2022年初中數(shù)學(xué)競賽專題輔導(dǎo)因式分解(一)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載中學(xué)數(shù)學(xué)競賽專題輔導(dǎo)因式分解 一多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一， 它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具 因式分解方法敏捷， 技巧性強， 學(xué)習(xí)這些方法與技巧， 不僅是把握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培育同學(xué)的解題技能， 進展同學(xué)的思維才能， 都有著非常特殊的作用 中學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上， 對因式分解的方法、 技巧和應(yīng)用作進一步的介紹1. 運用公式法在整式的乘、 除中， 我們學(xué)過如干個乘法公式， 現(xiàn)將其反向使用， 即為因式分解中常用的公式，例如：1a 2-b

2、2 =a+ba -b ； 2a 2±2ab+b2=a ±b 2； 3a 3+b3 =a+ba 2-ab+b2 ； 4a 3-b3 =a-ba 2+ab+b2 下面再補充幾個常用的公式：5a 2+b2 +c2+2ab+2bc+2ca=a+b+c2 ；6a 3+b3 +c3-3abc=a+b+ca 2+b2+c2-ab-bc-ca ；7a n-bn =a-ba n-1 +an-2 b+an-3 b2+abn-2 +bn-1 其中 n 為正整數(shù)； 8a n-bn =a+ba n-1 -an-2 b+an-3 b2-+abn-2 -bn-1 ，其中 n 為偶數(shù)； 9a n+bn =

3、a+ba n-1 -an-2 b+an-3 b2-abn-2 +bn-1 ，其中 n 為奇數(shù)運用公式法分解因式時， 要依據(jù)多項式的特點， 依據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)靥暨x公式例 1 分解因式：1 -2x5n-1 yn+4x3n-1 yn+2-2xn-1 yn+4；2x 3-8y3-z3 -6xyz ；3a 2+b2 +c2-2bc+2ca-2ab；4a 7-a5 b2+a2b5-b7n-1n4224解 1 原式=-2x y x n-2x ny +y n-1n222222=-2x y x n -2x ny +y n-1n222=-2x y x n-y =-2xn-1 ynx n-y 2

4、 x n+y 22 原式=x3+ -2y 3+ -z 3 -3x -2y -z=x -2y-zx 2+4y2+z2 +2xy+xz-2yz 3 原式=a 2-2ab+b2+ -2bc+2ca+c 222 a -b +2ca -b+c=a -b+c 2本小題可以稍加變形，直接使用公式 5 ，解法如下： 原式=a2+ -b 2+c2+2 -bc+2ca+2a -b=a -b+c 24 原式=a 7-a5b2+a 2b5-b7 =a 5a 2-b2+b 5 a 2-b2 =a 2-b2a 5 +b5學(xué)習(xí)必備歡迎下載=a+ba-ba+ba 4-a3b+a2b2-ab3+b4=a+b 2a -ba 4

5、-a3b+a2b2-ab3+b4例 2 分解因式： a3 +b3+c3-3abc此題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式6 分析 我們已經(jīng)知道公式a+b 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=a+b 3-3aba+b 33這個式也是一個常用的公式，此題就借助于它來推導(dǎo) 解 原式=a+b -3aba+b+c -3abc= a+b3+c 3-3aba+b+c=a+b+c a+b 2-ca+b+c 2 -3aba+b+c=a+b+ca 2+b2+c2-ab-bc-ca 說明 公式6 是一個應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的 結(jié)論， 例如：我們將公式 6

6、變形為a3+b3 +c3-3abc明顯，當 a+b+c=0時，就 a3+b3+c3=3abc；當 a+b+c0 時，就 a3+b3 +c3-3abc3330，即 a +b +c 3abc，而且，當且僅當 a=b=c 時，等號成立假如令 x=a3 0，y=b3 0， z=c30，就有等號成立的充要條件是x=y=z這也是一個常用的結(jié)論 例 3 分解因式： x15 +x14 +x13+ +x2+x+115分析 這個多項式的特點是：有16 項，從最高次項 x 開頭， x 的次數(shù)nn順次遞減至 0，由此想到應(yīng)用公式 a -b 來分解解 由于x16-1=x -1x 15+x14+x13 +x2+x+1 ，

7、所以說明 在此題的分解過程中，用到先乘以 x -1 ，再除以 x -1 的技巧， 這一技巧在等式變形中很常用2. 拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算 在多項式乘法運算時， 整理、化簡常將幾個同類項合并為一項， 或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零 在對某些多項式分解因式時， 需要復(fù)原那些被合并或相互抵消的項， 即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，學(xué)習(xí)必備歡迎下載前者稱為拆項， 后者稱為添項 拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解例 4 分解因式： x3 -9x+8分析 此題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法， 留意一下

