生產(chǎn)函數(shù)估計(jì)與預(yù)測(cè)方法介紹

1、生產(chǎn)函數(shù)估計(jì)與預(yù)測(cè)方法介紹一、生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)1含義我們?cè)诮?jīng)濟(jì)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道，產(chǎn)量是由生產(chǎn)要素的投入數(shù)量和組合關(guān)系決定的。那么生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)實(shí)際就是客觀反映生產(chǎn)量與各生產(chǎn)要素投入量之間的函數(shù)關(guān)系。2方法與步驟估計(jì)生產(chǎn)函數(shù)最常用的方法是利用實(shí)際收集到的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，這種方法較為客觀，通過(guò)它得到的信息比較完全和精確。為了完成回歸分析，我們必須首先構(gòu)造一個(gè)生產(chǎn)函數(shù)并確定函數(shù)的具體形式；然后再在收集數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上用回歸分析方法求出函數(shù)的具體參數(shù)值；最后，我們還需要檢驗(yàn)回歸結(jié)果對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度，以及回歸分析的前提條件是否成立，因?yàn)橐粋€(gè)沒(méi)有顯著函數(shù)關(guān)系或回歸分析前提條件不成立的回歸分析結(jié)果是沒(méi)

2、有意義的。（1）影響變量的選取就一個(gè)具體的回歸分析而言，各個(gè)變量必須具有特定的含義。在進(jìn)行回歸分析時(shí)，我們應(yīng)該對(duì)于研究對(duì)象具有深入的了解，否則在函數(shù)構(gòu)造這一步可能會(huì)漏掉一些很重要的解釋變量。在進(jìn)行回歸分析時(shí)應(yīng)注意不要漏掉重要的解釋變量，但這并不意味著解釋變量越多越好，因?yàn)樵谀Ｐ椭邪ㄒ恍┎⒉恢匾慕忉屪兞糠炊鴷?huì)引起一些統(tǒng)計(jì)上的問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)解釋變量超過(guò)5至6個(gè)時(shí)，就可能降低模型的自由度，甚至引起多重共線(xiàn)性問(wèn)題，這些都會(huì)影響到模型的解釋力。對(duì)于一些屬性因素，如年齡、季節(jié)、性別等，如不同的屬性表現(xiàn)對(duì)被解釋變量有明顯不同的影響時(shí)，還需設(shè)計(jì)虛擬變量。（2）生產(chǎn)函數(shù)形式的確定上面所構(gòu)造的生產(chǎn)函數(shù)只涉

3、及了變量的選取，但為了完成回歸分析，我們必須確定生產(chǎn)函數(shù)的具體形式。生產(chǎn)函數(shù)可采用多元線(xiàn)性的，但一般最常用的是柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（3）數(shù)據(jù)的收集當(dāng)模型的具體形式已經(jīng)確定下來(lái)之后，我們需要針對(duì)模型中的變量收集樣本數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)類(lèi)型包括時(shí)序數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)?；貧w分析中也會(huì)碰到數(shù)據(jù)不足的情況，這時(shí)我們就不得不做一些理論上簡(jiǎn)化， （4）建立回歸方程及參數(shù)估計(jì)1）一元線(xiàn)性回歸模型總體回歸模型如果兩個(gè)變量在總體上存在線(xiàn)性回歸關(guān)系，可以用下式表示隨機(jī)誤差公式中a,b是總體回歸模型的參數(shù)，是X變量以外其它所有影響因素對(duì)Y值的總合影響，故稱(chēng)隨機(jī)干擾項(xiàng)。如果在一定時(shí)期內(nèi)一些因素的單獨(dú)影響都比較零散、微弱，就可以不把它

