人工腎的模型數(shù)學(xué)建模考試小論文大學(xué)開(kāi)放性作業(yè)

1、人體中的數(shù)學(xué)人工腎模型作者 05級(jí)班級(jí) 學(xué)號(hào) 目 錄目 錄2摘要3一、引言3二、模型4（一）問(wèn)題的化簡(jiǎn)和假設(shè)4（二）模型的建立4三、分析5（一）血液中廢物濃度的變化5（二）單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量5（三）人工腎性能指標(biāo)清除率6四、結(jié)論6五、進(jìn)一步的探討6五、參考文獻(xiàn)7摘要本文將從分析人體腎臟的功能出發(fā)，模仿人體腎的機(jī)理建立理想化的人工腎模型。本模型主要用到了微分方程模型的建模方法，分析了血液中廢物濃度的變化，單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量，最后得出了人工腎性能指標(biāo)清除率的模型。從本模型可以看出數(shù)學(xué)是貫穿于其它學(xué)科的一門重要工具學(xué)科。關(guān)鍵詞：生理學(xué)，腎，人工腎，微分方程模型一、

2、引言腎臟是機(jī)體主要的排泄器官。通過(guò)尿的生成和排出，腎臟實(shí)現(xiàn)排出機(jī)體代謝終產(chǎn)物以及進(jìn)入機(jī)體過(guò)剩的物質(zhì)和異物，調(diào)節(jié)水和電解質(zhì)平衡，調(diào)節(jié)體液滲透壓，體液量和電解質(zhì)濃度，以及調(diào)節(jié)酸堿平衡等功能。腎清除率是人體腎臟的重要性能指標(biāo)之一。腎清除率是指兩腎在單位時(shí)間(一般指每分鐘)內(nèi)能將多少毫升血漿中所含的某一物質(zhì)完全清除，這個(gè)被完全清除了該物質(zhì)的血漿的毫升數(shù)就稱為該物質(zhì)的清除率。不同物質(zhì)從血漿中被清除提供了一個(gè)定量性衡量腎功能的方法，測(cè)定腎清除率可用于腎小球?yàn)V過(guò)率和腎血漿流量的測(cè)定以及對(duì)腎小管功能進(jìn)行評(píng)估。腎清除率的計(jì)算方法有：U×V=P×CC=(U×V)/P上兩式中的符號(hào)說(shuō)明

3、如下：U：尿中某物質(zhì)的濃度(mg/100ml)V：每分鐘尿量(ml/min)P：血漿中某物質(zhì)的濃度(mg/100ml)C：清除率測(cè)定清除率的意義有：測(cè)定腎小球?yàn)V過(guò)率測(cè)定腎血流量推測(cè)腎小管的功能模仿人體腎的機(jī)理可以建立理想化的人工腎模型。二、模型（一）問(wèn)題的化簡(jiǎn)和假設(shè)為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我在建立人工腎時(shí)只考慮腎清除率一項(xiàng)性能指標(biāo)，并設(shè)血液和人工腎中液體的流速均為常數(shù)，廢物進(jìn)入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比。（二）模型的建立人工腎是幫助人體從血液中帶走廢物的裝置，它通過(guò)一層薄膜與需要帶走廢物的血管相通，如圖所示，人工腎中通以某種液體，其流動(dòng)方向與血液在血管中的流動(dòng)方向相反，血液中的廢物透過(guò)

4、薄膜進(jìn)入人工腎。血管人工腎薄膜血液流動(dòng)方向液體流動(dòng)方向圖設(shè)血液和人工腎中液體的流速均為常數(shù)，廢物進(jìn)入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比，人工腎總長(zhǎng)，建立單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量的模型。以血液流動(dòng)方向?yàn)檎较蚪⒆鴺?biāo)，如圖2所示：（血管）（人工腎）kukvu（x）v（x）xx+x圖2本模型中的主要符號(hào)說(shuō)明為：人工腎總長(zhǎng)血液中廢物濃度（）人工腎中廢物濃度（）血液中液體流動(dòng)的速度ku人工腎中液體流動(dòng)的速度kv。單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量Q人工腎的清除率I三、分析（一）血液中廢物濃度的變化考察(x,x+x)血液中廢物濃度的變化，得u(x)=u(x)-v(x)dx+u(x+dx)

5、,于是=-（u-v），>0。同理，=-（u-v），邊界條件為u（0）=，v（l）=0，可解得u(x)= v(x)= 其中=（-）將人工腎模型結(jié)合人體腎臟的實(shí)際情況考慮：血液中廢物濃度（0）相當(dāng)于人體血漿中某物質(zhì)的濃度P （二）單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量為：=dx =-=-u(l)=將人工腎模型結(jié)合人體腎臟的實(shí)際情況考慮： 單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量Q相當(dāng)于人體尿中某物質(zhì)的濃度U與每分鐘尿量V的乘積，即U×V（三）人工腎性能指標(biāo)清除率表示人工腎性能的指標(biāo)清除率I定義為I = = = 將人工腎模型結(jié)合人體腎臟的實(shí)際情況考慮：人

6、工腎的清除率I相當(dāng)于人體腎清除率C=(U×V)/P把U×V=Q ， P=代入人體腎清除率的計(jì)算公式得：C=I 證明這個(gè)人工腎的微分方程模型正確。四、結(jié)論這個(gè)模型的建立和求解過(guò)程用到了微分方程的建模方法。當(dāng)我們描述實(shí)際對(duì)象的某些特性隨時(shí)間或空間而演變的過(guò)程、分析它的變化規(guī)律、預(yù)測(cè)它的未來(lái)性態(tài)，研究它的控制手段時(shí)，通常要建立對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型。建模時(shí)首先要根據(jù)建模目的和對(duì)問(wèn)題的具體分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)，然后按照對(duì)象內(nèi)在的或可以類比的其他對(duì)象的規(guī)律列出微分方程，求出方程的解并將結(jié)果翻譯回實(shí)際對(duì)象，就可以進(jìn)行描述、分析、預(yù)測(cè)或控制了。本文建立的人工腎模型，大致就是這個(gè)過(guò)程。五、進(jìn)一步的探討腎臟除了腎清除率，還有其它重要的性能指標(biāo)，比如腎血流量、腎小球?yàn)V過(guò)率、腎小球有效濾過(guò)壓等。為了建立更完善的人工腎模型，可以在建模時(shí)把這些因素都考慮在內(nèi)，可以用微分方程建模思想和層次分析建模思想相結(jié)合，建立更復(fù)雜實(shí)用的數(shù)學(xué)模型。由于時(shí)間有限，在此不再作進(jìn)一步的探討。五、參考文獻(xiàn)1姜啟源、謝金星、葉俊 ，數(shù)學(xué)模型（第三版）