是 bef 的外接圓（1）求證

20、： ac 是 o 的切線（2）過點(diǎn) e 作 ehab 于點(diǎn) h，求證： cd=hf精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -【3】 （第 25 題）如圖，在 o 中， ab，cd 是直徑， be 是切線， b 為切點(diǎn)，連接ad ，bc，bd（1）求證： abd cdb ；（2）若 dbe=37 ，求 adc 的度數(shù)【4】 （第 24 題）如圖，

21、 ab 為 o 的直徑， pd 切 o 于點(diǎn) c，交 ab 的延長線于點(diǎn)d，且d=2 cad （1）求 d 的度數(shù)；（2）若 cd=2，求 bd 的長【5】 （第 27 題）如圖， rt abc 中， abc=90 ，以 ab 為直徑作半圓o 交 ac 與點(diǎn) d，點(diǎn) e 為 bc 的中點(diǎn)，連接de（1）求證： de 是半圓 o 的切線（2）若 bac=30 ，de=2，求 ad 的長精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

22、 - - - - - 第 9 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -三、圓與圓的位置關(guān)系的考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn) , 那么就說這兩個(gè)圓相離 , 如圖(1) 、 (2) 、(3) 所示其中 (1) 又叫做外離 ,(2) 、(3) 又叫做內(nèi)含 (3) 中兩圓的圓心相同 , 這兩個(gè)圓還可以叫做同心圓如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn), 那么就說這兩個(gè)圓相切 , 如圖(4) 、 (5) 所示 其中(4)又叫做外切 ,(5) 又叫做內(nèi)切如果兩個(gè)圓只有兩個(gè)公共點(diǎn), 那么就說這兩個(gè)圓相交, 如圖(6) 所示【例 1】（甘肅蘭州）如圖是北京奧運(yùn)會(huì)自行車比賽項(xiàng)目標(biāo)志，則圖中兩輪所在圓的位置關(guān)

23、系是（）a內(nèi)含b相交c相切d外離【解析】圖中的兩圓沒有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的所有點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，故兩圓外離，選 d. 【點(diǎn)評(píng)】圓與圓的位置關(guān)系有五種: 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含其關(guān)系可以用圓與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判定, 也可以用數(shù)量關(guān)系來表示圓與圓的位置關(guān)系：如果設(shè)兩圓的半徑為1r、2r, 兩圓的圓心距為d, 則圓與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系如下表【例 2】 （赤峰市）如圖（ 1） ，兩半徑為r的等圓 o1和o2相交于 mn，兩點(diǎn)，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 23 頁 - - - - - - - -

24、 -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -且o2過點(diǎn)1o過 m 點(diǎn)作直線 ab垂直于 mn ，分別交 o1和o2于 ab，兩點(diǎn)，連結(jié) nanb，（1）猜想點(diǎn)2o與o1有什么位 置關(guān)系，并給出證明；（2）猜想nab的形狀，并給出證明；（3）如圖（2） ，若過 m 的點(diǎn)所在的直線 ab 不垂直于 mn ，且點(diǎn) ab，在點(diǎn)m 的兩側(cè)，那么（ 2）中的結(jié)論是否成立，若成立請(qǐng)給出證明【解析】解：（1）2o在1oe上證明： o2過點(diǎn)1o，12o or又o1的半徑也是r，點(diǎn)2o在o1上（2）nab

25、是等邊三角形證明：mnabq，90nmbnmaobn 是o2的直徑， an 是o1的直徑，即2bnanr ，2o在 bn 上，1o在 an 上連結(jié)12o o，則12o o是nab的中位線1222abo orabbnan ，則nab是等邊三角形（3）仍然成立證明：由（ 2）得在 o1中弧 mn 所對(duì)的 圓周角為60o在o2中弧 mn 所對(duì)的圓周角為60o當(dāng)點(diǎn) ab，在點(diǎn) m 的兩側(cè)時(shí)，在 o1中弧 mn 所對(duì)的圓周角60mano，在 o2中弧 mn所對(duì)的圓周角o2 o1 nmba圖（ 1）o2 o1 nmba圖（ 2）o2 o1 nmba圖（ 1）o2 o1 nmba圖（ 2）精品學(xué)習(xí)資料 可選