4、們單獨(dú)列為自變量，而合并為一個(gè)隨機(jī)因素。在一個(gè)模式中是否存在隨機(jī)誤差，體現(xiàn)了確定型依存關(guān)系和統(tǒng)計(jì)型依存關(guān)系的區(qū)別。隨機(jī)誤差體現(xiàn)了在X取既定值時(shí)Y的變異。假定前提a. 是隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)于某個(gè)X既定值，的符號(hào)和絕對(duì)值的大小是隨機(jī)的，它既獨(dú)立于X的取值，也獨(dú)立于前一項(xiàng)值。b.服從正態(tài)分布影響Y的其它因素的作用趨于互相抵消，E（）=0，Y的期望值落在總體回歸線(xiàn)上，在給定X值后，Y值圍繞Y的期望值呈正態(tài)分布。c.對(duì)于任何X值，有恒定的方差（同方差性）。無(wú)論X取什么值，Y值圍繞總體回歸線(xiàn)的變異程度相同?？傮w回歸直線(xiàn)方程與樣本回歸直線(xiàn)方程如果從總體回歸函數(shù)，中排除，就得到表示Y值隨X取值而定的正態(tài)分布期望值與

5、X值關(guān)系的方程總體回歸直線(xiàn)方程上式表明，在X的值給定的條件下，Y的期望值是X的嚴(yán)密的線(xiàn)性函數(shù)。稱(chēng)為Y的條件平均數(shù)，對(duì)于一個(gè)雙變量協(xié)變總體，當(dāng)自變量X取特定值時(shí)，因變量取值服從如下 正態(tài)分布根據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合的直線(xiàn)，稱(chēng)為樣本回歸直線(xiàn)。，t=1,2，式中Y是樣本回歸線(xiàn)上與X相對(duì)應(yīng)的Y值，可視為的估計(jì)，稱(chēng)為Y的估計(jì)值或擬合值，為截距，為斜率，表示當(dāng)X變化1個(gè)單位時(shí)Y的變化量，它們是總體回歸系數(shù)a,b的估計(jì)值。實(shí)際觀測(cè)到的變量Y值，并不完全等于，如果用e表示兩者之差，它與總體誤差項(xiàng)相對(duì)應(yīng) e稱(chēng)為殘差由上述可知，樣本回歸直線(xiàn)是對(duì)總體回歸直線(xiàn)的近似反映?；貧w分析的主要任務(wù)就是采用適當(dāng)?shù)姆椒?，充分利用樣本所?/p>

6、供的信息，使得樣本回歸直線(xiàn)盡可能地接近真實(shí)的總體回歸直線(xiàn)?；貧w模型參數(shù)的估計(jì)a.回歸系統(tǒng)的估計(jì)根據(jù)樣本資料確定樣本回歸方程時(shí)，一般總希望Y的估計(jì)值從整體來(lái)看盡可能接近實(shí)際觀測(cè)值。即殘差的總量越小越好，為了避免簡(jiǎn)單的代數(shù)和會(huì)相互抵消，也便于數(shù)學(xué)上的處理，通常采用殘差平方和作為衡量偏差的尺度。最小二乘法就是根據(jù)這一思路，通過(guò)使殘差平和和為最小來(lái)估計(jì)回歸系數(shù)的一種方法。很明顯，殘差平方和Q的大小將依賴(lài)于和的取值。根據(jù)微積分求極小值的原理，Q對(duì)和的偏導(dǎo)必須為零。 或 ,的具體數(shù)值即回歸系數(shù)的估計(jì)值隨選取的樣本不同而不同，所以它是隨機(jī)變量。b.總體方差的估計(jì)除了a，b之外 ，一元線(xiàn)性回歸模型還包括了另一

