2022年廣州市學(xué)大教育技術(shù)有限公司佛山分公司高中數(shù)學(xué)《第一章解三角形》基礎(chǔ)知識和經(jīng)典例題詳解新人教A版必修

1、學(xué)大教育廣州技術(shù)有限公司佛山分公司高中數(shù)學(xué)必修5第一章解三角形基礎(chǔ)知識和經(jīng)典例題詳解1、正弦定理： 在c中，a、b、c分別為角、c的對邊，r為c的外接圓的半徑，則有2sinsinsinabcrc2、正弦定理的變形公式：2sinar，2sinbr，2sincrc；sin2ar，sin2br，sin2ccr；:sin:sin:sina b cc；sinsinsinsinsinsinabcabccc3、三角形面積公式：111sinsinsin222csbcabcac4、余弦定理：在c中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababc5、余弦定理的推論：222cos2

2、bcabc，222cos2acbac，222cos2abccab6、簡單的判斷三角形設(shè)a、b、c是c的角、c的對邊，則：若222abc，則90c；若222abc，則90c；若222abc，則90c7解三角形 ：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內(nèi)角）中的三個元素（其中至少有一精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等主要類型：（1）兩類正弦定理解三角形的問題

3、：第 1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角. 第 2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角. （2）兩類余弦定理解三角形的問題：第 1、已知三邊求三角. 第 2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角. 8三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。（1）角的變換因為在 abc中， a+b+c= ， 所以 sin(a+b)=sinc； cos(a+b)= cosc； tan(a+b)= tanc。2sin2cos,2cos2sincbacba；（2）判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式. 9. 討

4、論三角形解的情況分析：先由sinsinbaba可進一步求出b；則0180()cab從而sinacca1當(dāng) a為鈍角或直角時，必須ab才能有且只有一解；否則無解。2當(dāng) a為銳角時，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若sinaba，則有兩解；（2）若sinaba，則只有一解；（3）若sinaba，則無解。（以上解答過程詳見課本第910 頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)a為銳角且sinba ab時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。 隨堂練習(xí)1 （1）在abc中，已知80a，100b，045a， 試判斷此三角形的解的情況。精品學(xué)

5、習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -（2）在abc中，若1a，12c，040c，則符合題意的b 的值有 _個。（3）在abc中，axcm，2bcm，045b，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x 的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2）0； （3）22 2x）二、典例解析題型 1：正、余弦定理例 1 （1）在abc中，已知032.0a，081.8b，42.9acm，解三角形；解析： （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，0180()cab000180(32.081.8 )066.2；根據(jù)正弦定理，0

6、0sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0abbcma；根據(jù)正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0acccma（2）在abc中，已知20acm，28bcm，040a，解三角形（角度精確到01，邊長精確到1cm） 。根據(jù)正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20baba因為00b0180，所以064b，或0116 .b當(dāng)064b時，00000180() 180(4064 )76cab，00sin20sin7630().sinsin40acccma當(dāng)0116b時，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

7、- - - - - - 第 3 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -00000180() 180(40116 ) 24ca b，00sin20sin2413().sinsin40acccma點評：應(yīng)用正弦定理時（1）應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；（2）對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器例 2 （1）在abc中，已知2 3a，62c，060b，求 b 及 a；解析： （1）2222cosbacacb=22(2 3)( 62)2 2 3 ( 62)cos045=212 ( 62)4 3( 3 1)=822.b求a可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

8、解法一： cos222222(2 2)(62 )(2 3)1,222 2 2 ( 62)bcaabc060 .a解法二： sin02 3sinsin45 ,2 2aabb又622.4 1.4 3.8, 2 32 1.83.6,ac，即00a090 ,060 .a（2）在abc中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形解析：由余弦定理的推論得：cos2222bcaabc22287.8161.7134.62 87.8 161.70.5543,精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 15 頁 - - - - -