8、拆項、添項的目的與技巧解法 1 將常數(shù)項 8 拆成-1+9 原式=x3-9x-1+9=x 3-1 -9x+9=x -1x 2+x+1-9x -1=x -1x 2+x-8 解法 2 將一次項 -9x 拆成-x-8x 原式=x3-x-8x+8=x 3-x+ -8x+8=xx+1x -1 -8x -1=x -1x 2+x-8 解法 3 將三次項 x3 拆成 9x3 -8x3 33原式=9x -8x -9x+8=9x 3-9x+ -8x3 +8=9xx+1x -1 -8x -1x 2+x+1=x -1x 2+x-8 22解法 4 添加兩項 -x +x 原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=

9、x2x -1+x -8x -1=x -1x 2+x-8 說明 由此題可以看出， 用拆項、添項的方法分解因式時， 要拆哪些項， 添什么項并無肯定之規(guī)， 主要的是要依靠對題目特點的觀看， 敏捷變換， 因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種例 5 分解因式：1x 9+x6 +x3-3；2m 2-1n 2-1+4mn；3x+14+x 2-1 2+x -1 4；4a 3b-ab3+a2+b2+1解 1 將-3 拆成-1-1-1 原式=x9+x6+x3 -1-1-1=x 9-1+x 6-1+x 3-1=x 3-1x 6+x3+1+x 3-1x 3+1+x 3 -1=x 3-1x6+2x3+3=

10、x -1x 2+x+1x 6+2x3+3 2 將 4mn拆成 2mn+2mn原式=m2-1n 2-1+2mn+2mn=m2n2-m2 -n2+1+2mn+2mn=m2n2+2mn+1-m2 -2mn+n2 =mn+12-m-n 2=mn+m-n+1mn-m+n+1 3 將x 2-1 2 拆成 2x 2-1 2-x 2 -1 2原式=x+1 4+2x 2-1 2-x 2-1 2+x -1 4=x+1 4+2x+1 2x -1 2 +x -1 4 -x 2-1 2=x+1 2+x -1 2 2-x 2-1 2=2x 2+2 2-x 2-1 2=3x 2+1x 2+3 4 添加兩項 +ab-ab33

11、22原式=ab-ab +a +b +1+ab-ab=a 3b-ab3+a 2 -ab+ab+b 2+1=aba+ba -b+aa -b+ab+b 2 +1=aa -b ba+b+1+ab+b 2+1=aa -b+1ab+b 2+1=a 2-ab+1b 2+ab+1說明 4 是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加 +ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式， 而是先將前兩組分解， 再與第三組結(jié)合， 找到公因式 這道題目使我們體會到拆項、 添項法的極強技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積存體會3. 換元法換元法指的是將一個較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的

12、字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清楚例 6 分解因式： x 2+x+1x 2+x+2 -12分析 將原式綻開，是關(guān)于 x 的四次多項式，分解因式較困難我們不妨將 x2 +x 看作一個整體，并用字母 y 來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 y 的二次三項式的因式分解問題了解 設(shè) x2+x=y，就2原式=y+1y+2 -12=y+3y-10=y -2y+5=x2+x-2x 2 +x+5=x -1x+2x2+x+5 22說明 此題也可將 x +x+1 看作一個整體，比如今 x +x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有愛好的同學(xué)不妨試一試例 7 分解因式：x 2+3x+24x 2+8x+3-90分析

13、 先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重新組合 解 原式=x+1x+22x+12x+3-90=x+12x+3x+22x+1-90=2x 2+5x+32x 2+5x+2-902令 y=2x +5x+2，就原式=yy+1 -90=y2+y-90=y+10y -9=2x 2+5x+122x 2 +5x-7=2x 2+5x+122x+7x -1 說明 對多項式適當?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略獃 的基礎(chǔ) 例 8 分解因式：x 2+4x+82+3xx 2+4x+8+2x22解 設(shè) x +4x+8=y，就原式=y2+3xy+2x2=y+2xy+x=x 2+6x+8x 2+5x+8=x+2x+4x2+5x+8說

14、明 由此題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，依據(jù)題目需要， 引入必要的新元， 原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項式432例 9 分解因式： 6x +7x -36x -7x+6解法 1 原式=6x 4+1 7xx 2-1 -36x2=6x 4-2x2+1+2x 2 +7xx 2-1 -36x2=6x 2-12+2x 2+7xx 2-1 -36x2=6x 2-1 2 +7xx 2-1 -24x2=2x 2-1 -3x 3x 2 -1+8x=2x 2-3x-23x 2+8x-3=2x+1x -23x -1x+3 2說明 本解法實際上是將 x -1 看作一個