7、個(gè)未知參數(shù)，總體方差，它可以反映理論模型誤差的大小。在數(shù)學(xué)上，的無(wú)偏估計(jì)是。 n為樣本容量，稱(chēng)為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差。它可用于描述用樣本數(shù)據(jù)擬合回歸直線(xiàn)時(shí)，在X取特定值時(shí)Y觀察值對(duì)于相應(yīng)的擬合值的離散程序。 c.最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)最小二乘法是估計(jì)方法中的一種，最小二乘估計(jì)量是總體回歸系數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，數(shù)學(xué)上還可進(jìn)一步證明，在所有的無(wú)偏估計(jì)量中回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量的方差最??；同時(shí)隨著樣本容量的增大，其方差會(huì)不斷縮小，所以它又是最優(yōu)和一致估計(jì)量。2）多元線(xiàn)性回歸模型現(xiàn)實(shí)中，某一現(xiàn)象的變動(dòng)常受多種現(xiàn)象變動(dòng)的影響，右這種場(chǎng)合，僅僅考慮單個(gè)變量是不夠的，這就產(chǎn)生了測(cè)定多因素之間相關(guān)關(guān)系的問(wèn)題。研究在線(xiàn)性相

8、關(guān)條件下，兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量對(duì)一個(gè)因變量的數(shù)量變化關(guān)系，稱(chēng)為多元線(xiàn)性回歸分析，它是一元線(xiàn)性回歸模型的擴(kuò)展，其基本原理與一元線(xiàn)性回歸模型相類(lèi)似，只是在計(jì)算上比較繁瑣?？傮w回歸函數(shù)與總體回歸直線(xiàn) 表示截距，表示在其它自變量保持不變的情況下，自變量變動(dòng)一個(gè)單位所引起的因變量Y平均變動(dòng)的數(shù)額，成為偏回歸系數(shù)。前提假定與一元線(xiàn)性前提假定相同，另外再加上，回歸模型所包含的自變量之間不能具有較強(qiáng)的線(xiàn)性關(guān)系。樣本回歸方程 (t=1,2,n)模型的估計(jì)以三元線(xiàn)性回歸方程為例，即a.回歸系數(shù)的估計(jì)（最小二乘法） b.總方差的估計(jì)n：樣本容量，k:方程中回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為回歸估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，越小表明樣本回歸方程的

9、代表性越強(qiáng)3）非線(xiàn)性回歸模型如果因變量和自變量之間是非線(xiàn)性關(guān)系，我們就必須采用非線(xiàn)性回歸模型，但對(duì)非線(xiàn)性回歸模型的估計(jì)必須首先將其轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性函數(shù)，然后再利用先行回歸方法估計(jì)各參數(shù)。非線(xiàn)性回歸模型主要有以下幾種：冪函數(shù) 兩邊取對(duì)數(shù)，得：令： , 這種形式就是前面的三元線(xiàn)性回歸方程。利用前文所述方法估計(jì)模型參數(shù)。特點(diǎn)：方程中的參數(shù)可以直接反映因變量Y對(duì)于某一個(gè)自變量的彈性。=即，b1是在其它因素不變的條件下，x1變動(dòng)1%所引起Y變動(dòng)的百分比。指數(shù)型： 兩邊取對(duì)數(shù)，得：令 ，則多項(xiàng)式函數(shù)令： 非線(xiàn)性回歸方程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸方程后，可利用前文所述方法，估計(jì)各參數(shù)，最后利用反函數(shù)轉(zhuǎn)化為最初形式。（5）回歸

10、模型的檢驗(yàn)1）經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)值的符號(hào)和取值區(qū)間所顯示的自變是與應(yīng)變量的變化關(guān)系是否與理論和人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)相一致。2）統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的抽樣理論來(lái)檢驗(yàn)樣本回歸方程的可靠性。a.擬合程度的評(píng)價(jià)所謂擬合程度，是指樣本觀測(cè)值聚在樣本回歸線(xiàn)周?chē)木o密程度，判斷回歸模型擬合程序優(yōu)劣最常用的數(shù)量指標(biāo)是可決系數(shù)，該指標(biāo)是建立在對(duì)總離差平方和進(jìn)行分解的基礎(chǔ)上。總離差=可解釋離差+未解釋離差兩邊取平方，得離差平方和=回歸平方和+殘差平方和顯而易見(jiàn)，如果各個(gè)樣本觀察點(diǎn)與樣本回歸直線(xiàn)靠得越緊，SSR在SST中所占比重超越大，因此可定義這一比例為可決系數(shù)。 可決系數(shù)越大，方程擬合度越高，在