9、 - - - -056 20a；cos2222cabbca222134.6161.787.82 134.6 161.70.8398,032 53b；0000180() 180(56 2032 53)cab090 47.點評：應(yīng)用正弦定理時解法二應(yīng)注意確定a的取值范圍。* 20xx 年高考題（2010上海文數(shù)）18.若abc的三個內(nèi)角滿足sin:sin:sin5:11:13abc，則abc（a）一定是銳角三角形. （b）一定是直角三角形. （c）一定是鈍角三角形. (d)可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形. 解析：由sin:sin:sin5:11:13abc及正弦定理得a:b:c=5:11:1

10、3 由余弦定理得0115213115cos222c，所以角 c為鈍角（2010 湖南文數(shù)） 7. 在 abc中，角a，b， c 所對的邊長分別為a，b， c，若 c=120 ，c=2a，則a.ab b.a b c. a b d.a與 b 的大小關(guān)系不能確定【命題意圖】本題考查余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，不等式的性質(zhì)，比較法, 屬中檔題（ 2010 天 津 理 數(shù) ） （ 7 ） 在 abc 中 ， 內(nèi) 角a,b,c的 對 邊 分 別 是a,b,c， 若精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 15 頁 - - - - - - -

11、- -223abbc，sin2 3sincb，則 a= （a）030（b）060（c）0120（d）0150【答案】 a 【解析】本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題。由由正弦定理得2 32 322cbcbrr，所以 cosa=2222+c -a322bbccbcbc=32 3322bcbcbc，所以 a=300 【溫馨提示】 解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運算或?qū)⒔腔癁檫呥\算。（2010 湖北理數(shù)） 3. 在abc中， a=15,b=10,a=60 ，則cosb= a 2 23 b 2 23 c 63 d 633 【答案】 d 【解析】根據(jù)正弦定理sinsi

12、nabab可得1510sin60sinb解得3sin3b，又因為ba，則ba，故 b為銳角， 所以26cos1sin3bb，故 d正確 . （2010 山東理數(shù)）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -（2010 廣東理數(shù)） 11. 已知 a,b,c分別是 abc的三個內(nèi)角a,b,c 所對的邊， 若 a=1,b=3, a+c=2b,則 sinc= . 解：由a+c=2b及a+ b+ c=180知，b =60 由正弦定理知，13sinsin60a，即1sin2a由ab知，60ab，則30a

13、，180180306090cab，sinsin901c題型 2：三角形面積例 3 在abc中，sincosaa22，ac2，ab3， 求atan的值和abc的面積。解法一：先解三角方程，求出角a的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinaaaa又0180a, 4560 ,105.aa精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -13tantan(4560 )2313a, .46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinasacabaabc1

14、212232643426sin()。解法二：由sincosaa計算它的對偶關(guān)系式sincosaa的值。sincosaa2221(sincos )212sincos20180 ,sin0,cos0.1(sin2)2aaaaaaaa另解23cossin21)cos(sin2aaaa, sincosaa62+得sin a264。 得cosa264。從而sin264tan23cos426aaa。以下解法略去。點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學(xué)考查運精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 15 頁 - -

15、- - - - - - -算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡單呢？例 4 （2009 湖南卷文） 在銳角abc中，1,2 ,bcba則cosaca的值等于，ac的取值范圍為. 解析設(shè),2 .ab由正弦定理得,12.sin 2sin2coscosacbcacac由銳角abc得0290045，又01803903060，故233045cos22，2cos(2,3).ac例 5 （2009 全國卷理）在abc中，內(nèi)角a、b、 c的對邊長分別為a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,acac求 b 分析： : 此題事實上比較簡單, 但考生反應(yīng)不知從

16、何入手. 對已知條件(1)222acb左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的, 學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件 (2) sincos3cossin,acac過多 的關(guān)注兩角和與差的正弦公式 , 甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差, 導(dǎo)致找不到突破口而失分. 解法： 在abc中則sincos3cossin,acac由正弦定理及余弦定理有 :2222223,22abcbcaacabbc（角化邊）化簡并整理得：2222()acb. 又由已知222acb24bb. 解得40(bb或舍）. 題型 3：三角形中的三角恒等變換問題精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - -

