一元二次方程根的分布(WORD含答案).doc

1、0的根，二次函數(shù)f (x) ax 2 bx c的圖象有以下幾種(2) a 0, xi m X2 n元二次方程根的分布一.知識要點二次方程ax 2 bx c0的根從幾何意義上來說就是拋物線 y ax2 bx c與x軸交點的橫坐標，所以研究方程 ax 2 bx c 0的實根的情況，可從yax 2 bx c的圖象上進行研究.若在(，)內(nèi)研究方程ax? bx c 0的實根情況，只需考察函數(shù) y ax 2 bx c與x軸交點個數(shù)及交點橫坐標的符號，根據(jù)判別式以及韋達定理，由y ax 2 bx c的系數(shù)可判斷出,xi x2 , xix2的符號，從而判斷出實根的情況.若在區(qū)間(m,n)內(nèi)研究二次方程 ax

2、2 bxe 0,則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來確定.1.二次方程有且只有一個實根屬于 (ni, n)的充要條件 若m,n其中一個是方程的根，則由韋達定理可求出另一根.若m,n不是二次方程ax2 bx c 可能：(1) a 0, m xi n X2由圖象可以看出， f6)在X m處的值f(m)與在X n處的值f(n)符號總是相反，即 fto) f (n) 0；反之，若f(m) f(n) 0 , f 6)的圖象的相對位置只能是圖中四種情況之一.所以得出結(jié)論：若m , n都不是方程ax 2 bx c 0 (h 0)的根，記f 6) ax2 bx c ,則f &) 0有且只 有一個實根屬于(h

3、i, n)的充要條件是f(m)f (n) 0 .2.二次方程兩個根都屬于任,n)的充要條件方程ax? be c 0 30)的兩個實根都屬于 任，n),則二次函數(shù)f (x) ax 2 bx c的圖2m小于n ,它的圖象有以下象與X軸有兩個交點或相切于點，且兩個交點或切點的橫坐標都大于 幾種情形：由此可得出結(jié)論：方程ax 2 bx(a0)的兩個實根都屬于區(qū)間(m , n)的充要條件是:b24acaf (m )0af (h)0這里 f x ax20同理可得出：n 2abx c3 .二次方程ax2 于n )的充要條件是：af to ) 0bx c0的兩個實根分別在區(qū)間(m , n)的兩側(cè)(一根小于ma

4、f (n)這里 x ax 2,()4 .二次方程0bxax2bx c 0的兩個實根都在(in,n)的右側(cè)的充要條件是:b 2 4ac 0af(n) 0b n 2a3二次方程ax2bx c 0的兩個實根都在(m,n)的左側(cè)(兩根都小于 m )的充要條件是:b2 4ac 0af(m )0b m2a這里 f (x) ax2 bx c .二.例題選講例1.設(shè)關(guān)于X的方程4* 2x1 b 0(b R), (i)若方程有實數(shù)解，求實數(shù) b的取值范圍； (2)當方程有實數(shù)解時，討論方程實根的個數(shù)，并求出方程的解。例2.已知二次函數(shù) f6)=ax2+bx+c&W0)若.方程f&)二x無實根，求

5、證：方程 曲x)=x也無實根.例3 .設(shè)A 2,4)，B x x? ax 4 0,若B A ,求實數(shù)a的取值范圍.9變式：已知方程X2 + (3m-l)x+ (3my)二0的兩個根都屬于(-3, 3),且其中至少有一個根小于1,求m的取值范圍.R)有兩個負根，求m的取值范圍.例4.已知方程4x22任 1) x (2m3)0 (m2 任 1) x 2m 6 0 .4.例5.求實數(shù)m的范圍，使關(guān)于x的方程x2 (1)有兩個實根，且一個比2大，一個比2小.(2 )有兩個實根，且滿足01(3 )至少有一個正根.例6.已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+l = 0.（1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間

6、（一1, 0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1, 2）內(nèi)，求m的范圍.蛤 若方程兩根均在區(qū)間（0, 1）內(nèi)，求m的范圍.變式：已知方程2x2 -2（2al）x+a+2=0的兩個根在-3與3之間，求 a的取值范圍.例7.已知二次方程 mx2 （Sm l）x m 2 0的兩個根都小于1,求m的取值范圍.變式：如果二次函數(shù)y=mx2+(ni 3)x+l的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m的取值范圍.例8.已知a是實數(shù)，函數(shù)f&) 2ax 2 2x3 a ,如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間11,上有零點，求a的取值 范圍.在其它的一些場合下也二次方程實根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的情

