中考幾何題中新定義型題集錦

1、中考幾何題中的新定義型題集錦在近年的中考試題中，涌現(xiàn)出了許多創(chuàng)意新穎、情境熟悉的幾何新定義型試題，為了便于同學(xué)們了解掌握這方面的信息，現(xiàn)從近年的中考試題中精選數(shù)例，供同學(xué)們參考與借鑒。一、定義一種新的幾何體例1（2001年泰州市）我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體，如圖1，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體。（1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（ ）A. 兩個(gè)球體B. 兩個(gè)圓錐體C. 兩個(gè)圓柱體D. 兩個(gè)長方體（2）請猜想出相似體的主要性質(zhì)：相似體的一切對應(yīng)線段（或弧長）的比等于_；相似體表面積的比等于_；相似體體積的比等于

2、_。（3）假定在完全正常發(fā)育的條件下，不同時(shí)期的同一個(gè)人的人體是相似體，一個(gè)小朋友上幼兒園時(shí)身高為1.1m，體重為18kg，到了初三，身高為1.65m，問他的體重為多少？（不考慮不同時(shí)期人體平均密度的變化）解：（1）由相似體的定義可知，應(yīng)選A。（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方。（3）設(shè)初三時(shí)體重為x kg，則由題意，得，解之，得故到了初三時(shí)，他的體重約為60.75kg。二、定義一種新的規(guī)則例2 （2003年安徽?。┤鐖D2，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把它與正三角形的接近程度稱為“正度”，在研究“正度”時(shí)，應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等。設(shè)等腰三角形的底和腰分別為a、b，底

3、角和頂角分別為、，要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)。同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近于正三角形。探究：（1）他們的方案哪個(gè)較為合理，為什么？（2）對你認(rèn)為不合理的方案，請加以改進(jìn)（給出式子即可）。（3）請?jiān)俳o出一種衡量“正度”的表達(dá)式。解：（1）乙同學(xué)的方案較為合理。因?yàn)榈闹翟叫。c越接近，因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相似三角形的“正度”相等。同學(xué)甲的方案不合理。因?yàn)椴荒鼙ＷC相似三角形的“正度”相等。如：邊長為4、4、2和邊長為8、8.4的兩個(gè)等腰三角形相似，但。（2）對同學(xué)甲的

4、方案可改用、等（k為正數(shù)）來表示“正度”。（3）還可以用、等來表示“正度”。說明：（2）、（3）的答案不惟一，只要符合要求的均可。三、定義一種新的線段例3（2003年安徽省附加題）如圖3，在五邊形中，是對邊的中點(diǎn)，連結(jié)，我們稱是這個(gè)五邊形的一條中對線，如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分。求證：五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行。證明：如圖3，取的中點(diǎn)，連結(jié)、。因?yàn)?，所以。又因?yàn)樗倪呅闻c四邊形的面積相等，所以同理，所以，所以與的邊上的高相等，所以。同理可證：，。例4（2007年連云港市）如圖4（1），點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果AC：AB=BC：AC，那么稱點(diǎn)C為線段AB

5、的黃金分割點(diǎn)。某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為、，如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線。（1）研究小組猜想：在ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)，如圖4（2），則直線CD是ABC的黃金分割線。你認(rèn)為對嗎？為什么？（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D作直線DFCE，交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，如圖4（3），則直線EF也是ABC的黃金分割線。請你說明理由。（4）如圖4（4），點(diǎn)E是平

6、行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFAD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線，請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊的黃金分割點(diǎn)。解：（1）直線CD是ABC的黃金分割線，理由如下：設(shè)AB邊上的高為h，則由AD：AB=DB：AD，得，即，由黃金分割線的定義知：CD是ABC的黃金分割線。（2）三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線。（3）證明：設(shè)DC與EF的交點(diǎn)為O。因?yàn)镈FCE，所以，所以，。因?yàn)椋?，所以直線EF是ABC的黃金分割線。（4）畫法不唯一，如：畫法1 如圖5（1）取EF的中點(diǎn)G，過點(diǎn)G作一條直線分別交AB