15、整體，但并沒有設(shè)立新元來代替它，即嫻熟使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來代替整體解法 2學(xué)習(xí)必備歡迎下載22原式=x 6t+2+7t -36=x26t 2 +7t -24=x 2 2t -33t+8=x22x -1/x -33x -1/x+8=2x 2-3x-23x 2 +8x-3=2x+1x -23x -1x+3 2222例 10 分解因式： x +xy+y -4xyx +y 分析 此題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式 對于較難分解的二元對稱式， 常常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式222解 原式=x+y-xy -4xyx+y-2

16、xy 令 x+y=u， xy=v，就原式=u 2-v 2-4vu 2-2v=u4-6u2v+9v2=u 2-3v 2=x 2+2xy+y2-3xy 2=x 2-xy+y2 2練習(xí)一1分解因式：2x10+x5-2；4x 5+x4+x3+x2 +x+1 2-x52. 分解因式： 1x 3+3x2-4；2x 4-11x2y2 +y2； 3x 3+9x2+26x+24； 4x 4-12x+3233. 分解因式：12x 2-3x+1 2-22x2+33x-1；2x 4+7x3+14x2+7x+1；3x+y3+2xy1 -x-y -1；4x+3x2-1x+5 -20第一講 因式分解 一多項式的因式分解是代

17、數(shù)式恒等變形的基本形式之一， 它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決很多數(shù)學(xué)問題的有力工具 因式分解方法敏捷， 技巧性強， 學(xué)習(xí)這些方法與技巧， 不僅是把握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培育同學(xué)的解題技能， 進展同學(xué)的思維才能， 都有著非常特殊的作用 中學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相學(xué)習(xí)必備歡迎下載乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上， 對因式分解的方法、 技巧和應(yīng)用作進一步的介紹1. 運用公式法在整式的乘、 除中， 我們學(xué)過如干個乘法公式， 現(xiàn)將其反向使用， 即為因式分解中常用的公式，例如：1a 2-b2 =a+ba -b ； 2a 2±2ab

18、+b2=a ±b 2； 3a 3+b3 =a+ba 2-ab+b2 ； 4a 3-b3 =a-ba 2+ab+b2 下面再補充幾個常用的公式：5a 2+b2 +c2+2ab+2bc+2ca=a+b+c2 ；6a 3+b3 +c3-3abc=a+b+ca 2+b2+c2-ab-bc-ca ；7a n-bn =a-ba n-1 +an-2 b+an-3 b2+abn-2 +bn-1 其中 n 為正整數(shù)； 8a n-bn =a+ba n-1 -an-2 b+an-3 b2-+abn-2 -bn-1 ，其中 n 為偶數(shù)； 9a n+bn =a+ba n-1 -an-2 b+an-3 b2-a

19、bn-2 +bn-1 ，其中 n 為奇數(shù)運用公式法分解因式時， 要依據(jù)多項式的特點， 依據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)靥暨x公式 例 1 分解因式：1 -2x5n-1 yn+4x3n-1 yn+2-2xn-1 yn+4；2x 3-8y3-z3 -6xyz ；3a 2+b2 +c2-2bc+2ca-2ab；4a 7-a5 b2+a2b5-b7n-1n4224解 1 原式=-2x y x n-2x ny +y =-2xn-1 ynx 2n 2 -2x2ny2+y 2 2n-1n222=-2x y x n-y =-2xn-1 ynx n-y 2 x n+y 22 原式=x3+ -2y 3+ -z

20、 3 -3x -2y -z=x -2y-zx 2+4y2+z2 +2xy+xz-2yz 3 原式=a 2-2ab+b2+ -2bc+2ca+c 222 a -b +2ca -b+c=a -b+c 2本小題可以稍加變形，直接使用公式 5 ，解法如下： 原式=a2+ -b 2+c2+2 -bc+2ca+2a -b=a -b+c 24 原式=a 7-a5b2+a 2b5-b7 =a 5a 2-b2+b 5 a 2-b2 =a 2-b2a 5 +b5=a+ba-ba+ba 4-a3b+a2b2-ab3+b4=a+b 2a -ba 4 -a3b+a2b2-ab3+b4333例 2 分解因式： a +b

21、+c -3abc此題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式6 學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析 我們已經(jīng)知道公式a+b 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=a+b 3-3aba+b 這個式也是一個常用的公式，此題就借助于它來推導(dǎo) 解 原式=a+b 3-3aba+b+c 3-3abc= a+b3+c 3-3aba+b+c=a+b+c a+b 2-ca+b+c 2 -3aba+b+c=a+b+ca 2+b2+c2-ab-bc-ca 說明 公式6 是一個應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的 結(jié)論， 例如：我們將公式 6 變形為a3+b3 +c3-3abc明顯，當 a+