26、擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -60mbno，nab是等邊三角形注： （2） ， （3）是中學(xué)生猜想為等腰三角形證明正確給一半分【點(diǎn)評(píng)】相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，又且o2過點(diǎn)1o，構(gòu)建對(duì)稱性知，o1過 o2，再證 nab 是等腰 三角形；（2）1 是的基礎(chǔ)上發(fā)散探究，具有一定的開放性四、圓與多邊形的計(jì)算考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：1、圓與正多邊形的關(guān)系

27、的計(jì)算；2、弧長、扇形面積、圓錐側(cè)面積全面積的計(jì)算. 【例 1】 （贛州）小芳隨機(jī)地向如圖所示的圓形簸箕內(nèi)撒了幾把豆子，則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是【解析】設(shè)圓的半徑為1，則圓的面積為，易算得正方形的邊長為2，正方形面積為 2，則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是2. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是幾何概率， 解題的關(guān)鍵是圓與圓內(nèi)接正方形的面積，根據(jù)古典概型，可轉(zhuǎn)化為面積之比. 【例 2】兩同心圓，大圓半徑為，小圓半徑為，則陰影部分面積為【解析】根據(jù)大、小圓的半徑，可求得圓環(huán)的面積為8，圖中的陰影面積為圓環(huán)面積的一半 4. 【點(diǎn)評(píng)】有關(guān)面積計(jì)算問題， 不難發(fā)現(xiàn)， 一些不規(guī)則的

28、圖形可轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形計(jì)算，本題就較好的體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化方法和整體思想. 五、圓的綜合性問題的考查基礎(chǔ)知識(shí)鏈接：圓的有關(guān)知識(shí)與三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等綜合應(yīng)用?！纠?1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓m經(jīng)過原點(diǎn) o ，且與x軸、 y 軸分別相精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -交于8 006ab， 、，兩點(diǎn)（1）求出直線 ab的函數(shù)解析

29、式；（2）若有一拋物線的對(duì)稱軸平行于y 軸且經(jīng)過點(diǎn) m ，頂點(diǎn) c在m上，開口向下，且經(jīng)過點(diǎn) b，求此拋物線的函數(shù)解析式；（3）設(shè)（ 2）中的拋物線交x軸于 d、e 兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)p，使得abcpdess101？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】 （1）設(shè) ab的函數(shù)表達(dá)式為.bkxy,6,0,0 ,8ba.6,80bbk. 6,43bk直線 ab的函數(shù)表達(dá)式為364yx（2） 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與m相交于一點(diǎn)，依題意知這一點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)c。又 設(shè) 對(duì) 稱 軸 與x軸 相 交 于 點(diǎn)n ， 在 直 角 三 角 形aob 中 ，.10682222obaoab因?yàn)?/p>

30、m 經(jīng)過 o 、a、b三點(diǎn)，且為abaob,90m 的直徑，半徑ma=5 ，n為 ao的中點(diǎn) an=no=4，mn=3 cn=mc-mn=5-3=2 ，c 點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4 ，2） 設(shè)所求的拋物線為cbxaxy2則.6, 4,21.6,4162, 42cbaccbaab所求拋物線為21462yxx（3）令，0.64212xx得 d、e 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 d （-6，0） 、e（-2，0） ，所以de=4 又 ac=,54,52bc直角三角形的面積.20545221?abcs假設(shè)拋物線上存在1,2010121101,?yydessyxpabcpde，即使得精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - -

31、- - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -當(dāng).641;241xyxy時(shí)，當(dāng)時(shí)，故滿足條件的存在它們是123442,1 ,42,1 ,46, 1 ,46,1pppp【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)、二次函數(shù)與圓的綜合性問題，解題的關(guān)鍵是抓住圖形中的點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)數(shù)的方法求出解析式；【例 2】 （第 27題）如圖，在o的內(nèi)接 abc中，acb=90 ， ac=2bc ，過 c作 ab的垂線