7、、DC于M、N點(diǎn)，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線。畫法2 在DF上取一點(diǎn)N，連結(jié)EN，過點(diǎn)F作FMEN交AB于點(diǎn)M，連結(jié)MN，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線，如圖5（2）。四、定義一種新的點(diǎn)例5（2006年安徽省實(shí)驗(yàn)區(qū)）如圖6，凸四邊形ABCD，如果點(diǎn)P滿足APD=APB=，且BPC=CPD=，則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn)。（1）在圖8的正方形ABCD內(nèi)畫一個(gè)半等角點(diǎn)，且滿足。（2）在圖9的四邊形ABCD中畫一個(gè)半等角點(diǎn)，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）。（3）若四邊形ABCD有兩個(gè)半等角點(diǎn)、（如圖7），證明線段上任意一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn)。解：（1）如圖8，連

8、接AC，在AC上（點(diǎn)A、C、AC的中點(diǎn)除外）任取一點(diǎn)P，連結(jié)PB、PD，則點(diǎn)P為正方形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn)。（2）如圖9所示。（3）連結(jié)；、和、，則由題意，得=，故，所以，所以在上，同理在上，所以A、C在同一條直線上。在和中，因?yàn)?，為公共邊，所以，所以，于是B、D關(guān)于AC對稱，設(shè)P是上任一點(diǎn)，連結(jié)DP、BP，則由對稱性知DPA=BPA，DPC=BPC，所以點(diǎn)P是四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn)。例6（2007年寧波市）四邊形一條對角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對角線的兩端點(diǎn)的距離相等，則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)，如圖10（1），點(diǎn)P為四邊形ABCD對角線

9、AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PAPC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)。（1）如圖10（2），畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)；（2）如圖10（3），作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）（3）如圖10（4），在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PC，延長BP交CD于點(diǎn)E，延長DP交BC于點(diǎn)F，且CDF=CBE，CE=CF，求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)；（4）試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況（說出相應(yīng)四邊形的特征及準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明）。解：（1）如圖10（2）所示，點(diǎn)P即為所求（答案不唯一，點(diǎn)P不能畫在AC的中點(diǎn)上）。（2）如圖10（3）所示

10、，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)（答案不唯一）。（3）證明：如圖10（4），連結(jié)DB。因?yàn)镈CFBCD（AAS），所以CD=CB，所以CDB=CBD，故PDB、PBD，所以PD=PB。因?yàn)镻APC，所以點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)。（4）當(dāng)四邊形的對角線互相垂直且任何一條對角線不平分另一條對角線或者對角線互相平分且不垂直時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；當(dāng)四邊形的對角線既不垂直，又不互相平分，且有一條對角線的中垂線經(jīng)過另一對角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)；當(dāng)四邊形的對角線既不垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經(jīng)過另一條對角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；當(dāng)四邊形的對角線互相垂直且至少有一條對角

11、線平分另一條對角線時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)有無數(shù)個(gè)（注意點(diǎn)P不能畫在對角線的中點(diǎn)上）。五、定義一種新的三角形例7 （2005年天津市）在ABC中，A、B、C所對的邊分別用a、b、c表示。（I）如圖11，在ABC中，A=2B，且B=，求證；（II）如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”，本題第（I）問中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，那么對任意的倍角三角形ABC，其中A=2B，如圖12，關(guān)系式是否仍然成立？并證明你的結(jié)論；（III）試求出一個(gè)倍角三角形的三條邊長，使這三條邊長恰好為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)。（I）證明：因?yàn)锳=，A=2B，所以C=，所以在RtABC中，于是，

