24極限運(yùn)算法則07278

1、2.4 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則一、 極限運(yùn)算法則二、 求極限方法舉例三、 復(fù)合函數(shù)求極限 四、 綜合例題 五、 小結(jié) 一、極限運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則定理定理 設(shè)設(shè)則則lim( ),lim ( ),f xag xb(1)lim ( )( ).f xg xab(3)lim ( )( ).f xg xa b( )(4)lim,0.( )f xabg xb(2)lim( ).kf xka 推論推論 如果如果 存在存在,lim( )f x而而 是正常數(shù)是正常數(shù),n則則lim ( )lim( ) .nnf xf x xxxxxxx 00011lim sinlimlimsin0注意公式使用的條件！注意公

2、式使用的條件！ xxxxxxxxx lim1limlim10定理定理 . 若若,lim,limbyaxnnnn則有則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時(shí)且當(dāng)bynbayxnnnlimbaba提示提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù)因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理也成立。故此定理也成立。未定式未定式(7種種)在在 x 的某一趨近過(guò)程時(shí)，如果函數(shù)的某一趨近過(guò)程時(shí)，如果函數(shù)f(x), g(x)有有( )0, ( )0,f xg x1.( ), ( ),f xg x 2.( )0, ( ),f xg x 3.( )1, ( ),f xg x 5.( ), ( )0,

3、f xg x 6.( )0, ( )0,f xg x7.( ), ( ),f xg x 4.稱稱 是是 未定式未定式( )lim( )xf xg x某量00稱稱 是是 未定式未定式( )lim( )xf xg x某量稱稱 是是 未定式未定式lim( ) ( )xf x g x某量0稱稱 是是 未定式未定式( )lim( )g xxf x某量1稱稱 是是 未定式未定式0稱稱 是是 未定式未定式00稱稱 是是 未定式未定式( )lim( )g xxf x某量( )lim( )g xxf x某量lim ( )( )xf xg x某量二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例解解)53(lim22 xxx5

4、lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 例例1531lim232 xxxx判斷未定式？判斷未定式？小結(jié)小結(jié): :nnnaxaxa 10100).(0 xf )()(00 xqxp ).(0 xf 2. 設(shè)設(shè) , 且且( )( )( )p xf xq x 0()0,q x 若若 , 0()0q x 1. 設(shè)設(shè)101( ),nnnf xa xa xa nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000則有則有

5、)(lim)(lim)(lim000 xqxpxfxxxxxx 則有則有則商的法則不能應(yīng)用則商的法則不能應(yīng)用.解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系, ,得得.3214lim21 xxxx例例2 求求3214lim21 xxxx x = 3 時(shí)分母為 0 !31lim3xxx例例3.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231分解因式，分解因式，約去零因子約去零因子00型：例例4 求求)1311(lim31xxx

6、3113lim()11xxx 解解2212lim(1)(1)xxxxxx 212lim1xxxx 1 例例5 求求nmxxnmx,lim111 解解 原式原式 )()(lim111121211 xxxxxxxxnnmmx121211lim1mmnnxxxxxxx 為正整數(shù)為正整數(shù).mn 22113lim(1)(1)xxxxxx 通分；通分；約去零因子約去零因子型： 時(shí)時(shí), 分子分母的極限都是無(wú)窮大分子分母的極限都是無(wú)窮大3232235lim541xxxxx.52 例例5 求求145532lim2323 xxxxx解解型）型）（ 33352lim415xxxxx x 小結(jié)小結(jié): :當(dāng)當(dāng) 和和 為

7、非負(fù)整數(shù)時(shí)有為非負(fù)整數(shù)時(shí)有000,0,abmn 利用利用無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系, 然后再求極限然后再求極限.101101limmmmnnxna xa xab xb xb 00,ab當(dāng)當(dāng),nm 0,當(dāng)當(dāng),nm , 當(dāng)當(dāng),nm 常以自變量的最高次冪除分子和分母常以自變量的最高次冪除分子和分母,解解是是無(wú)無(wú)限限多多個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)窮窮小小之之和和時(shí)時(shí), n2221321lim()nnnnn 2221limnnnn 11lim n先變形再求極限先變形再求極限. .例例6 求求)1231(lim222nnnnn 21321limnnn （）解解. 0sinlim xxx例例7 求求xxxsin

8、lim 例例8 設(shè)設(shè) 0101)(2xxxxxf，,求求)(lim0 xfx.當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),x 為無(wú)窮小為無(wú)窮小.1x而而 是有界函數(shù)是有界函數(shù).sin xyox1xy 112 xy解解0lim(1)xx , 1 0lim( )xf x , 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等, ,0lim( )xf x 20lim(1)xx 兩個(gè)單側(cè)極限為兩個(gè)單側(cè)極限為 是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的分段點(diǎn),0 x 0lim ( )1.xf x 故故定理定理 (復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則) 若若(1) 0lim( ),xxxa 且在且在 的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)0 x( ),uxa (2)

9、lim( ),uaf ua 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 則則0 xx復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 的極限存在的極限存在, 且且 ( )fx 0lim ( )xxfx 0lim ( )xxfx lim( )uaf u)(lim0 xaxx 意義意義：( )ux 令令三、復(fù)合函數(shù)求極限三、復(fù)合函數(shù)求極限lim( ).uaf ua例例9 求求xxxx 11lim0解解 先分子有理化先分子有理化,再求極限再求極限.011limxxxx 0( 11)( 11)lim( 11)xxxxxxxx 02lim( 11)xxxxx 1 練習(xí)練習(xí) 求求anann),(lim 為常數(shù)為常數(shù).00型：練習(xí)練習(xí) 求求.sinsinlimxxx

10、1解解 原式原式11lim 2sincos22xxxxx 112 lim sincos22(1)xxxxx 0 22.lim11nnnn 例例2222221111=lim11解解:原:原式式nnnnnnnn 222211=lim11nnnnnn 222=lim11nnnn 222=lim1111nnn2=11 01 00 型：00化成 或 型解解.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時(shí)時(shí)x.100后后再再求求極極限限窮窮小小因因子子型型）先先約約去去不不為為零零的的無(wú)無(wú)（ x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 練習(xí)練習(xí) 求求

11、321lim221 xxxx五、小結(jié)五、小結(jié)1、極限的四則運(yùn)算法則及其推論、極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2、極限求法總結(jié)、極限求法總結(jié)0001）因式分解消去公因式）因式分解消去公因式2）含有根號(hào)的，有理化）含有根號(hào)的，有理化1）除以最高次項(xiàng)）除以最高次項(xiàng)2）含有根號(hào)的，有理化）含有根號(hào)的，有理化1）化成上面的二種未定式）化成上面的二種未定式2）含有根號(hào)的，有理化）含有根號(hào)的，有理化1）通分，化成上面的三種未定式）通分，化成上面的三種未定式2）含有根號(hào)的，有理化）含有根號(hào)的，有理化3. 特特殊的殊的一種一種方法：方法：無(wú)窮無(wú)窮小的小的性質(zhì)性質(zhì)._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、一、填空一、填空練習(xí)題練習(xí)題 ._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、二、求下列極限二、求下列極限38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 x