32、 l 交o 于另一點(diǎn) d，垂足為 e設(shè) p是上異于 a，c的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線 ap交 l 于點(diǎn) f，連接 pc與 pd ，pd交 ab于點(diǎn) g （1）求證： pac pdf ；（2）若 ab=5 ，=，求 pd的長；（3）在點(diǎn) p運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)=x，tanafd=y ，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出 x 的取值范圍）圓的綜合題（1）證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個(gè)角相等或邊長成比例因?yàn)轭}中因圓周角易知一對(duì)相等的角，那么另一對(duì)角相等就是我們需要努力的方向，因?yàn)樯婕皥A，傾向于找接近圓的角dpf ，利用補(bǔ)角在圓內(nèi)作等量代換，等弧對(duì)等角等知識(shí)易得 dpf= apc ，則結(jié)論易證（2）求 pd

33、的長，且此線段在上問已證相似的pdf中，很明顯用相似得成比例，再將其他邊代入是應(yīng)有的思路利用已知條件易得其他邊長，則pd可求（3）因?yàn)轭}目涉及 afd與也在第一問所得相似的pdf中，進(jìn)而考慮轉(zhuǎn)化，afd= pca ，連接 pb得afd= pca= pbg ，過 g點(diǎn)作 ab的垂線，若此線過 pb與 ac的交點(diǎn)那么結(jié)論易求，因?yàn)楦鶕?jù)三角函數(shù)或三角形與三角形 abc相似可用 ag表示pbg 所對(duì)的這條高線但是“此線是否過pb與 ac的交點(diǎn)”？此時(shí)首先需要做的是多畫幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)p， 觀察我們的猜想驗(yàn)證得我們的猜想應(yīng)是正確的， 可是證明不能靠畫圖， 如何求證此線過pb與ac的交點(diǎn)是我們解題的關(guān)鍵常規(guī)作法不

34、易得此結(jié)論，我們可以換另外的輔助線作法，先做垂線，得交點(diǎn)h，然后連接交點(diǎn)與b，再證明hbg= pca= afd 因?yàn)?c 、d關(guān)于 ab對(duì)稱，可以延長cg 考慮 p點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)根據(jù)等弧對(duì)等角，可得hbg= pca ，進(jìn)而得解題思路（1）證明：，dpf=180 apd=180 所對(duì)的圓周角 =180所對(duì)的圓周角=所對(duì)的圓周角 =apc 在pac和pdf中，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14

35、 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -pac pdf （2）解：如圖 1，連接 po ，則由，有 po ab ，且pab=45 ，apo 、aef都為等腰直角三角形在 rtabc中，ac=2bc ，ab2=bc2+ac2=5bc2，ab=5 ，bc=，ac=2，ce=ac?sin bac=ac? =2?=2，ae=ac?cos bac=ac? =2?=4，aef為等腰直角三角形，ef=ae=4 ，fd=fc+cd=（ef ce ）+2ce=ef+ce=4+2=6apo 為等腰直角三角形， ao=?ab= ，ap=pdf pac ，pd=（3）解：如圖 2，過點(diǎn) g作 gh ab

36、 ，交 ac于 h ，連接 hb ，以 hb為直徑作圓，連接 cg并延長交o 于 q ，hc cb ，gh gb ，c 、g都在以 hb為直徑的圓上，hbg= acq ，c 、d關(guān)于 ab對(duì)稱， g在 ab上，q 、p關(guān)于 ab對(duì)稱，pca= acq ，hbg= pca pac pdf ，pca= pfd= afd ，y=tanafd=tan pca=tan hbg= 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

37、 - - 第 15 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -hg=tan hag?ag=tanbac?ag=，y=x本題考查了圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問思路還算簡單，但最后一問需要熟練的解題技巧需要長久的磨練總結(jié)總體來講本題偏難，學(xué)生練習(xí)時(shí)加強(qiáng)理解，重點(diǎn)理解分析過程，自己如何找到思路【例 3】 （第 24題）如圖，已知：在矩形abcd 的邊 ad上有一點(diǎn) o ，oa=，以 o為圓心， oa長為半徑作圓，交 ad于 m ， 恰好與 bd相切于 h， 過 h作弦 hp ab ，弦 hp=3 若點(diǎn) e是 cd邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)e與 c，d不重合） ，過 e作直線 ef bd交