12、所以。（II）關(guān)系式仍然成立。證明：如圖12，延長BA到D，使AD=AC，連結(jié)CD，則ACD為等腰三角形。所以BAC=2D，因?yàn)锽AC=2B，所以D=B，所以BC=CD。因?yàn)镈為ACD與CBD的公共角，所以ACDCBD，所以AD：CD=CD：BD，即，所以。（III）解：若ABC是倍角三角形，由A=2B，知，且，當(dāng)時(shí)，設(shè)，（n為大于1的整數(shù)）代入，得，解之得。故，可以證明這個(gè)三角形中，A=2B。當(dāng)及時(shí)，均不存在三條邊長恰為三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的倍角三角形，所以邊長為4、5、6的三角形為所求。六、定義一種新的矩形例8（2005年資陽市）閱讀以下短文，然后解決下列問題：如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：

13、三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點(diǎn)在矩形這邊的對邊上，則這樣的矩形為三角形的“友好矩形”，如圖13所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”，顯然，當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè)。（1）仿照以上敘述，說明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”。（2）如圖14，若ABC為直角三角形，且C=，在圖14中，畫出ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大??；（3）若ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖15中畫出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形，并加以證明。解：（1）如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊

14、形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對邊上 ，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”。（2）此時(shí)共有兩個(gè)“友好矩形”，如圖14所示的矩形BCAE和矩形ABFM，易知矩形BCAE、ABFM的面積都等于ABC面積的2倍，所以ABC的“友好矩形”的面積相等。（3）此時(shí)共有三個(gè)“友好矩形”，如圖15所示的BCDE、CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周長最小，證明如下：易知這三個(gè)矩形的面積相等，令其為S，矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為、，ABC的邊長，則，。因?yàn)椋?，所以，即，同理可證，所以最小，即矩形的周長最小。七、定義一種新的四邊形例9（2006年北京市）

15、我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形的兩條對角線相等，則稱這個(gè)四邊形為等對角線四邊形。請解答下列問題：（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；（2）探究：當(dāng)?shù)葘蔷€四邊形中兩條對角線所夾銳角為時(shí)，這對角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。解：（1）答案不唯一。如正方形、矩形或等腰梯形、矩形等。（2）結(jié)論：等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角時(shí)，這對角所對的兩邊之和大于或等于一條對角線的長。已知：四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC=BD，且AOD=。求證：BC+AD。證明：過點(diǎn)D作DEAC，連結(jié)CE、BE，則EDO=，四邊形ACED是平行四邊

16、形，所以BDE是等邊三角形，故，DE=BE=AC。當(dāng)BC與CE不共線時(shí)，如圖16，在BCE中，有BC+CE，所以。當(dāng)BC與CE共線時(shí)，如圖17，則，即。綜合、，得。故所得結(jié)論成立。例10（2007年北京市課標(biāo)卷）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形。（1）請寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱。（2）如圖18，在ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，設(shè)CD、BE相交于點(diǎn)O，若A=，DCB=EBC=A/2。請寫出圖中一個(gè)與A相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對邊四邊形；（3）在ABC中，如果A是不等于的銳角，

17、點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DCB=EBC=A/2，探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論。解：（1）答案不唯一，如正方形、矩形、菱形、等腰梯形等。（2）與A相等的角是BOD（或COE），四邊形DBCE是等對邊四邊形。（3）如圖19，四邊形DBCE是等對邊四邊形，證明如下：如圖19，作CGBE于G，作BFCD交CD的延長線于F點(diǎn)。因?yàn)镈CB=EBC，BC為公共邊，所以BFCCGE，所以BF=CE，因?yàn)锽DF=DBE+EBC+DCB=A+DBE=BEC，所以RtDFBRtEGC，所以BD=CE，故四邊形DBCE是等對邊四邊形。八、定義一種新的相似形例11（2005年嘉興市）某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究相似圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)相似三角形的定義、判定及其性質(zhì)可以拓展到扇形的相似中去。例如，可以定義：“圓心角相等且半徑和弧長對應(yīng)成比例的兩個(gè)扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性質(zhì)：弧長比等于半徑比，面積比等于半徑比的平方請你協(xié)助他們探索這個(gè)問題。（1）寫出判定扇形相似的一種方法：若_，則兩個(gè)扇形相似；（2）有兩個(gè)圓心角相等的扇形