17、- - - - 第 9 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -例 6在abc中，a、b、c分別是a、b、c的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求a的大小及cbbsin的值。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求a，需找a與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為cb2=a，再用正弦定理可求cbbsin的值。解法一：a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在abc中，由余弦定理得：cosa=bcacb2222=bcbc2=21，a=60。在abc中，由正弦定理得sinb=aabsin，b2=ac，a=60，

18、acbcbb60sinsin2=sin60 =23。解法二：在abc中，由面積公式得21bcsina=21acsinb。b2=ac，a=60，bcsina=b2s inb。cbbsin=sina=23。評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。例 7在abc中，已知a、b、c成等差數(shù)列，求2tan2tan32tan2tancaca的值。解析：因為a、b、c成等差數(shù)列，又abc 180，所以ac 120，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -

19、從 而2ca 60 ， 故tan32ca. 由 兩 角 和 的 正 切 公 式 ， 得32tan2tan12tan2tancaca。所以,2tan2tan332tan2tancaca32tan2tan32tan2tancaca。點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結(jié)合三角變換公式的逆用。題型 4：正、余弦定理判斷三角形形狀例 8在abc中，若 2cosbsinasinc ，則abc的形狀一定是（）a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等邊三角形答案： c 解析： 2sinacosbsinc =sin （ab）=sinacosb+c

20、osasinb sin （ab） 0，ab另解：角化邊點評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑例 9 （2009 四川卷文）在abc中，ab、為銳角，角abc、 、所對的邊分別為abc、 、，且510sin,sin510ab（ i ）求ab的值；（ii ）若21ab，求abc、 、的值。解（ i ）ab、為銳角，510sin,sin510ab精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 15 頁 - - - - - - - - - 222 53 10cos1sin,cos1sin5

21、10aabb2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ababab 0ab, 4ab（ii ）由（ i ）知34c， 2sin2c由sinsinsinabcabc得5102abc，即2 ,5ab cb又 21ab 221bb 1b 2,5ac題型 5：正余弦定理的實際應(yīng)用例 10 （ 2009 遼寧卷文，理）如圖，a,b,c,d 都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，b，d為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面a處測得 b點和 d點的仰角分別為075，030，于水面 c處測得 b點和 d點的仰角均為060，ac=0.1km。試探究圖中b，d間距離與另外哪兩點間距離相等，

22、然后求b，d的距離（計算結(jié)果精確到0.01km，21.414 ，62.449 ）解: 在abc中， dac=30 , adc=60 dac=30,精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -所以 cd=ac=0.1 又bcd=1806060=60，故 cb是cad底邊 ad的中垂線，所以bd=ba ，在abc中，,abcsincbcasinaab即 ab=,2062315sinacsin60因此， bd=。km33. 020623故 b，d的距離約為0.33km。點評：解三角形等內(nèi)容提到高

23、中來學(xué)習(xí)，又近年加強數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低， 對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難， 只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。* 20xx 年高考題（2010 陜西文數(shù)） 17. （本小題滿分12 分）在 abc中，已知b=45,d 是 bc邊上的一點，ad=10,ac=14,dc=6 ，求 ab的長 . 解在 adc中， ad=10,ac=14,dc=6, 由余弦定理得cos2222addcacad dc=10036 19612 10 62, adc=120 ,adb=60 在 abd中， ad=10,b=45,adb=60 ，由正弦定理得

24、sinsinabadadbb, ab=310sin10sin 6025 6sinsin4522adadbb. （2010 遼寧文數(shù)）（17） （本小題滿分12 分 ）在abc中，abc、 、分別為內(nèi)角abc、 、的對邊，且2 sin(2)sin(2)sinaabcbcbc（）求a的大小；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 15 頁 - - - - - - - - -（）若sinsin1bc，試判斷abc的形狀 . 解： （）由已知，根據(jù)正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得abccbacos2222故120,21cosaa（）由（）得.sinsinsinsinsin222cbcba又1sinsin