38、 bc于 f，再把 cef 沿著動(dòng)直線 ef對(duì)折，點(diǎn) c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 g 設(shè) ce=x ，efg與矩形 abcd 重疊部分的面積為 s（1）求證：四邊形 abhp 是菱形；（2）問efg的直角頂點(diǎn) g能落在o 上嗎？若能，求出此時(shí)x 的值；若不能，請(qǐng)說明理由；（3）求 s與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出fg與o 相切時(shí)， s的值第 3 題圖考點(diǎn)： 圓的綜合題；含 30 度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性質(zhì)；垂徑定理；切線的性質(zhì)；切線長定理；軸對(duì)稱的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值所有專題： 壓軸題分析： （1）連接 oh ，可以求出 hod=60 ，hdo=30 ，從而可以求出 ab=3 ，由

39、hp ab ，hp=3可證到四邊形 abhp 是平行四邊形，再根據(jù)切線長定理可得ba=bh ，即可證到四邊形 abhp 是菱形（2）當(dāng)點(diǎn) g落到 ad上時(shí)，可以證到點(diǎn)g與點(diǎn) m重合，可求出 x=2（3）當(dāng) 0 x2 時(shí)，如圖， s=segf，只需求出 fg ，就可得到 s與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng) 2x3 時(shí)，如圖， s=sgefssgr，只需求出 sg 、rg ，就可得到s與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式當(dāng)fg與o 相切時(shí)，如圖，易得fk=ab=3 ，kq=aqak=2 2+x再由 fk=kq即可求出 x，從而求出 s解答： 解： （1）證明：連接 oh ，如圖所示四邊形 abcd 是矩形，adc

40、= bad=90 ， bc=ad ，ab=cd hp ab ，anh+ bad=180 anh=90 hn=pn=hp=精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -oh=oa= ，sin hon= =hon=60 bd與o 相切于點(diǎn) h，oh bd hdo=30 od=2ad=3bc=3bad=90 ，bda=30 tanbda=ab=3 h

41、p=3 ，ab=hp ab hp ，四邊形 abhp 是平行四邊形bad=90 ， am 是o 的直徑，ba與o 相切于點(diǎn) abd與o 相切于點(diǎn) h，ba=bh 平行四邊形 abhp 是菱形（2）efg的直角頂點(diǎn) g能落在o 上如圖所示，點(diǎn) g落到 ad上ef bd ，fec= cdb cdb=90 30=60，cef=60 由折疊可得： gef= cef=60 ged=60 ce=x ，ge=ce=x ed=dc ce=3 xcosged= =x=2ge=2 ，ed=1 gd=og=adao gd=3=og=om點(diǎn) g與點(diǎn) m重合此時(shí)efg的直角頂點(diǎn) g落在o 上，對(duì)應(yīng)的 x 的值為 2當(dāng)

42、efg的直角頂點(diǎn) g落在o 上時(shí)，對(duì)應(yīng)的 x 的值為 2（3）如圖，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -在 rtegf中，tanfeg=fg=xs=ge?fg=x? x=x2如圖，ed=3 x，re=2ed=6 2x，gr=geer=x （62x）=3x6tansrg= =，sg=（x2） ssgr=sg?rg=? （x2）?（3x6

43、） =（x2）2sgef=x2，s=sgefssgr=x2（x2）2=x2+6x6綜上所述：當(dāng) 0 x2 時(shí)，s=x2；當(dāng) 2x3 時(shí)，s=x2+6x6當(dāng) fg與o 相切于點(diǎn) t時(shí)，延長 fg交 ad于點(diǎn) q ，過點(diǎn) f 作 fk ad ，垂足為 k，如圖所示四邊形 abcd 是矩形，bc ad ，abc= bad=90 aqf= cfg=60 ot=，oq=2 aq=+2fka= abc= bad=90 ，四邊形 abfk是矩形fk=ab=3 ，ak=bf=3 xkq=aqak= （+2）（ 3x）=22+x在 rtfkq中，tanfqk=fk=qk 3=（22+x） 解得： x=3032，