7、況, 可以適當運用.下面再舉兩個例子：x+1例9.求函數(shù)y =X2WX+2 Qx2)的值域.例10.已知拋物線y= 2x2fx+iii與直角坐標平面上兩點(0,0), (1,1)為端點的線段(除去兩個端點)有公共點，求m的取值范圍.三.鞏固練習(xí)1.已知二次方程(3m l)x2 (2m 3)x m 4 0有且只有一個實根屬于(-1, 1),求m的取值范圍.2.已知方程m 2 2x(2m 1) 2X m 0在(，1)上有兩個根，求m的取值范圍.3 .已知二次方程Cm 1) x2 2m x (m 1) 0有且只有一個實根屬于(1, 2),且x 1, x 2都不是方程的根，求m的取值范圍.4 .已知二

8、次方程(in l)x2 (3m 4) x (jn 1)0的兩個根都屬于(1),求m的取值范圍.5 .若關(guān)于x的方程x2+&-l)x+l = 0有兩相異實根，且兩根均在區(qū)間92上，求實數(shù)a的取值范圍.6.二次函數(shù) 卷)二px1qx+r中實數(shù)p、q、r滿足m(l)pf( KO；m 19)方程f&AO在(0, 1)內(nèi)恒有解。p q r =0,其中m >0,求證 ；m 2 m 1 m參考答案例1.分析：可用換元法，設(shè) 2X t,原方程化為二次方程t2 2t b 0 ,但要注意t 0 ,故 原方程有解并不等價于方程 12 2tb 0有解，而等價于方程 t2 2t b 0在(0,)內(nèi)

9、有解.另外，方程有解的問題也可以通過參變分離轉(zhuǎn)化為求值域的問題，它的原理是：若關(guān)于x的方程a f(x)有解，則a f&)的值域.解：(1)原方程為b 4X 2X 1 ,4X 2x i 2 x)2 2 2 x (2X l)2 1 1 , 當b 1,)時方程有實數(shù)解；(2)當bl時，2x 1,方程有唯一解x 0 ；當 b 1 時，(2 x I)21 b 2X 1 , 1 b .2X 0,1 vl b 0, 2X 1 V 1 b 的解為 x bg 2 (1 d b )；令 1 V1 b 071 b 11 b 0,當 1 b 0 時，2x 1 JTi 的解為 x bg2 (1 JTT )； 綜

10、合、，得1)當 1b 0時原方程有兩解：x bg 2 Q 7 1 b )；1時，原方程有唯一J2)當 b 0 或b解xbg2(l*lb)；3)當b 1時，原方程無解。例2 .證明：方程 f&)二x即f&)wax 2+(b-l)x+c=0無實根，f(x)-x仍是二次函數(shù)，f&)w0仍是二 次方程，它無實根即=(b-l)2-4ac<0若a>0,則函數(shù)y=的圖象在x軸上方，.二y> 0,即f(x)-x > 0恒成立，即：f(x) > x對任意實數(shù)x恒成立。一對 f&),有 >f(x) > x 恒成立f(f(k)=x 無實根若a

11、VO,函數(shù)y=f(x)x的圖象在x軸下方y(tǒng)< 0,即f&). < 0恒成立對任意實數(shù)x, f&) V0恒成立J對實數(shù)f&),有：f(f(x)< f(x) < X恒成立f(f(x)=x 無實根綜上可知，當f&Ax無實根時，方程f做)=X也無實根.例3.分析：觀察到方程x2 ax 4 0有兩個實根，故此題不妨用求根公式來解決.12解：因X? ax 40有兩個實根XIX2故B A等價于xi212且X22且4變式:解：原方程即為& + 1)& + 3nl -2)=0 ,1所以方程兩根分別為 5題意,例4 .另i根滿足-3<2

12、-3 m <3 解：依題意有3 <m <34 (ml)24 4(2m3) 01) 0IE2m例5.解:( i)f &)2 (m1) X2m4 4 to 1)6.依題意有f (0)f (1)4m解得:f (4)10m14方程至少有一個正根，則有三種可能:有兩個正根，此時可得f (0)2任1)2有一個正根，一個負根，此時可得3.有一個正根，另一根為0,此時可得6 2m 02(m 1) 0綜上所述，得m 1 .例6.解：(1)條件說明拋物線f&)=x2+2mx+2m+l與x軸的交點分別在區(qū)間則而-1在63,1)上，則由 13 m 1 .3.(-1, 0)和 Q, 2

13、)內(nèi),f (0) 2m 10,f (1) f (1)24m0,20,m6m，實數(shù)m的范圍是（9）據(jù)拋物線與2R,1,2_56L2x軸交點落在區(qū)間(0,_5 m61）內(nèi)，列不等式組f (0) 0,f (1) 0,0,0ml214G3,3）的充要條件為 20 f>0 f(3)>02a-l24或G0.,實數(shù)m的范圍是（-4於.2變式：解：設(shè) 故）=2x2 -22a-l）x+ a+2,則原方程兩根都屬于4 Qa-1產(chǎn)-8 3+2)20 18+6(2 a-l)+ a+2>0 18-6(2a-l)+ a+2>02a-l-3<2 <314-3<23+xf21<