11、多元線(xiàn)形回歸方程中，為了更準(zhǔn)確地衡量回歸方程的擬合程度，常使用經(jīng)調(diào)整的多元可決系數(shù)。 n為樣本容量，k為模型中回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)。b.顯著性檢驗(yàn)。i. 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)主要目的是為了檢驗(yàn)與各回歸系數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量對(duì)因變量的影響是否顯著，以便對(duì)自變量的取舍作出正確判斷，一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個(gè)自變量的影響不顯著時(shí)，應(yīng)將其從模型中刪除。這樣才能夠做到以盡可能少的自變量去達(dá)到盡可能高的擬合優(yōu)度?；貧w系數(shù)的檢驗(yàn)主要是對(duì)各自變量斜率的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)y和Xj之間是否具備一定的線(xiàn)性回歸關(guān)系就是判斷總體斜率是否等于0，如果=0，則Y對(duì)Xj的回歸不成立。因此關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)將以=0的零假設(shè)出發(fā)，分為以下步驟：（i）提出假設(shè)

12、零假設(shè) 備擇假設(shè)顯著水平（ii）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及概率分布因?yàn)槭欠恼龖B(tài)分布，也服從正態(tài)分布一般來(lái)說(shuō)，是未知的，我們用其無(wú)偏估計(jì)量來(lái)代替，當(dāng)樣本為小樣本時(shí)，回歸系數(shù)的估計(jì)值服從t()分布。那么用t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（iii）判斷，查表得，其值由顯著水平和自由度決定，如果，則拒絕H0，即認(rèn)為Xj對(duì)Y的影響是顯著的。如果，則接受原假設(shè), 即認(rèn)為Xj對(duì)Y的影響是不顯著的。ii. 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)多元線(xiàn)性回歸模型包括了多個(gè)回歸系數(shù)，所以還需對(duì)整個(gè)回歸方程模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)回歸模型總體函數(shù)的線(xiàn)性關(guān)系是否顯著，這主要是在方差分析基礎(chǔ)上采取F檢驗(yàn)完成的。（i）不全為0（ii）進(jìn)行方差分析，列出回歸方差分析表離

13、差名稱(chēng)平方和自由度均方和回歸平方和殘差平方和總離差平方和k-1n-k(n-1)SSR/(k-1)SSE/(n-k)( iii )根據(jù)方差分析的結(jié)果求F統(tǒng)計(jì)量，即( iv )根據(jù)自由度和給定的顯著性水平，查F分布表中的理論臨界值，當(dāng)，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體回歸函數(shù)中各自變量與因變量的線(xiàn)性回歸關(guān)系顯著。反之認(rèn)為所建立的回歸模型沒(méi)意義。3）經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)檢驗(yàn)在回歸分析之前，我們提出了一些回歸型的假設(shè)前提，以便于使用最小二乘法擬合回歸方程，并作出一系列的推斷。任何一條假設(shè)前提不符合都會(huì)使回歸分析不盡合理，甚至誤入歧途。所以當(dāng)我們擬合出回歸方程后，需要回過(guò)頭來(lái)審查一下這些假定前提是否成立。如不成立，需作相應(yīng)