44、精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -s=x2=（3）2=6fg與o 相切時(shí)， s的值為6點(diǎn)評(píng)： 本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長定理、垂徑定理、軸對(duì)稱性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、 30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)【例 4】 （第 23 題）如圖 1，在o 中，e是弧 ab的中點(diǎn)，

45、c為o 上的一動(dòng)點(diǎn) （c與 e在 ab異側(cè)） ，連接 ec交 ab于點(diǎn) f，eb=（r 是o 的半徑） （1）d為 ab延長線上一點(diǎn)，若dc=df ，證明：直線 dc與o 相切；（2）求 ef?ec 的值；（3）如圖 2，當(dāng) f是 ab的四等分點(diǎn)時(shí)，求ec的值圓的綜合題 . （1）連結(jié) oc 、oe ，oe交 ab于 h，如圖 1，由 e是弧 ab的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論得到 oe ab ， 則hef+ hfe=90 ， 由對(duì)頂相等得 hfe= cfd ，則hef+ cfd=90 ，再由 dc=df 得cfd= dcf ，加上 oce= oec ，所以oce+ dce= hef+ cfd=9

46、0 ，于是根據(jù)切線的判定定理得直線dc與o 相切；（2） 由弧 ae= 弧 be ， 根據(jù)圓周角定理得到 abe= bce ，加上feb= bec ，于是可判斷 ebf ecb ，利用相似比得到ef?ec=be2=（r ）2=r2；（3）如圖 2，連結(jié) oa ，由弧 ae= 弧 be得 ae=be=r ，設(shè) oh=x ，則 he=rx，根據(jù)勾股定理，在rtoah 中有 ah2+x2=r2；在 rteah中由 ah2+（r x）2=（r）2，利用等式的性質(zhì)得x2（r x）2=r2（r）2，即得 x=r，則 he=rr=r ， 在 rtoah 中， 根據(jù)勾股定理計(jì)算出ah=， 由 oe ab得 a

47、h=bh ，而 f 是 ab的四等分點(diǎn)，所以hf=ah=，于是在 rtefh中可計(jì)算出ef=r，然后利用（ 2）中的結(jié)論可計(jì)算出ec （1）證明：連結(jié) oc 、oe ，oe交 ab于 h，如圖 1，e 是弧 ab的中點(diǎn)，oe ab ，ehf=90 ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -hef+ hfe=90 ，而hfe= cfd ，h

48、ef+ cfd=90 ，dc=df ，cfd= dcf ，而 oc=oe，oce= oec ，oce+ dce= hef+ cfd=90 ，oc cd，直線 dc與o 相切；（2）解：連結(jié) bc ，e 是弧 ab的中點(diǎn)，弧 ae= 弧 be ，abe= bce ，而feb= bec ，ebf ecb ，ef ：be=be ：ec ，ef?ec=be2=（r ）2=r2；（3）解：如圖 2，連結(jié) oa ，弧 ae= 弧 be ，ae=be=r ，設(shè) oh=x ，則 he=rx，在 rtoah 中，ah2+oh2=oa2，即 ah2+x2=r2，在 rteah中，ah2+eh2=ea2，即 ah2

49、+（r x）2=（r）2，x2（r x）2=r2（r）2，即得 x=r，he=rr=r ，在 rtoah 中，ah=，oe ab ，ah=bh ，而 f 是 ab的四等分點(diǎn)，hf=ah=，在 rtefh中，ef=r ，ef?ec=r2，r?ec=r2，ec=r 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、切線的判定定理和圓周角定理；會(huì)利用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算，利用相似三角形的知識(shí)解決有關(guān)線段等積的問題【例 5】 （第 26 題 12 分）如圖， o1與o2外切與點(diǎn) d，直線 l 與兩圓分別相切于點(diǎn) a、b，與直線 o1o2 相交于點(diǎn) m ，且 tan am01=，md=4（1）求 o2的半徑；（2）求 adb 內(nèi)切圓的面積；（3） 在直線 l 上是否存在點(diǎn) p， 使mo2p 相似于 m