22、b+c=0時，就 a3+b3+c3=3abc；當 a+b+c0 時，就 a3+b3 +c3-3abc3330，即 a +b +c 3abc，而且，當且僅當 a=b=c 時，等號成立假如令 x=a3 0，y=b3 0， z=c30，就有等號成立的充要條件是x=y=z這也是一個常用的結(jié)論例 3 分解因式： x15 +x14 +x13+ +x2+x+115分析 這個多項式的特點是：有16 項，從最高次項 x 開頭， x 的次數(shù)順次遞減至 0，由此想到應(yīng)用公式 an-bn 來分解解 由于x16-1=x -1x 15+x14+x13 +x2+x+1 ，所以說明 在此題的分解過程中，用到先乘以 x -1

23、，再除以 x -1 的技巧， 這一技巧在等式變形中很常用2. 拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算 在多項式乘法運算時， 整理、化簡常將幾個同類項合并為一項， 或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零 在對某些多項式分解因式時， 需要復(fù)原那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項， 前者稱為拆項， 后者稱為添項 拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解3例 4 分解因式： x -9x+8分析 此題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法， 留意一下拆項、添項的目的與技巧3解法 1 將常數(shù)項 8 拆成-1+9 原式=

24、x -9x-1+9學(xué)習(xí)必備歡迎下載=x 3-1 -9x+9=x -1x 2+x+1-9x -1=x -1x 2+x-8 解法 2 將一次項 -9x 拆成-x-8x 原式=x3-x-8x+8=x 3-x+ -8x+8=xx+1x -1 -8x -1=x -1x 2+x-8 333解法 3 將三次項 x 拆成 9x -8x 33原式=9x -8x -9x+8=9x 3-9x+ -8x3 +8=9xx+1x -1 -8x -1x 2+x+1=x -1x 2+x-8 3解法 4 添加兩項 -x2+x2 原式=x -9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2x -1+x -8x -1=x -1x 2+x

25、-8 說明 由此題可以看出， 用拆項、添項的方法分解因式時， 要拆哪些項， 添什么項并無肯定之規(guī)， 主要的是要依靠對題目特點的觀看， 敏捷變換， 因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種例 5 分解因式：1x 9+x6 +x3-3；2m 2-1n 2-1+4mn；3x+14+x 2-1 2+x -1 4；4a 3b-ab3+a2+b2+1解 1 將-3 拆成-1-1-1 原式=x9+x6+x3 -1-1-1=x 9-1+x 6-1+x 3-1=x 3-1x 6+x3+1+x 3-1x 3+1+x 3 -1=x 3-1x6+2x3+3=x -1x 2+x+1x 6+2x3+3 2 將

26、4mn拆成 2mn+2mn22原式=m-1n -1+2mn+2mn=m2n2-m2 -n2+1+2mn+2mn=m2n2+2mn+1-m2 -2mn+n2 =mn+12-m-n 2222=mn+m-n+1mn-m+n+1 3 將x 2-1 2 拆成 2x 2-1 2-x 2 -1 2原式=x+14+2x-1-x-12+x -1 4=x+1 4+2x+1 2x -1 2 +x -1 4 -x 2-1 2=x+1 2+x -1 2 2-x 2-1 2=2x 2+2 2-x 2-1 2=3x 2+1x 2+3 4 添加兩項 +ab-ab3322原式=ab-ab +a +b +1+ab-ab=a 3b

27、-ab3+a 2 -ab+ab+b 2+1=aba+ba -b+aa -b+ab+b 2 +1=aa -b ba+b+1+ab+b 2+1=aa -b+1ab+b 2+1=a 2-ab+1b 2+ab+1說明 4 是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加 +ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式， 而是先將前兩組分解， 再與第三組結(jié)合， 找到公因式 這道題目使我們體會到拆項、 添項法的極強技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積存體會3. 換元法換元法指的是將一個較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清楚22例 6 分

28、解因式： x +x+1x +x+2 -122分析 將原式綻開，是關(guān)于 x 的四次多項式，分解因式較困難我們不妨將 x +x 看作一個整體，并用字母 y 來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 y 的二次三項式的因式分解問題了解 設(shè) x2+x=y，就2原式=y+1y+2 -12=y+3y-10=y -2y+5=x2+x-2x 2 +x+5=x -1x+2x2+x+5 22說明 此題也可將 x +x+1 看作一個整體，比如今 x +x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有愛好的同學(xué)不妨試一試例 7 分解因式：x 2+3x+24x 2+8x+3-90分析 先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重新組合 解 原式=x+1x+22x+12x+3-90=x+12x+3x+22x+1-90=2x 2+5x+32x 2+5x+2-90令 y=2x2+5x+2，就2原式=yy+1 -90=y +y-90=y+10y -9=2x 2+5x+122x 2 +5x-7=2x 2+5x+122x+7x -1 說明 對多項式適當?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略獃 的基礎(chǔ) 例 8 分解因式：x 2+4x+82+3xx 2