14、調(diào)整和改動(dòng)。i.自相關(guān)。樣本數(shù)據(jù)按時(shí)間順序展開(kāi)時(shí)，因變量隨機(jī)誤差獨(dú)立性的前提往往不能成立，殘值無(wú)法呈隨機(jī)分布，而是在這些殘值本身之間形成了某種鏈?zhǔn)叫?yīng)（即自相關(guān)），樣本中的因變量可能受過(guò)去變動(dòng)趨勢(shì)的影響。如果自相關(guān)存在，那么就意味有一種有顯著影響的因素一時(shí)序沒(méi)有在回歸模式的考慮之中，從而以使誤差平方和SSE不是最小值。檢驗(yàn)方法：按時(shí)間順序給殘差散點(diǎn)圖或使用杠賓一沃嶺檢驗(yàn)（DW）解決方法：增設(shè)滯后變量以改進(jìn)模型，既然時(shí)序造成因變量值的前后鏈?zhǔn)接绊?，在回歸模型中將前期因變量作為本期自變量值來(lái)對(duì)待。ii. 異方差 對(duì)于在自變量取任何一組特定值時(shí)條件平均數(shù)的方差恒定的前提假設(shè)不成立，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差就無(wú)法

15、作為的無(wú)偏估計(jì)量。因而就無(wú)法進(jìn)行參數(shù)的檢驗(yàn)和因變量的估計(jì)。檢驗(yàn)方法：繪制殘值對(duì)自變量的散點(diǎn)圖，看殘值的離散度是否隨自由度的變化而有規(guī)律的擴(kuò)大與縮小，如是則有異方差。解決方法：實(shí)施變量轉(zhuǎn)換，即用一個(gè)與現(xiàn)行自變量有函數(shù)關(guān)系的自變量進(jìn)入回歸方程或采用加權(quán)最小二乘法。iii. 非正態(tài)性如果隨機(jī)誤差分布不是正態(tài)或趨于正態(tài)，就失去了對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行t檢驗(yàn)和對(duì)因變量進(jìn)行估計(jì)的依據(jù)。繪制殘值的直方圖，通過(guò)直方圖可以粗略地檢驗(yàn)殘值是否趨于正態(tài)分布，這種方法要求有一定大的樣本容量，其它方法可采用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法。解決方法：進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換。應(yīng)有助于改變它的分布狀況。iv. 多重共線(xiàn)性采用回歸分析時(shí)，我們假設(shè)解釋變量之間是

16、線(xiàn)形無(wú)關(guān)的，如果這個(gè)假設(shè)被違背，就產(chǎn)生了多重共線(xiàn)問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用多元回歸分析時(shí)，多變共線(xiàn)性是難免產(chǎn)生的，問(wèn)題在于程度的強(qiáng)弱。較弱的多重共線(xiàn)性對(duì)回歸模型的有效性影響不大，較強(qiáng)的會(huì)造成錯(cuò)誤結(jié)論。隨著回歸模式中自變量數(shù)目增減，回歸系數(shù)的數(shù)值和符號(hào)都十分不穩(wěn)定，例如，企業(yè)在進(jìn)行生產(chǎn)分析時(shí)，將本企業(yè)的廣告費(fèi)和所有促銷(xiāo)活動(dòng)的費(fèi)用同時(shí)作為產(chǎn)品生產(chǎn)量的解釋變量，但廣告費(fèi)本身就是所有促銷(xiāo)活動(dòng)費(fèi)用的一部分，兩者高度相關(guān)。審查方法：繪制自變量的兩兩散點(diǎn)圖，判斷是否線(xiàn)性相關(guān)；利用零級(jí)相關(guān)系數(shù)矩陣；當(dāng)回歸方程中自變量增加或減少時(shí)，某些偏回歸系數(shù)符號(hào)發(fā)生變化，也提示存在多重共線(xiàn)。消除方法：消除線(xiàn)性相關(guān)程度較高的一對(duì)自變量中的一個(gè)；對(duì)自變量實(shí)施中心離差的變量轉(zhuǎn)換，即以原變量觀察值對(duì)其平均數(shù)的離差作為新的樣本數(shù)據(jù)擬合回歸方程。以上回歸分析的內(nèi)容都可通過(guò)計(jì)算機(jī)程序EXCEL完成，具體操作方法是：在分析之前，首先將自變量和因變量的樣本數(shù)據(jù)輸入表格中，如果回