14、326U 1,m<H .4,11）.其充要條件為-13 <m 4 或故a的取值范圍是 e 313，4例7.解一：二次方程兩個根都小于2nl 1)2 4m to 2)0m m Cm 1) m 2 02 m1 12 m（1）即為8m 212m 1 0 ,它的解集是（2）即為m （2m1） 0，它的解集是（，）（0,）.（3）的解集是（，0）&，）.4所以，m的取值范圍是（解二：二次方程mx2 （2m,工)21) x m1 7 ,）.42 0有兩個根的充要條件是設(shè)兩根為XI , X2 ,由于XI, X2都小于1,即XI 1 O,X2 1 0（XI 1）&21） 0（XI

15、1）（x2 1）0即XI X2 2 0xix 2 （xi X2 ） 1 0因此，方程兩個根都小于1的充要條件是：0 .其充要條件為:2m2m 1l)2 4m(D12) 02mm以下同解法一（略）ID解三：令y x 1 ,原方程轉(zhuǎn)化為(4m(1)2m y1) y 2m 11）（y因為原方程兩根都小于1,所以方程（*）的兩個實根都小于0,其充要條件是:04 m 1八0 m2m 10m 同樣可求出m的取值范圍（略）.變式：解：f（0）=l>0（1）當mV 0時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側(cè)，符合題意09）當m>0時，貝lj 3 m 解得0<ml 0m綜上所述，m的取

16、值范圍是m 且m W0.例8 .解析1：函數(shù)y f&）在區(qū)間91, 1止有零點，即方程 f（x）2ax2 2x 3 a=0在H，1上有解，a=0時，不符合題意，所以aW 0,方程1 , 1上有解 < =>f (1) f (1) 0 或12af ( 1)0af(1) 03 r r3、4 8a(3 a) 01 a 5 或 a 或 a 5 a 1_或&2 1.122一 L 1.1 a所以實數(shù)a的取值范圍是a 3 7或a21. 2解析2： a=0時，不符合題意，所以 aWO,又f (x ) 2ax21止有解,(2 x2H，1止有解,問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)2 x2 1y二H，1上的

17、值域；設(shè)t=3-2x,3 2xl)a 3 2x在H，1上有解 W_1在 a 3 2xxe H , 1,則 2x 3 t,6)，設(shè) g(t)2t l.g 的tt2 7 ,t21, J7）時，g'S o,此函數(shù)g（t）單調(diào)遞減,t 。,5時，g Xt) >0,此函數(shù)1 eg（。單調(diào)遞增，y3.1 a 1 或 a的取值范圍是47 3,1, f&)2ax2 2x 33。a=0在9 1 , 1上有解162x = 2x in x+m由題意，方程在區(qū)間f（o）fa）<o >或 20m +10< 4m 2-6m +1 20<1m<0 或故m的取值范圍為 鞏固

18、練習(xí)f(0)>0f(l)>0(-,0)U3至 R-l<m <3 m >01.解：易知XI二-1是方程的一個根,根屬于當且僅當-Krt，.則另一根為m -43m Tm Y3m 4m YX2=3m -1 ，所以原方程有且僅有一個實 4m -53m-1 >02m +33 m -13-5m <- 2或m>4.的取值范圍為G-6a2例9.解：原函數(shù)即為 y （x2-3x+2> x+1, yx2-（3 y+ l）x+2y-l=0,由題意，關(guān)于x的方程在（1,2）上有實根.易知y<0,令f&）二（3y+l）x+2y-l,則f（l）二丑<

19、;0, 簽）=-3<0 ,所以方程在（1,2）上有實根當20且僅當 3y+l1< 2y <2，原函數(shù)的值域為（-，巧1例10.解：以（0,0）, （1,1）為端點的線段所在直線為y二x,代入拋物線方程得:2x2-(m +1) x+m =0,(0, 1)上有實根，令f(x) = 2x2-(in +1) x+m ,則當且僅當2.解：令 t 2*,當x (,1)時，t (0, 2).映射的函數(shù)，所以 x在（，1）上有兩個值，則t在（0, 2）上有兩個對應(yīng)的值.因而方程mt2（Sm l）t m 0在（0, 2）上有兩個不等實根，其充要條件為2m I)2 4m 20m2 nm 0(1)

20、m (9m2) 0(3)由(1)得:由(2)得:由(3)得:由(4)得:292 m122 m1m 一,4m 0 ,、2m 0 或 m ,911m .62m ,即m的取值范圍為(4)3.解：設(shè) f&)=(Sm 1) x 2 2m x 任 1) tW , 0 即 m由于f&）是二次函數(shù)，所以2m+1 W-5 <m <2.f&)=0在(1, 2)上有且僅有一個實根當且僅當f(l)f(2)<0 -(5m+3)(m-2)<03- 11綜上得：m的取值范圍是G5 ,-2)uG2,2).4.令二次函數(shù) f(x)=(m -1)x2+(3 m +4) x+m +1,貝lj m -L W , 0 即 m W