【試卷】高中均值不等式講解及習(xí)題

1、高中均值不等式講解及習(xí)題一均值不等式1.（1）若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2. (1)若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）;若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）4.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、

2、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 （2）yx解：（1）y3x 22 值域?yàn)椋?） （2）當(dāng)x0時(shí)，yx22；當(dāng)x0時(shí)， yx= （ x）2=2值域?yàn)椋ǎ?2，+）解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)例1：已知，求函數(shù)的最大值。解：因，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又不是常數(shù)，所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊

3、上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x2時(shí)，的最大值為8。評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。技巧三： 分離例3. 求的值域。解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng),即時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號(hào)）。技巧四：換元解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。當(dāng),即t=時(shí),（當(dāng)t=2即x1時(shí)取“”號(hào)）。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，

4、g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?。練?xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x 的值. （1） （2） (3) 2已知，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 .分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值， 解： 都是正數(shù)，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由及得即當(dāng)時(shí)，的最小值是6變式：若，求

5、的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2：已知，且，求的最小值。錯(cuò)解：，且， 故 。錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在等號(hào)成立條件是，在等號(hào)成立條件是即,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，又，可得時(shí)， 。變式： （1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 21，求x的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab。同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)中y2前面的系數(shù)為

6、 ， xx x·下面將x，分別看成兩個(gè)因式：x· 即x·x 技巧八：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。法一：a， ab·b 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時(shí)，等號(hào)成立。法二：由已

7、知得：30aba2b a2b2 30ab2令u則u22u300， 5u3 3，ab18，y點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的范圍.變式：1.已知a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x2y10，求函數(shù)W的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，本題很簡(jiǎn)單 2 解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向

8、“和為定值”條件靠攏。W0，W23x2y2·102·10()2·()2 10(3x2y)20 W2 變式: 求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時(shí)取等號(hào)。 故。評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：1）正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例6：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數(shù)字8，

9、使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題例：已知且，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍。解：令， 。 ， 應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例：若，則的大小關(guān)系是 .分析： （ R>Q>P。2010年高考均值不等式求最值聚焦最值問題始終是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型之一，而利用均值不等式求函數(shù)的最值是最為常見、應(yīng)用十分廣泛的方法之一下面筆者以2010年高考試題為題材，對(duì)高考中考查利用均值不等式求最值問題的基本特征和基本類型作一些分類解析，供參

10、考。一、 基礎(chǔ)題型。1.直接利用均值不等式求解最值。例1：（2010年高考山東文科卷第14題）已知，且滿足，則xy的最大值為 _。解：因?yàn)閤>0，y>0，所以(當(dāng)且僅當(dāng)，即x=6，y=8時(shí)取等號(hào))，于是，故xy的最大值位3.2通過簡(jiǎn)單的配湊后，利用均值不等式求解最值。例2：（2010年高考四川文科卷第11題）設(shè)，則的最小值是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4解：w224當(dāng)且僅當(dāng)ab1，a(ab)1時(shí)等號(hào)成立，如取a,b滿足條件。故選擇答案D二、轉(zhuǎn)化題型1.和積共存的等式，求解和或積的最值。例3：（2010年高考重慶理科卷第7題）已知x>0，y>0，x+2y+2

11、xy=8，則x+2y的最小值是（ ）A. 3 B. 4 C. D. 解： 因?yàn)閤>0，y>0，所以，整理得 即，又，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故選擇答案B。變式：因?yàn)閤>0，y>0，所以因?yàn)閤>0，y>0，所以，整理得，即，所以等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故xy的最大值為2. 2.分式型函數(shù)（）求解最值。例4：（2010年高考江蘇卷第14題）將邊長(zhǎng)為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=,則S的最小值是_。解：設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為，則令，則令，則因?yàn)?，所以，等?hào)當(dāng)且僅當(dāng)t=4，即時(shí)成立。所以最小值為8故的最小值為8，S的最小值是。例5：（2010年高考全國(guó)卷第11題）已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為（ ） (A) (B) (C) (D)例5圖解：如圖所示：設(shè)PA=PB=,APO=，則APB=，PO=，=，令，則，令，則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立。故.此時(shí).，選擇答案D。練習(xí)：2.（2010年高考山東理科卷第14題）若對(duì)任意，恒成立，則的取值范圍是 。答案：解：因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以有，即的最大值為，故。3.（2010年高考重慶文科卷第12題）已知,則函數(shù)的最小值為 答案：2解